111 關務特考四等 關稅統計 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查統計學的兩大基本領域：

1. 描述性統計（descriptive statistics）：對已取得的資料加以整理、呈現與摘要。
2. 推論性統計（inferential statistics）：由樣本資料推論母體特徵，並評估推論的不確定性。

兩者的主要差異，在於研究目的不同：

• 描述性統計回答「這批資料呈現什麼現象？」
• 推論性統計回答「根據這批樣本資料，可以對整個母體作出什麼判斷？」

本題不涉及特定法條，重點在於母體、樣本、參數、統計量及統計方法的區分。

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一、描述性統計

1. 定義

描述性統計是指將所蒐集到的資料，透過分類、整理、表格、圖形及數值摘要等方式，呈現資料的特徵與分布情形。

其目的在於忠實描述「已觀察到的資料」，不必進一步推論未觀察對象。

2. 常見方法

描述性統計通常包括下列方法：

（1）資料整理

例如：

• 次數分配表
• 相對次數分配表
• 累積次數分配表
• 交叉表

（2）圖形呈現

例如：

• 長條圖
• 圓餅圖
• 直方圖
• 折線圖
• 箱形圖
• 散佈圖

不同圖形適用於不同資料型態。例如，類別資料適合使用長條圖；連續數值資料常使用直方圖；兩個數值變數的關係則可用散佈圖呈現。

（3）集中趨勢量數

用來表示資料的代表值，包括：

• 平均數
• 中位數
• 眾數

若有 $n$ 筆觀察值 $x_1,x_2,\ldots,x_n$，樣本平均數為：

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

中位數是資料由小到大排列後，位於中央位置的數值；眾數則是出現次數最多的數值。

（4）離散程度量數

用來表示資料的分散情形，包括：

• 全距
• 四分位距
• 變異數
• 標準差

樣本變異數為：

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

樣本標準差為：

$$s=\sqrt{s^2}$$

平均數主要描述資料的中心位置，標準差則描述資料偏離平均數的程度。兩者合併使用，才能較完整地掌握資料特性。

3. 描述性統計的例子

某年度某海關抽查 5 批貨物，每批貨物的查驗時間如下：

$$12,\ 15,\ 10,\ 18,\ 15$$

資料總和為：

$$12+15+10+18+15=70$$

因此平均查驗時間為：

$$\bar{x}=\frac{70}{5}=14$$

資料由小到大排列為：

$$10,\ 12,\ 15,\ 15,\ 18$$

所以中位數為 $15$，眾數也是 $15$，全距為：

$$18-10=8$$

上述工作只是在描述這 5 批已觀察貨物的查驗時間，沒有據此推論所有貨物的查驗時間，因此屬於描述性統計。

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二、推論性統計

1. 定義

推論性統計是指利用樣本資料，對未完全觀察的母體特徵進行推估、檢定或預測，並考量抽樣誤差及推論的不確定性。

其基本邏輯為：

$$\text{母體} \longrightarrow \text{抽取樣本} \longrightarrow \text{分析樣本} \longrightarrow \text{推論母體}$$

2. 重要名詞

（1）母體（population）

研究對象的全部集合。

例如，研究某年度所有進出口貨物的平均通關時間，該年度所有進出口貨物即為母體。

（2）樣本（sample）

從母體中抽取的一部分觀察對象。

例如，從所有進出口貨物中隨機抽取 500 批貨物進行分析，這 500 批貨物就是樣本。

（3）母體參數（parameter）

描述母體特徵的數值，例如：

• 母體平均數 $\mu$
• 母體變異數 $\sigma^2$
• 母體比例 $p$

（4）樣本統計量（statistic）

由樣本資料計算所得的數值，例如：

• 樣本平均數 $\bar{x}$
• 樣本變異數 $s^2$
• 樣本比例 $\hat{p}$

樣本統計量通常用來估計未知的母體參數。

核心觀念

本題考查常態分配標準化，以及樣本平均數的抽樣分配。

設單瓶蘇打水容量為 $X$，題目給定：

$$X\sim N(\mu,\sigma^2)=N(32.2,0.3^2)$$

標準化公式為：

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$$

若購買 $n$ 瓶，且各瓶容量相互獨立、同樣服從上述常態分配，則四瓶平均容量 $\bar X$ 仍服從常態分配：

$$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

其標準差為：

$$\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

本題不涉及法條；若涉及法規題，應以命題當年（民國 111 年）法規為準。

解題方法

（一）單瓶容量超過 32 盎司的機率

要求：

$$P(X>32)$$

先將 $X=32$ 標準化：

$$Z=\frac{32-32.2}{0.3} =\frac{-0.2}{0.3} =-0.6667$$

因此：

$$P(X>32)=P(Z>-0.6667)$$

利用標準常態分配的對稱性：

$$P(Z>-0.6667)=P(Z<0.6667)=\Phi(0.6667)$$

查標準常態分配表：

$$\Phi(0.6667)\approx 0.7475$$

所以，一瓶容量超過 32 盎司的機率約為：

$$\boxed{0.7475}$$

亦即約為：

$$\boxed{74.75\%}$$

（二）四瓶平均容量大於 32 盎司的機率

設四瓶容量分別為 $X_1,X_2,X_3,X_4$，其平均容量為：

$$\bar X=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{4}$$

在各瓶容量相互獨立的假設下：

$$\bar X\sim N\left(32.2,\frac{0.3^2}{4}\right)$$

核心觀念

本題考「單一母體比例的假設檢定」，用樣本比例判斷酒店與汽車旅館的客滿比例是否低於廣播電台宣稱的 $90\%$。

設 $p$ 為國家紀念日週末客滿的酒店與汽車旅館比例。

廣播電台宣稱「至少 $90\%$」：

$$p\geq 0.90$$

由於消費者協會要檢驗該宣稱是否過度樂觀，因此採左尾檢定：

$$H_0:p\geq 0.90$$ $$H_1:p<0.90$$

計算 $p$ 值時，虛無假設中的臨界值採 $p_0=0.90$。

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解題方法

1. 計算樣本比例

樣本數為 $n=58$，其中沒有空缺的家數為 $x=49$，故樣本比例為

$$\hat p=\frac{x}{n}=\frac{49}{58}=0.8448$$

樣本顯示客滿比例約為 $84.48\%$，低於宣稱的 $90\%$。

2. 檢查常態近似條件

在 $H_0:p=0.90$ 下：

$$np_0=58(0.9)=52.2$$ $$n(1-p_0)=58(0.1)=5.8$$

後者略接近 $5$，可採單一比例 $Z$ 檢定作近似；若要求精確計算，則採二項分配檢定。

3. 單一比例 $Z$ 檢定

檢定統計量為

$$Z=\frac{\hat p-p_0} {\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$

代入數值：

$$Z= \frac{0.8448-0.90} {\sqrt{\frac{0.9(0.1)}{58}}}$$ $$Z\approx -1.40$$

因為是左尾檢定，$p$ 值為

$$p\text{-value}=P(Z\leq -1.40) \approx 0.0808$$

比較顯著水準：

$$0.0808>0.05$$

因此不能拒絕 $H_0$。

4. 二項分配精確檢定

令 $X$ 表示樣本中客滿的家數。在 $H_0:p=0.90$ 的邊界下：

$$X\sim \operatorname{Binomial}(58,0.9)$$

核心觀念

本題考「列聯表獨立性檢定」，用以判斷睡眠時間與年齡是否相互獨立。

• 虛無假設：$H_0$：睡眠時間與年齡相互獨立。
• 對立假設：$H_1$：睡眠時間與年齡不相互獨立。
• 檢定統計量：

$$\chi^2=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$$

其中 $O_{ij}$ 為觀察次數，$E_{ij}$ 為期望次數。

期望次數為：

$$E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總和}}$$

本題有 $4$ 列、$2$ 欄，因此自由度為：

$$(r-1)(c-1)=(4-1)(2-1)=3$$

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（一）睡眠時間與年齡的獨立性檢定

依考卷圖示，觀察次數如下：

睡眠時間	39歲或以下	40歲或以上	列合計
少於6小時	38	36	74
6至6.9小時	60	57	117
7至7.9小時	77	75	152
8小時或更多	65	92	157
欄合計	240	260	500

1. 計算期望次數

例如，少於6小時且39歲或以下的期望次數為：

$$E_{11}=\frac{74(240)}{500}=35.52$$

各格期望次數為：

睡眠時間	39歲或以下	40歲或以上
少於6小時	35.52	38.48
6至6.9小時	56.16	60.84
7至7.9小時	72.96	79.04
8小時或更多	75.36	81.64

所有期望次數均大於5，符合卡方檢定條件。

2. 計算卡方統計量

核心觀念

本題考「簡單線性迴歸分析」：

• 自變數：女性員工百分比 $X$
• 應變數：女性管理職位百分比 $Y$
• 線性迴歸方程式：

$$\hat{Y}=a+bX$$

其中：

$$b=\frac{\sum (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)} {\sum (X_i-\bar X)^2}$$ $$a=\bar Y-b\bar X$$

散布圖若呈現由左下往右上的趨勢，表示 $X$ 與 $Y$ 具有正向線性關係，適合以直線迴歸模型估計。

解題方法

資料如下：

$$X: 67,\ 45,\ 73,\ 54,\ 61$$ $$Y: 49,\ 21,\ 65,\ 47,\ 33$$

先求平均數：

$$\bar X=\frac{67+45+73+54+61}{5}=60$$ $$\bar Y=\frac{49+21+65+47+33}{5}=43$$

計算離均差及相關乘積：

$X_i-\bar X$	$Y_i-\bar Y$	$(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$	$(X_i-\bar X)^2$
7	6	42	49
-15	-22	330	225
13	22	286	169
-6	4	-24	36
1	-10	-10	1