113 關務特考四等 機械工程(選試英文) 機械力學概要 考古題詳解

113 年・關務特考・四等・機械工程(選試英文)
試題代碼 機械力學概要

第 一 題20 分

如圖一所示，有一電動馬達輸出 300 N⋅m300\ \mathrm{N\cdot m} 的扭矩於鋁製的轉軸 ABCDABCD，並定轉速轉動。已知剪力模數 G=27×109 PaG=27\times10^9\ \mathrm{Pa}，作用在滑輪 BB 的扭矩為 100 N⋅m100\ \mathrm{N\cdot m}，作用在滑輪 CC 的扭矩為 200 N⋅m200\ \mathrm{N\cdot m}。試求在滑輪 BB 和 CC 間軸的扭轉角度為何？

軸段與尺寸如下：

  • AB=1 mAB=1\ \mathrm{m}，直徑為 38 mm38\ \mathrm{mm}
  • BC=1.2 mBC=1.2\ \mathrm{m}，直徑為 40 mm40\ \mathrm{mm}
  • CD=0.9 mCD=0.9\ \mathrm{m}，直徑為 48 mm48\ \mathrm{mm}

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核心觀念

定轉速表示角加速度為零，因此整根軸的外加扭矩平衡：馬達輸出的 300 N⋅m300\ \mathrm{N\cdot m}，由滑輪 BB 的 100 N⋅m100\ \mathrm{N\cdot m} 與滑輪 CC 的 200 N⋅m200\ \mathrm{N\cdot m} 抵銷。

圓軸的扭轉角公式為

ϕ=TLJG\phi=\frac{TL}{JG}

其中 TT 是軸段內力矩、LL 是軸段長度、GG 是剪力模數；實心圓軸的極慣性矩為

J=πd432J=\frac{\pi d^4}{32}

解題方法

在 BB、CC 之間取一截面。該軸段傳遞給滑輪 BB 的扭矩為 100 N⋅m100\ \mathrm{N\cdot m}，所以 BCBC 段的內力矩大小為

TBC=100 N⋅mT_{BC}=100\ \mathrm{N\cdot m}
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第 二 題20 分

如圖二所示，有 AA、BB、CC 三塊相同的均勻鋼材，每一塊長度皆為 SS、重量皆為 WW。將三塊鋼材相疊，但不膠黏，尾端錯開 xx 距離。AA 在最下層，直接放置於地上；BB 在中間；CC 在最上層。

在 CC 的尾端站立一個人，重量為 0.5W0.5W。欲保持平衡，則圖中的 xx 最大值為何？請以 SS 表示。

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核心觀念

三塊鋼材沒有黏合，各層接觸面只能提供壓力。要保持平衡，每一層上方所有物體的合重作用線，都必須落在該接觸面的重疊範圍內；合重作用線到達重疊範圍右緣時，該層恰好要翻倒。

令 AA 的左端為 00，則 BB、CC 的左端分別為 xx、2x2x。人站在 CC 的右端，位置為 2x+S2x+S。

解題方法

先檢查 BB 與 CC 之間的接觸面

BB、CC 的重疊範圍為 [2x, x+S][2x,\ x+S]。取 CC 與人的合重位置：

xˉBC=W(2x+S2)+0.5W(2x+S)1.5W=2x+2S3\bar{x}_{BC} =\frac{W(2x+\frac S2)+0.5W(2x+S)}{1.5W} =2x+\frac{2S}{3}

合重位置不得超出重疊範圍右緣，因此

2x+2S3≤x+S⟹x≤S32x+\frac{2S}{3}\le x+S \quad\Longrightarrow\quad x\le \frac S3

再檢查 AA 與 BB 之間的接觸面

AA、BB 的重疊範圍為 [x, S][x,\ S]。取 BB、CC 與人的合重位置：

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第 三 題20 分

如圖三所示，有一圓柱桿件由同質材料、不同直徑的 ABAB 和 BCBC 兩部分組成。桿件兩端 AA 和 CC 被固定，中間施加兩個 30 kN30\ \mathrm{kN} 載荷。已知材料楊氏係數 E=3.1 GPaE=3.1\ \mathrm{GPa}，試求：

(一) AA 和 CC 處的反作用力各為何？

(二) ABAB 及 BCBC 個別的正向應力為何？

桿件尺寸如下：

  • ABAB 長度為 625 mm625\ \mathrm{mm}，直徑為 30 mm30\ \mathrm{mm}
  • BCBC 長度為 375 mm375\ \mathrm{mm}，直徑為 50 mm50\ \mathrm{mm}

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核心觀念

本題考查兩端固定的階梯圓柱桿受軸向集中力時，如何用靜力平衡與變形相容求支承反力。各段軸向變形公式為

δ=NLAE,\delta=\frac{NL}{AE},

其中 NN 為軸力、LL 為長度、AA 為截面積、EE 為楊氏係數。圖中兩個 30 kN30\ \mathrm{kN} 載荷方向相同，合力為 P=60 kNP=60\ \mathrm{kN}，作用於 BB 處。

解題方法

取向上為正。由整根桿的平衡：

RA+RC=60 kN.R_A+R_C=60\ \mathrm{kN}.

載荷使 BB 點向下位移：ABAB 段伸長、BCBC 段縮短。因兩段在 BB 點的位移大小相同，依變形相容條件：

RALABAABE=RCLBCABCE.\frac{R_A L_{AB}}{A_{AB}E} = \frac{R_C L_{BC}}{A_{BC}E}.

截面積為

AAB=π(30)24=706.86 mm2,ABC=π(50)24=1963.50 mm2.A_{AB}=\frac{\pi(30)^2}{4}=706.86\ \mathrm{mm^2}, \qquad A_{BC}=\frac{\pi(50)^2}{4}=1963.50\ \mathrm{mm^2}.

兩段使用相同材料，式中的 EE 相消。代入長度與截面積：

RARC=AAB/LABABC/LBC=706.86/6251963.50/375=0.216.\frac{R_A}{R_C} = \frac{A_{AB}/L_{AB}}{A_{BC}/L_{BC}} = \frac{706.86/625}{1963.50/375} =0.216.

再與平衡式聯立：

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第 四 題20 分

如圖四所示，有一光滑套環，質量為 3 kg3\ \mathrm{kg}，彈簧的彈性係數 k=200 N/mk=200\ \mathrm{N/m}，其未拉伸長度為 0.5 m0.5\ \mathrm{m}。套環由 AA 處靜止釋放，請計算套環到達 BB 處時的速度。（忽略套環的大小）

幾何尺寸如下：

  • AA 至 BB 的垂直距離為 2 m2\ \mathrm{m}
  • BB 至彈簧固定端的水平距離為 1.5 m1.5\ \mathrm{m}

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核心觀念

本題考查機械能守恆。套環沿光滑直桿運動，約束力垂直於運動方向，不作功；重力與彈簧力皆為保守力，因此套環的動能、重力位能與彈簧位能總和不變。

彈簧位能為 Us=12kx2U_s=\frac12kx^2，其中 xx 是彈簧相對未拉伸長度的伸長量。

解題方法

先由幾何尺寸求出套環在 AA、BB 兩處的彈簧長度：

LA=(2)2+(1.5)2=2.5 m,LB=1.5 mL_A=\sqrt{(2)^2+(1.5)^2}=2.5\ \mathrm{m}, \qquad L_B=1.5\ \mathrm{m}

彈簧未拉伸長度為 0.5 m0.5\ \mathrm{m}，所以兩處的伸長量分別為

xA=2.5−0.5=2.0 m,xB=1.5−0.5=1.0 mx_A=2.5-0.5=2.0\ \mathrm{m}, \qquad x_B=1.5-0.5=1.0\ \mathrm{m}

套環從 AA 到 BB 下降 2 m2\ \mathrm{m}，由能量守恆：

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第 五 題20 分

如圖五所示，有一滑輪組，吊掛 AA、BB 兩個重物。AA 為 8 kg8\ \mathrm{kg}，BB 為 3 kg3\ \mathrm{kg}，原為靜止狀態。AA 自靜止狀態釋放移動 2 m2\ \mathrm{m} 後，求當時 AA 及 BB 的速度。（忽略繩索和滑輪的質量及其間之摩擦）

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核心觀念

本題考滑輪組的繩長約束與功－能原理。下方動滑輪由兩段繩索支撐，因此 A 的位移、速度與加速度大小，都是 B 的一半：

sB=2sA,vB=2vAs_B=2s_A,\qquad v_B=2v_A

A 下降時，B 上升。

解題方法

設 A 由靜止開始下降 2 m2\ \mathrm{m}，則 B 上升

sB=2sA=4 ms_B=2s_A=4\ \mathrm{m}

忽略繩索與滑輪的質量及摩擦，重力位能的淨減少全部轉為兩物體的動能：

mAgsA−mBgsB=12mAvA2+12mBvB2m_Ags_A-m_Bgs_B =\frac12m_Av_A^2+\frac12m_Bv_B^2

代入 mA=8 kgm_A=8\ \mathrm{kg}、mB=3 kgm_B=3\ \mathrm{kg}、sA=2 ms_A=2\ \mathrm{m}、sB=4 ms_B=4\ \mathrm{m}，以及

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