115 關務特考四等 機械工程(選試英文) 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查剛體沿斜面「純滾動」的平移與轉動耦合。由於圓柱體不發生滑動，接觸點 $C$ 的瞬時速度為零，因此必須滿足無滑動條件：

其中 $a$ 為圓柱體質心沿斜面向下的直線加速度，$\alpha$ 為角加速度。

圓柱體對質心的轉動慣量為：

解題方法

取沿斜面向下為正方向。圓柱體受力包括：

• 重力沿斜面分量：$mg\sin\theta$
• 靜摩擦力：方向沿斜面向上，設大小為 $f$
• 法向力：垂直斜面，對質心轉動不產生力矩

沿斜面列平移運動方程：

以質心 $G$ 為轉動中心，只有摩擦力對 $G$ 產生力矩：

代入 $I_G=\dfrac{mr^2}{2}$，並利用 $\alpha=\dfrac{a}{r}$：

將式 $(2)$ 代入式 $(1)$：

因此質心沿斜面向下的直線加速度為：

核心觀念

本題考查剛性梁的平面靜力平衡，使用三個平衡方程式：

由於滑輪 $E$ 無摩擦，鋼索 $BEC$ 內張力相同，設為 $T$。

圖中：

• $AB=5\ \mathrm{m}$
• $BC=3\ \mathrm{m}$
• $CD=2\ \mathrm{m}$
• 因此 $AC=8\ \mathrm{m}$、$AD=10\ \mathrm{m}$
• $D$ 點負載為 $80\ \mathrm{kN}$
• $CE$ 與水平梁夾角為 $60^\circ$

受力分析

鋼索在 $B$ 點為鉛直方向，因此對梁施力：

鋼索在 $C$ 點方向指向 $E$，可分解為：

方向向左；

方向向上。

設銷接點 $A$ 的水平支承力為 $A_x$，鉛直支承力為 $A_y$。

解題方法

以 $A$ 點取力矩，可消去 $A_x$、$A_y$。梁為水平，$C$ 點的水平分力作用線通過梁軸線，對 $A$ 點力矩為零。

取逆時針為正：

因此：

再利用水平方向平衡：

核心觀念

本題為靜定伸臂梁，利用：

• 支承反力平衡條件： $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$
• 均勻分布荷重合力： $P=p_0L$ 作用於 $BC$ 中點，距離 $A$ 為 $2L+\frac{L}{2}=\frac{5L}{2}$
• 剪力與彎矩關係： $\frac{dV}{dx}=-w(x),\qquad \frac{dM}{dx}=V(x)$

取 $x$ 軸由 $A$ 向右，正剪力採左截面向上，正彎矩採下凹（sagging）為正。

一、計算支承力

圖中：

$AB=2L,\qquad BC=L$

設鉸支承 $A$ 的反力為 $A_x,A_y$，滾支承 $B$ 的反力為 $B_y$。

由於外力皆為鉛直力：

$A_x=0$

對 $A$ 點取力矩：

$\sum M_A=0$

$B_y(2L)-(p_0L)\left(\frac{5L}{2}\right)=0$

因此

$B_y=\frac{5}{4}p_0L$

再由鉛直力平衡：

$\sum F_y=0$

$A_y+B_y-p_0L=0$

負號表示 $A$ 點反力方向向下。

因此支承力為

$\boxed{A_x=0}$

$\boxed{A_y=\frac14p_0L\ \text{向下}}$

$\boxed{B_y=\frac54p_0L\ \text{向上}}$

二、剪力圖

分段討論。

$0<x<2L$：梁段 $AB$

此段沒有分布荷重，因此剪力為常數：

$V(x)=A_y=-\frac14p_0L$

在 $B$ 點因為有向上的支承反力 $B_y$，剪力向上跳升：

$V(2L^+)=V(2L^-)+B_y$

$2L<x<3L$：梁段 $BC$

此段承受均勻分布荷重 $p_0$。令

$s=x-2L$

則 $0<s<L$，剪力為

$V(x)=p_0L-p_0s$

即

$\boxed{V(x)=p_0(3L-x)},\qquad 2L<x<3L$

在 $C$ 點：

$V(3L^-)=p_0(3L-3L)=0$

剪力圖主要數值如下：

$V(A^+)=-\frac14p_0L$

$V(B^-)=-\frac14p_0L$

$V(B^+)=p_0L$

$V(C)=0$

示意如下：

V
↑
│ ● B+ = p0L
│ │\
│ │ \
│ │ \
│ │ \ ● C = 0
├─────────────────┼──────→ x
│ │
│ ● A = -p0L/4 ──● B- = -p0L/4
│
 0 2L 3L

三、彎矩圖

$0<x<2L$：梁段 $AB$

由左側截面取矩：

$M(x)=A_yx$

因此

核心觀念

本題考查：

• 剛性橫梁的靜力平衡。
• 彈性桿件的軸向變形公式：

$\delta=\frac{NL}{AE}$

• 橫梁端點位移與支承桿伸縮量相等。
• 圖示幾何關係為 $AC=3L$、$CB=2L$，故 $AB=5L$。

解題方法

設桿件（1）、（2）對橫梁的支承力分別為 $R_A$、$R_B$。

對橫梁取 $A$ 點力矩：

$R_B(5L)-P(3L)=0$

因此

$R_B=\frac{3P}{5}$

由鉛垂方向力平衡：

$R_A+R_B-P=0$

$R_A=P-\frac{3P}{5}=\frac{2P}{5}$

桿件（1）的長度為 $3L$、截面積為 $A_0$，其壓縮量即為 $A$ 點位移：

設桿件（2）的截面積為 $A_2$。其長度為 $4L$，因此