115 關務特考四等 機械工程(選試英文) 機械原理概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面機構的自由度（Mobility）及特殊位置下的瞬時運動。採用平面機構 Grübler–Kutzbach 公式：

其中：

• $n$：構件總數，包含固定構件；
• $J_1$：低副數目，包含轉動副與移動副；
• $J_2$：高副數目；
• $F$：機構自由度。

圖中各構件均以轉動副連接，沒有高副。

解題方法

固定構件為構件 $1$，三支輸入連桿及三角形剛板分別為構件 $2、3、4、5$，因此：

轉動副共有：

• $a_0-a$：$1$ 個；
• $b_0-b$：$1$ 個；
• $c_0-c$：$1$ 個；
• $a$ 點與構件 $5$：$1$ 個；
• $b$ 點與構件 $5$：$1$ 個；
• $c$ 點與構件 $5$：$1$ 個。

故：

代入公式：

因此，依一般自由度計算，該裝置的自由度為：

是否可動之判斷

依一般機構定義，$F=0$ 表示沒有可獨立指定的輸入運動，故構件 $2$ 雖標示為輸入桿，仍無法使整個機構產生一般性的連續運動；

核心觀念

瓦特型與史蒂芬遜型運動鏈，都是由六個連桿組成的平面六連桿運動鏈，包含七個低對偶運動副。兩者的差別在於連桿的連接方式不同：

• 瓦特型運動鏈（Watt Chain）：兩個三元連桿不相鄰；六個連桿形成兩個相連的四連桿迴路。
• 史蒂芬遜型運動鏈（Stephenson Chain）：兩個三元連桿相鄰；六個連桿形成一個四連桿迴路及一個五連桿迴路。

將運動鏈中的一個連桿固定，即成為機構。固定不同連桿，可得到不同型機構；常見分類中，固定二元連桿可得第Ⅰ型，固定一個三元連桿可得第Ⅱ型，固定另一個三元連桿則可得第Ⅲ型。瓦特型與史蒂芬遜型各自的第Ⅱ型、第Ⅲ型，須依所固定的三元連桿判定。

解題方法

先畫出每種運動鏈的六個連桿與七個轉動副，再由連桿連接方式辨認類型。應用實例的機構簡圖則須標示固定連桿，並說明固定的是二元或三元連桿，據此判定機構型別。

以下以「●」表示轉動副，連桿以線段連接；圖中 ●O 為固定機架上的轉動副。

一、瓦特型運動鏈

運動鏈簡圖

 ●B──────●C
 / \
 ② ③
 / \
●A──────①──────●D──────④──────●E
 \ /
 ⑤ ⑥
 \ /
 ●F────●

為使連接關係清楚，可將瓦特型六連桿的連接關係列為：

• 二元連桿 1：連接 A–D
• 二元連桿 2：連接 A–B
• 二元連桿 3：連接 B–C
• 二元連桿 4：連接 C–D–E（三元連桿）
• 二元連桿 5：連接 E–F
• 二元連桿 6：連接 F–A（三元連桿）

此連接表中，A、D、E、F 等點的實際配置以連桿拓樸為準；判別重點是兩個三元連桿不相鄰，且可分成兩個四連桿迴路。

應用實例：瓦特型六連桿機構

瓦特型六連桿可用於將輸入搖桿運動轉換為特定輸出搖桿運動，例如往復作動機構。下圖以固定二元連桿為例：

核心觀念

在線性彈性範圍內，螺旋彈簧的伸長量與所受軸向拉力成正比，可用彈簧常數 $k$ 表示：

相同的兩個彈簧，其彈簧常數皆為 $k$。

解題方法

並聯時，兩彈簧的伸長量相同，總拉力 $F$ 平均由兩彈簧承受，因此每個彈簧受力為 $F/2$。總伸長量為

串聯時，每個彈簧均承受完整拉力 $F$，總伸長量為兩個彈簧伸長量相加：

核心觀念

本題考查行星齒輪系的威利斯（Willis）公式。圖中：

• 桿 1 固定，故 $\omega_1=0$；
• 桿 2 為輸入；
• 桿 3 為輸出；
• 太陽齒輪齒數 $Z_s=16$；
• 行星齒輪齒數 $Z_p=13$；
• 環齒輪齒數 $Z_r=44$。

對行星齒輪系，固定一桿後，應以相對於行星架的角速度建立齒輪嚙合關係。

解題方法

行星齒輪與太陽齒輪為外嚙合，與環齒輪為內嚙合，因此威利斯公式可寫為

依圖示，桿 2 為行星架輸入，桿 3 為輸出齒輪，桿 1 固定。因此令

代入公式：