110 關務特考四等 關稅統計 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

相關係數 $r$ 衡量兩個變數之間線性關係的方向與強度，介於 $-1$ 與 $1$ 之間：

• $r>0$：正相關，$x$ 增加時，$y$ 整體也傾向增加。
• $r<0$：負相關，$x$ 增加時，$y$ 整體傾向減少。
• $|r|$ 越接近 $1$，線性關係越強；越接近 $0$，線性關係越弱。

相關係數的定義為

也就是共變數除以兩變數的標準差乘積。

解題方法

先看散布圖的整體走向判斷正負，再看點雲是否緊密沿著直線排列，判斷相關強度：

• 圖 A：點雲略呈右上走向，但分布分散，屬弱正相關，配 $0.22$。
• 圖 B：點雲呈明顯右下走向，負相關強度高，但仍有散布，配 $-0.81$。
• 圖 C：點雲呈明顯右上走向，正相關較強，但未緊密排列成直線，配 $0.68$。

選項分析

核心觀念

本題考離散型隨機變數的機率、期望值與變異數，以及線性轉換的期望值與變異數。已知機率函數 $f(x)=P(X=x)$，可用下列公式：

對常數 $a,b$，線性轉換滿足：

解題方法與計算

先列出 $X$ 各取值的機率：

三者合計為 $\frac12+\frac13+\frac16=1$，符合機率函數的總和條件。

（一）至少賣出兩份保單的機率

因為 $X$ 只可能取 $0,1,2$，至少賣出兩份即 $X=2$：

（二）期望值 $E(X)$

依離散型隨機變數期望值公式：

（三）變異數 $\operatorname{Var}(X)$

先計算二次動差：

核心觀念

本題檢定母體平均數，且母體為常態分配、母體變異數已知為 $\sigma^2=225$，因此使用單一母體平均數 $Z$ 檢定。題目問「是否與 113 不同」，屬於雙尾檢定。

設 $\mu$ 為陳老師任教學校學生的平均智力分數，假設為

顯著水準為 $\alpha=0.05$，樣本數 $n=46$，樣本平均數 $\bar{x}=109$，母體標準差為 $\sigma=\sqrt{225}=15$。檢定統計量為

（一）拒絕域法（critical region method）

雙尾檢定將顯著水準平均分配至兩尾，每尾為 $\alpha/2=0.025$。標準常態分配的臨界值為 $z_{0.025}=1.96$，故拒絕域為

亦即 $|Z|>1.96$ 時拒絕 $H_0$。

本題檢定統計量為

因為 $|-1.808|<1.96$，檢定統計量未落入拒絕域，故在 $\alpha=0.05$ 下不拒絕 $H_0$。

結論：沒有足夠證據宣稱該校學生的平均智力不等於 113。

（二）$P$ 值法（$p$-value approach）

在虛無假設成立時，雙尾 $P$ 值為

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸。以氣溫 $X$ 解釋咖啡銷售量 $Y$，迴歸模型為

其中 $\alpha$ 是截距，$\beta$ 是母體迴歸斜率，$\varepsilon_i$ 是誤差項。最小平方法選取 $\hat{\alpha}$ 與 $\hat{\beta}$，使殘差平方和最小；其估計式為

其中 $S_{XX}=\sum(X_i-\bar{X})^2$，$S_{XY}=\sum(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})$。

（一）自變數與依變數

氣溫是用來解釋或預測咖啡銷售量的變數，因此氣溫 $X$ 為自變數；咖啡銷售量是隨氣溫變化而觀察的結果，因此銷售量 $Y$ 為依變數。

（二）求簡單線性迴歸方程式

令 $X$ 為氣溫、$Y$ 為咖啡銷售量。由六筆資料計算得

各離均差平方和與乘積和為

故斜率估計值為

截距估計值為

因此迴歸方程式為

（三）斜率估計值的意義

$\hat{\beta}=-12.5988$ 表示在此線性迴歸模型下，氣溫每增加 $1^\circ\mathrm{C}$，預測咖啡銷售量平均減少約 $12.60$ 杯。