113 年關務特考四等電機工程(選試英文) 考古題與詳解

Question 1

如圖一所示直流電路，若電壓 $V1=24\,\mathrm{V}$、$V2=12\,\mathrm{V}$、$V3=10\,\mathrm{V}$，電阻 $R1$ 吸收功率為 $400\,\mathrm{mW}$，電阻 $R2$ 吸收功率為 $484\,\mathrm{mW}$，試求電路中的電流 $i$ 及電阻 $R2$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查理想電壓源的極性判讀，以及電阻吸收功率公式： $$P=VI=I^2R=\frac{V^2}{R}$$ 先依電壓源極性求出電阻兩端電壓，再利用已知功率求電流或電阻。 解題方法 以左下方節點為 $0\,\mathrm{V}$。 由 $V1=24\,\mathrm{V}$，$R1$ 左端電位為 $24\,\mathrm{V}$。由 $V2=12\,\mathrm{V}$，其右側節點電位比左側高 $12\,\mathrm{V}$，所以右下方節點為 $12\,\mathrm{V}$。再由 $V3=10\,\mathrm{V}$，其上端比下端高 $10\,\mathrm{V}$，因此 $R1$ 右端、$R2$ 上端的節點電位為 $$12+10=22\,\mathrm{V}$$ 所以 $R1$ 左端至右端的電壓降為 $$V{R1}=24-22=2\,\mathrm{V}$$ 電流箭頭由左向右，與此電壓降方向一致。依被動符號約定，$R1$ 吸收功率，因此 $$P{R1}=V{R1}i$$

Question 2

如圖二所示直流電路，試求可從電路得到最大功率轉移的負載 $RL$ 值，並求轉移到負載 $RL$ 的最大功率。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 將負載 $RL$ 端的其餘電路化為戴維寧等效電路。對純電阻直流電路，負載得到最大功率時： $$ RL=R{\mathrm{th}},\qquad P{\max}=\frac{V{\mathrm{th}}^2}{4R{\mathrm{th}}} $$ 圖中的 $5\,	ext{k}\Omega$ 電阻仍屬於負載端看到的電路，計算戴維寧等效時須保留。 解題方法 先求戴維寧電阻。將 $60\,	ext{V}$ 電壓源短路、$15\,	ext{mA}$ 電流源開路，從 $RL$ 端看入： $$ 2.4\,	ext{k}\Omega\parallel4.8\,	ext{k}\Omega =1.6\,	ext{k}\Omega $$ 由上端輸出端經電路到下端輸出端的路徑電阻為： $$ 1.6+1.6+1.8=5\,	ext{k}\Omega $$ 此路徑與輸出端間的 $5\,	ext{k}\Omega$ 電阻並聯，因此 $$ R{\mathrm{th}}=5\,	ext{k}\Omega\parallel5\,	ext{k}\Omega =2.5\,	ext{k}\Omega $$ 接著求戴維寧電壓。將 $RL$ 開路，但保留 $5\,	ext{k}\Omega$ 電阻。此時由節點 $A$ 經 $1.6\,	ext{k}\Omega$、$5\,	ext{k}\Omega$、$1.8\,	ext{k}\Omega$ 到下方公共節點的支路，總電阻為 $8.4\,	ext{k}\Omega$。

Question 3

如圖三所示電路，當時間為零時（$t=0$）開關 $S$ 導通。已知 $t0$ 後電流 $ia(t)=-5e^{-50t}\,\mathrm{mA}$，若 $vb(0)=250\,\mathrm{V}$ 且 $vc(0)=-50\,\mathrm{V}$，試求 $t\geq 0$ 後之 $va(t)$、$vc(t)$ 及 $ib(t)$。 電路包含 $5\,\mu\mathrm{F}$、$1200\,\mathrm{nF}$ 與 $800\,\mathrm{nF}$ 電容器，以及黑盒子；各電壓與電流方向依圖示標示。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題使用電容的電壓—電流關係 $$ iC=C\frac{dvC}{dt}, $$ 並依圖示電壓極性與電流方向列式。下方的 $1200\,\mathrm{nF}$ 與 $800\,\mathrm{nF}$ 電容並聯，兩端電壓相同，等效電容量為 $$ C{	ext{下}}=1200+800=2000\,\mathrm{nF}=2\,\mu\mathrm{F}. $$ 解題方法 令上、中、下三個節點電位分別為 $VU$、$VM$、$VL$。依圖示極性： $$ va=VU-VL,\qquad vc=VM-VU,\qquad vb=VL-VM. $$ 因此三個電壓滿足 $$ va+vb+vc=0. $$ 上方 $5\,\mu\mathrm{F}$ 電容的電壓 $vc$ 以中間節點為正端；沿著電容由中間節點流向上方節點的電流為 $5\,\mu\mathrm{F}\,\dfrac{dvc}{dt}$。由上方節點的 KCL，此電流等於流入黑盒子的 $ia(t)$： $$ ia(t)=5\,\mu\mathrm{F}\frac{dvc}{dt}. $$ 代入已知電流： $$ \frac{dvc}{dt} =\frac{-5e^{-50t}\,\mathrm{mA}}{5\,\mu\mathrm{F}} =-1000e^{-50t}\,\mathrm{V/s}. $$ 再用 $vc(0)=-50\,\mathrm{V}$ 積分： $$ vc(t)=-50+\int0^t-1000e^{-50	au}\,d	au =-70+20e^{-50t}\,\mathrm{V}. $$ 下方兩個並聯電容的總電流向上為 $C{	ext{下}}\dfrac{dvb}{dt}$。依中間節點 KCL，這個向上電流等於 $ia(t)$：

Question 4

如圖四所示交流電路，若 $vs(t)=100\cos(2000t)\,\mathrm{V}$，試求電流 $ix(t)$、電源 $vs(t)$ 所提供的複數功率及 $20\,\Omega$ 電阻吸收的平均功率。 電路元件及參數如下：$30\,\Omega$ 電阻、$40\,\mu\mathrm{F}$ 電容器、$60\,\mathrm{mH}$ 電感、$20\,\Omega$ 電阻，以及受控電壓源，其電壓為 $4ix(t)$。電流 $ix(t)$ 的方向依圖示向下。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查正弦穩態相量分析、受控電壓源與複數功率。使用阻抗關係 $V=ZI$、節點電流定律，以及平均功率公式。電源電壓與電流相量採用峰值計算，求功率時再換成有效值。 解題方法 令電感上端節點電壓為 $\dot V$，右側串聯支路電流為 $\dot Ir$。角頻率為 $\omega=2000\ \mathrm{rad/s}$，因此 $$ ZC=\frac{1}{j\omega C}=-j12.5\ \Omega,\qquad ZL=j\omega L=j120\ \Omega $$ 以峰值相量表示電源電壓：$\dot Vs=100\angle 0^\circ\ \mathrm{V}$。 由電感支路及右側支路的電壓關係， $$ \dot V=j120\dot Ix $$ $$ \dot V=20\dot Ir+4\dot Ix \quad\Longrightarrow\quad \dot Ir=\frac{j120-4}{20}\dot Ix=(-0.2+j6)\dot Ix $$ 在節點套用 KCL，流經 $30\ \Omega$ 電阻與電容的電流為 $$ \dot I=\dot Ix+\dot Ir=(-0.2+j7)\dot Ix $$ 電源至節點之間的串聯阻抗為 $30-j12.5\ \Omega$，故 $$ \begin{aligned} \dot Vs &=\dot V+(30-j12.5)\dot I\ &=\left[j120+(30-j12.5)(-0.2+j7)ight]\dot Ix\ &=(81.5+j332.5)\dot Ix \end{aligned} $$ 因此 $$ \dot Ix=\frac{100}{81.5+j332.5} =0.2921\angle -76.23^\circ\ \mathrm{A} $$ 回到時域，電流峰值相量直接對應餘弦波的振幅： $$ ix(t)=0.2921\cos(2000t-76.23^\circ)\ \mathrm{A} $$ 電源提供的複數功率

113 關務特考四等電機工程(選試英文) 基本電學考古題詳解

第一題15 分

第二題25 分

第三題30 分

核心觀念

解題方法

第四題30 分

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