115 關務特考四等 關稅統計(選試英文) 統計學概要 考古題詳解

115 年・關務特考・四等・關稅統計(選試英文)
試題代碼 統計學概要

第 一 題25 分

某公司一直以「平均理賠金額為 1,500 美元」作為訂定保費的依據。您現在希望調高保費，而監理機關要求您必須提出證據，證明目前的平均理賠金額已高於 1,500 美元。假設您抽取了一個包含 25 筆理賠資料的樣本，其樣本平均數為 1,515 美元。已知母體變異數為 900（美元2）900\text{（美元}^2\text{）}。

(一) 試計算平均理賠金額的 95% 信賴區間，並解釋之。（10 分）

(二) 在顯著水準 5% 之下，試問目前的平均理賠金額是否已高於 1,500 美元？

請寫出虛無假設、對立假設、檢定統計量、拒絕域、PP-值、檢定結果與結論。（15 分）

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核心觀念

本題考查母體變異數已知時，母體平均數的區間估計與單尾假設檢定。已知母體變異數 σ2=900\sigma^2=900，因此母體標準差為 σ=30\sigma=30 美元；使用標準常態分配的 ZZ 值，不使用 tt 分配。

95% 信賴區間採雙尾區間，臨界值為 z0.975=1.96z_{0.975}=1.96。檢定「平均理賠金額是否高於 1,500 美元」則採右尾檢定，檢定方向由對立假設決定。

解題方法

（一）平均理賠金額的 95% 信賴區間

母體變異數已知時，母體平均數的 95% 信賴區間為

xˉ±z0.975σn.\bar{x}\pm z_{0.975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

代入 xˉ=1,515\bar{x}=1{,}515、σ=30\sigma=30、n=25n=25：

σn=3025=6,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{30}{\sqrt{25}}=6, 1,515±1.96(6)=1,515±11.76.1{,}515\pm 1.96(6) =1{,}515\pm 11.76.

因此信賴區間為

(1,503.24,  1,526.76) 美元.(1{,}503.24,\;1{,}526.76)\text{ 美元}.

解釋為：依據此樣本所建立的 95% 信賴區間，母體平均理賠金額估計介於 1,503.24 美元至 1,526.76 美元之間。此為信賴區間的頻率學派解釋：若以相同方式反覆抽樣並建構區間，長期而言約有 95% 的區間會涵蓋真正的母體平均數。

（二）顯著水準 5% 的右尾檢定

設 μ\mu 為目前的母體平均理賠金額。假設為

H0:μ=1,500,H1:μ>1,500.H_0:\mu=1{,}500, \qquad H_1:\mu>1{,}500.

在虛無假設下，檢定統計量為

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第 二 題30 分

某城市公車司機的每月平均薪資為 40,000 元，其標準差為 5,000 元。假設我們隨機抽取 64 位公車司機作為樣本。（每小題 10 分，共 30 分）

(一) 假設該城市公車司機的總人數為 1,500 人，試問月薪平均數的標準誤是多少？

(二) 樣本平均月薪大於 41,500 元的機率是多少？

(三) 若要求月薪平均數的標準誤不超過 600 元，試問需至少抽取多少樣本？

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核心觀念

本題考查樣本平均數的標準誤及其抽樣分配。母體平均數與標準差分別為

μ=40,000,σ=5,000.\mu=40{,}000,\qquad \sigma=5{,}000.

隨機抽取 nn 位司機時，樣本平均薪資 Xˉ\bar X 的標準誤為

SE(Xˉ)=σn.SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}.

若母體有限，且採不放回簡單隨機抽樣，可乘上有限母體修正因子：

SE(Xˉ)=σnN−nN−1,SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}},

其中 NN 為母體人數。抽樣分配可用常態分配近似；若母體本身為常態分配，則樣本平均數亦為常態分配。

解題方法

（一）月薪平均數的標準誤

已知 N=1,500N=1{,}500、n=64n=64。因題目給出有限母體人數，採不放回抽樣的有限母體修正：

SE(Xˉ)=5,000641,500−641,500−1=6251,4361,499≈625(0.9788)≈611.7 元.\begin{aligned} SE(\bar X) &=\frac{5{,}000}{\sqrt{64}} \sqrt{\frac{1{,}500-64}{1{,}500-1}}\\ &=625\sqrt{\frac{1{,}436}{1{,}499}}\\ &\approx 625(0.9788)\\ &\approx 611.7\text{ 元}. \end{aligned}

因此，樣本平均月薪的標準誤約為 611.7 元。

（二）樣本平均月薪大於 41,500 元的機率

使用（一）的標準誤，將樣本平均數標準化：

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第 三 題15 分

針對一門統計學課程進行一項教學調查，發現有 60% 的學生曾使用人工智慧（AI）工具在統計學的學習上。根據過去的資料顯示，有使用 AI 工具學習的學生中，有 98% 能夠通過這門課程；而未使用 AI 工具學習的學生中，只有 50% 能夠通過課程。

(一) 試問預期會通過這門課程的學生比例是多少？（5 分）

(二) 已知有修習該課程的某位學生已通過這門課，試問該學生有使用 AI 工具學習統計學的機率是多少？（10 分）

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核心觀念

本題考查全機率公式與貝氏定理。設：

  • AA：學生使用 AI 工具學習。
  • PP：學生通過課程。

題目給定：

P(A)=0.6,P(Ac)=0.4P(A)=0.6,\qquad P(A^c)=0.4 P(P∣A)=0.98,P(P∣Ac)=0.50P(P\mid A)=0.98,\qquad P(P\mid A^c)=0.50

其中 AcA^c 表示未使用 AI 工具。

解題方法

（一）預期通過課程的學生比例

學生通過課程可分成兩種互斥情況：使用 AI 且通過，或未使用 AI 且通過。依全機率公式：

P(P)=P(P∣A)P(A)+P(P∣Ac)P(Ac)=(0.98)(0.60)+(0.50)(0.40)=0.588+0.200=0.788\begin{aligned} P(P) &=P(P\mid A)P(A)+P(P\mid A^c)P(A^c)\\ &=(0.98)(0.60)+(0.50)(0.40)\\ &=0.588+0.200\\ &=0.788 \end{aligned}

因此，預期通過比例為 78.8%。

（二）已知通過，求使用 AI 的機率

題目已知學生通過，要求其使用 AI 的條件機率，依貝氏定理：

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第 四 題30 分

一位汽車經銷商進行了一項實驗，旨在判定完成一次小型引擎調校所需的時間（以分鐘計）是否會因為使用電腦化分析儀或電子分析儀而有所不同。由於調校時間會隨車型大小（小型車、中型車、大型車）而異，因此在本實驗中，將這三種車型作為區組（Blocks），實驗所得到的資料如下：

車型電腦化分析儀電子分析儀
小型車5042
中型車5544
大型車6346

（每小題 15 分，共 30 分）

(一) 試計算並列出適合此實驗設計的變異數分析表（ANOVA Table）。

(二) 在 5% 之顯著水準下，試檢驗引擎調校所需的時間是否會因為使用電腦化分析儀或電子分析儀而有所不同。請寫出虛無假設、對立假設、檢定統計量、拒絕域、PP-值、檢定結果與結論。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題採用「隨機完全區集設計」（Randomized Complete Block Design, RCBD）：

  • 處理因子：分析儀種類，共 t=2t=2 種。
  • 區組因子：車型，共 b=3b=3 組。
  • 每個處理與區組組合各有一筆觀測值。

模型為

Yij=μ+τi+βj+εij,Y_{ij}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{ij},

其中 τi\tau_i 為分析儀效果，βj\beta_j 為車型區組效果。

解題方法

資料如下：

車型電腦化分析儀電子分析儀車型合計
小型車504292
中型車554499
大型車6346109
分析儀合計168132300

總觀測數為 N=6N=6，總平均為

Yˉ⋅⋅=3006=50.\bar Y_{\cdot\cdot}=\frac{300}{6}=50.

校正項為

CF=(∑Yij)2N=30026=15000.\mathrm{CF}=\frac{(\sum Y_{ij})^2}{N} =\frac{300^2}{6}=15000.

1. 總平方和

∑Yij2=502+422+552+442+632+462=15310.\sum Y_{ij}^2 =50^2+42^2+55^2+44^2+63^2+46^2 =15310.

因此

SST=15310−15000=310.SS_T=15310-15000=310.

2. 分析儀處理平方和

兩種分析儀的合計分別為 168168、132132，每種分析儀出現 b=3b=3 次：

SSA=1682+13223−15000=216.SS_A =\frac{168^2+132^2}{3}-15000 =216.

3. 車型區組平方和

三種車型的合計為 9292、9999、109109，每個車型有 t=2t=2 種分析儀：

SSB=922+992+10922−15000=73.SS_B =\frac{92^2+99^2+109^2}{2}-15000 =73.

4. 誤差平方和

SSE=SST−SSA−SSB=310−216−73=21.SS_E=SS_T-SS_A-SS_B =310-216-73=21.

自由度為：

  • 分析儀：t−1=1t-1=1
  • 車型：b−1=2b-1=2
  • 誤差：(t−1)(b−1)=2(t-1)(b-1)=2
  • 總和：N−1=5N-1=5

均方與 FF 值為

MSA=2161=216,MSB=732=36.5,MS_A=\frac{216}{1}=216, \qquad MS_B=\frac{73}{2}=36.5, MSE=212=10.5.MS_E=\frac{21}{2}=10.5.

（一）變異數分析表

變異來源平方和 SS自由度 df均方 MSFF 值
分析儀216121621610.5=20.571\frac{216}{10.5}=20.571
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