109 關務特考四等 電機工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

本題考單相變壓器組成三相變壓器組時的容量利用率，以及開口三角形（$V$-$V$）與閉合三角形（$\Delta$-$\Delta$）的容量差異。

單部變壓器額定容量為 $S_{\mathrm{單}}=10\ \mathrm{kVA}$。平衡電阻性負載的功率因數為 $1$，因此輸出實功率等於視在功率：

$$P=S\cos\theta=S$$

情況一：兩部變壓器作 $V$-$V$ 接法

兩部變壓器各自運轉在額定容量時，變壓器組可供應的三相視在功率為：

$$S_V=\sqrt{3}\,S_{\mathrm{單}} =\sqrt{3}\times10 =17.32\ \mathrm{kVA}$$

負載為平衡電阻性負載，故 $\cos\theta=1$，輸出實功率為：

$$P_V=S_V\cos\theta =17.32\times1 =17.32\ \mathrm{kW}$$

情況二：三部變壓器作 $\Delta$-$\Delta$ 接法

三部變壓器各自運轉在額定容量時，總視在功率為：

$$S_{\Delta}=3S_{\mathrm{單}} =3\times10 =30\ \mathrm{kVA}$$

負載功率因數為 $1$，因此輸出實功率為：

$$P_{\Delta}=S_{\Delta}\cos\theta =30\times1 =30\ \mathrm{kW}$$

核心觀念

直流分激電動機的電樞電流與場電流分別流過電樞及磁場繞組。電樞電壓方程式為

$$V_t=E_a+I_aR_a$$

其中 $V_t$ 為端電壓、$E_a$ 為反電動勢、$I_a$ 為電樞電流、$R_a$ 為電樞電阻。堵轉時轉速為零，反電動勢 $E_a=0$，因此可由堵轉電壓與電流求電樞電阻。

電動機輸入功率為 $P_{\mathrm{in}}=V_t(I_a+I_f)$；電樞銅損為 $I_a^2R_a$，場銅損為 $I_f^2R_f$。依題意，只計入銅損及無載旋轉損失，額定輸出功率可由額定輸入功率扣除這些損失求得。

解題方法

（一）堵轉時 $E_a=0$，故

$$R_a=\frac{V_a}{I_a} =\frac{15.3}{255} =0.06\ \Omega$$

因此電樞電阻為 $0.06\ \Omega$。

（二）分激場繞組直接接於端電壓，故

$$R_f=\frac{V_t}{I_f} =\frac{250}{5} =50\ \Omega$$

（三）額定電樞銅損為

$$P_{\mathrm{cu,a}}=I_a^2R_a =255^2(0.06) =3901.5\ \mathrm{W} \approx 3.90\ \mathrm{kW}$$

（四）先由無載運轉資料求無載旋轉損失。無載時電樞反電動勢為

$$E_{a0}=V_t-I_{a0}R_a =250-13.2(0.06) =249.208\ \mathrm{V}$$

無載電磁功率為

$$P_{\mathrm{dev},0}=E_{a0}I_{a0} =249.208(13.2) =3289.5\ \mathrm{W}$$

無載時機械輸出功率近似為零，因此這部分電磁功率用來供應旋轉損失：

$$P_{\mathrm{rot}}=3289.5\ \mathrm{W}$$

核心觀念

本題考交流負載的功率三角形、並聯負載的總功率因數，以及輸電線電流與線路損失的關係。並聯負載的實功率與虛功率分別相加：

$P_{\text{總}}=\sum P_i,\qquad Q_{\text{總}}=\sum Q_i$

感性負載的虛功率取正，容性負載的虛功率取負。總視在功率、功率因數與三相線電流分別為：

\mathrm{pf}_{\text{總}}=\frac{P_{\text{總}}}{S_{\text{總}}}$$ $$I_L=\frac{S_{\text{總}}}{\sqrt{3}\,V_L}$$ 其中 $V_L=480\ \mathrm{V}$ 為三相線電壓。題目未明示相數；依輸電線與電動機負載的常見題設，以下按三相系統計算。 ### 解題方法 先把兩部電動機各自的功率因數換算成虛功率，再依同步電動機的功率因數方向，將虛功率作代數相加。兩種情況的總實功率皆為： $$P_{\text{總}}=200+150=350\ \mathrm{kW}$$ 感應電動機以 $0.8$ 落後功因運轉，故： $$Q_1=P_1\tan(\cos^{-1}0.8) =200\times 0.75=150\ \mathrm{kvar}$$ 同步電動機實功率為 $150\ \mathrm{kW}$、功因大小為 $0.85$，其虛功率大小為： $$|Q_2|=P_2\tan(\cos^{-1}0.85) =150\times\frac{\sqrt{1-0.85^2}}{0.85} \approx 92.98\ \mathrm{kvar}$$ ### 情況一：同步電動機功因為 $0.85$ 落後 落後功因表示同步電動機吸收感性虛功率，因此 $Q_2=+92.98\ \mathrm{kvar}$： $$Q_{\text{總}}=150+92.98=242.98\ \mathrm{kvar}$$ $$S_{\text{總}}=\sqrt{350^2+242.98^2} \approx 426.07\ \mathrm{kVA}$$ $$\mathrm{pf}_{\text{總}}=\frac{350}{426.07} \approx 0.8216\quad\text{（落後）}$$ 輸電線電流為： $$I_L=\frac{426.07\times 10^3}{\sqrt{3}\times 480} \approx 512.6\ \mathrm{A}$$

核心觀念

本題考感應電動機的同步轉速、轉差率、感應轉矩，以及低轉差率區的轉矩—速度線性關係。

同步轉速為

$$n_s=\frac{120f}{P}$$

其中 $f$ 為電源頻率，$P$ 為極數。轉差率定義為

$$s=\frac{n_s-n_r}{n_s}$$

其中 $n_r$ 為轉子轉速。機械損失忽略時，輸出功率等於轉換功率，轉矩可由

$$T=\frac{P_{\text{out}}}{\omega_r}, \qquad \omega_r=\frac{2\pi n_r}{60}$$

求得。

解題方法

先由頻率與極數求同步轉速，再計算轉差率。接著將負載功率與轉速換算為感應轉矩。轉矩加倍時，依題意採用低轉差率區轉矩與轉差率成正比的線性關係，再求新轉速與輸出功率。

（一）轉差率

$$n_s=\frac{120(60)}{2}=3600\ \mathrm{rpm}$$

因此

$$s=\frac{3600-3540}{3600} =\frac{60}{3600} =0.0167$$

轉差率為 $1.67\%$。

（二）感應轉矩

轉子角速度為

$$\omega_r=\frac{2\pi(3540)}{60} =370.7\ \mathrm{rad/s}$$

機械損失忽略，故以負載輸出功率 $18\ \mathrm{kW}$ 計算：

$$T=\frac{18\,000}{370.7} \approx 48.6\ \mathrm{N\cdot m}$$

（三）轉矩加倍時的轉速與功率

低轉差率區中，轉矩與轉差率成正比。轉矩加倍，轉差率也加倍：