115 身心障礙特考三等 機械工程 流體力學與工程力學 考古題詳解

115 年・身心障礙特考・三等・機械工程
試題代碼 流體力學與工程力學

第 一 題25 分

如圖所示為一不鏽鋼中空圓管，其外徑為 165.2 mm165.2\ \mathrm{mm}、管厚 6 mm6\ \mathrm{mm}、長度 L=2.0 mL=2.0\ \mathrm{m}，而剪切模數（shear modulus）為 80 GPa80\ \mathrm{GPa}。該圓管之一端固定，另一端受扭矩 T=1000 N⋅mT=1000\ \mathrm{N\cdot m} 作用。試求此圓管：

（一）受到的最大剪切應力。（15 分）

（二）在受扭矩端之扭轉角。（10 分）

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核心觀念

本題考查圓管的扭轉公式。對均勻中空圓管而言：

  • 扭轉常數為極慣性矩 JJ
  • 剪切應力分布為 τ(r)=TrJ\tau(r)=\frac{Tr}{J}
  • 最大剪切應力發生在外表面 r=Ror=R_o
  • 扭轉角為 θ=TLGJ\theta=\frac{TL}{GJ}

中空圓管的極慣性矩為

J=π32(Do4−Di4)=π2(Ro4−Ri4)J=\frac{\pi}{32}\left(D_o^4-D_i^4\right) =\frac{\pi}{2}\left(R_o^4-R_i^4\right)

解題方法

1. 求內徑與內、外半徑

已知：

Do=165.2 mm,t=6 mmD_o=165.2\ \mathrm{mm},\qquad t=6\ \mathrm{mm}

因此內徑為

Di=Do−2t=165.2−2(6)=153.2 mmD_i=D_o-2t =165.2-2(6) =153.2\ \mathrm{mm}

換算為公尺：

Do=0.1652 m,Di=0.1532 mD_o=0.1652\ \mathrm{m},\qquad D_i=0.1532\ \mathrm{m}

外、內半徑分別為

Ro=0.0826 m,Ri=0.0766 mR_o=0.0826\ \mathrm{m},\qquad R_i=0.0766\ \mathrm{m}

2. 求極慣性矩

J=π32[(0.1652)4−(0.1532)4]J=\frac{\pi}{32} \left[ (0.1652)^4-(0.1532)^4 \right]

計算得

J=1.9041×10−5 m4J=1.9041\times10^{-5}\ \mathrm{m^4}

（一）最大剪切應力

最大剪切應力位於外表面，因此

τmax⁡=TRoJ\tau_{\max}=\frac{TR_o}{J}

代入

τmax⁡=(1000)(0.0826)1.9041×10−5\tau_{\max} = \frac{(1000)(0.0826)} {1.9041\times10^{-5}} τmax⁡=4.34×106 Pa\boxed{\tau_{\max}=4.34\times10^6\ \mathrm{Pa}}

即

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第 二 題25 分

一質量為 80 kg80\ \mathrm{kg} 的滑塊從光滑面頂端靜止滑下，如圖所示。斜面長度為 10 m10\ \mathrm{m}，與水平面之夾角為 30∘30^\circ。在斜面底部連接一彈簧，彈簧常數 k=1000 N/mk=1000\ \mathrm{N/m}，重力加速度為 g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}。試求：

（一）滑塊與彈簧接觸前的速度。（10 分）

（二）彈簧被壓縮的最大距離。（15 分）

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核心觀念

本題為「光滑斜面上的功能原理」：

  • 斜面光滑，無摩擦力。
  • 重力沿斜面方向的分量為 mgsin⁡θmg\sin\theta
  • 滑塊與彈簧接觸前，重力位能轉換為動能。
  • 彈簧壓縮期間，重力所作的功轉換為滑塊動能與彈簧彈性能；最大壓縮時滑塊瞬時靜止。

由圖可知，彈簧軸線與斜面方向一致。

解題方法

（一）滑塊與彈簧接觸前的速度

滑塊由斜面頂端靜止滑下，沿斜面移動距離 s=10 ms=10\ \mathrm{m}。

斜面下降高度為

h=ssin⁡30∘=10(0.5)=5 mh=s\sin 30^\circ =10(0.5)=5\ \mathrm{m}

由能量守恆：

mgh=12mv2mgh=\frac{1}{2}mv^2

質量 mm 可約去，因此

v=2gh=2(9.81)(5)v=\sqrt{2gh} =\sqrt{2(9.81)(5)} v=9.90 m/s\boxed{v=9.90\ \mathrm{m/s}}

（二）彈簧被壓縮的最大距離

設彈簧最大壓縮量為 xx。

滑塊從斜面頂端滑至最大壓縮位置，沿斜面總移動距離為 10+x10+x，因此重力位能減少量為

mg(10+x)sin⁡30∘mg(10+x)\sin30^\circ

最大壓縮時滑塊速度為零，全部能量儲存於彈簧中：

mg(10+x)sin⁡30∘=12kx2mg(10+x)\sin30^\circ =\frac{1}{2}kx^2

代入 m=80 kgm=80\ \mathrm{kg}、g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}、k=1000 N/mk=1000\ \mathrm{N/m}：

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第 三 題25 分

如下圖所示之汽車測試風洞，其中空氣被安置於風洞出口的抽風設備吸入。

（一）當測試汽車區塊入口的速度為 97 km/h97\ \mathrm{km/h}，試計算壓力計讀數 hh。應特別注意，壓力計中的水面上有 0.025 m0.025\ \mathrm{m} 的油柱，而油比重（specific gravity）為 0.90.9，且空氣與水之密度分別為 1.23 kg/m31.23\ \mathrm{kg/m^3} 與 1000 kg/m31000\ \mathrm{kg/m^3}。（15 分）

（二）汽車前端（front of car）之停滯壓（stagnation pressure）與入口段之靜壓（static pressure）的差值。（10 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 伯努力方程式：由風洞入口外界空氣求測試區入口的靜壓。
  2. U 形壓力計靜力平衡：考慮水柱與油柱的壓力變化。
  3. 停滯壓與靜壓差：
p0−p=12ρV2p_0-p=\frac{1}{2}\rho V^2

假設風洞入口外界壓力為大氣壓 patmp_{\mathrm{atm}}，且入口與壓力計取壓位置高度相同、忽略損失。

（一）壓力計讀數 hh

1. 入口段靜壓

車測試區入口速度為

V=97 km/h=973.6=26.944 m/sV=97\ \mathrm{km/h} =\frac{97}{3.6} =26.944\ \mathrm{m/s}

由伯努力方程式：

patm+12ρaV入口2=p入口+12ρaV2p_{\mathrm{atm}}+\frac{1}{2}\rho_a V_{\mathrm{入口}}^2 = p_{\mathrm{入口}}+\frac{1}{2}\rho_a V^2

風洞外界空氣近似靜止，因此

p入口−patm=−12ρaV2p_{\mathrm{入口}}-p_{\mathrm{atm}} = -\frac{1}{2}\rho_a V^2

其中 ρa=1.23 kg/m3\rho_a=1.23\ \mathrm{kg/m^3}，故

p入口−patm=−12(1.23)(26.944)2=−446.6 Pap_{\mathrm{入口}}-p_{\mathrm{atm}} = -\frac{1}{2}(1.23)(26.944)^2 =-446.6\ \mathrm{Pa}

2. 壓力計平衡

油的密度為

ρo=0.9(1000)=900 kg/m3\rho_o=0.9(1000)=900\ \mathrm{kg/m^3}

由圖，右側油面為開口面，壓力為 patmp_{\mathrm{atm}}；油柱高度為 0.025 m0.025\ \mathrm{m}。

在右側水油交界面：

p=patm+ρog(0.025)p=p_{\mathrm{atm}}+\rho_o g(0.025)

再由水柱向上至左側取壓位置，壓力降低 ρwgh\rho_wgh，因此

p入口=patm+ρog(0.025)−ρwghp_{\mathrm{入口}} = p_{\mathrm{atm}}+\rho_o g(0.025)-\rho_wgh

整理得

p入口−patm=ρog(0.025)−ρwghp_{\mathrm{入口}}-p_{\mathrm{atm}} = \rho_o g(0.025)-\rho_wgh

代入 p入口−patm=−446.6 Pap_{\mathrm{入口}}-p_{\mathrm{atm}}=-446.6\ \mathrm{Pa}：

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第 四 題25 分

如下圖所示之方形角落（square corner）的速度場為

V⃗=Axe^x−Aye^y\vec{V}=Ax\hat{e}_x-Ay\hat{e}_y

其中 A=0.4 s−1A=0.4\ \mathrm{s^{-1}}。

試回答下列問題：（每小題 5 分，共 25 分）

（一）推導其流線方程式。

（二）計算其角變形率（rate of angular deformation）。

（三）推導出 div⁡v⃗\operatorname{div}\vec{v} 之表示式，並判斷此流場是否為可壓縮流（compressible flow）。

（四）推導出其旋轉（rotation）之表示式，並判斷此流場是否為無旋流（irrotational flow）。

（五）計算 a−b−c−da-b-c-d 封閉區域之環流（circulation）。

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核心觀念

本題考查二維穩定速度場

V⃗=ue^x+ve^y\vec V=u\hat e_x+v\hat e_y

的流線、角變形率、散度、旋轉及環流。其中

u=Ax,v=−Ay,A=0.4 s−1.u=Ax,\qquad v=-Ay,\qquad A=0.4\ \mathrm{s^{-1}}.

主要公式為：

dydx=vu,\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u}, 角變形率=∂u∂y+∂v∂x,\text{角變形率}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}, ∇⋅V⃗=∂u∂x+∂v∂y,\nabla\cdot\vec V=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}, ω⃗=12∇×V⃗,\vec\omega=\frac{1}{2}\nabla\times\vec V, Γ=∮CV⃗⋅dr⃗=∮C(u dx+v dy).\Gamma=\oint_C \vec V\cdot d\vec r =\oint_C(u\,dx+v\,dy).

（一）流線方程式

流線上任一點的切線方向與速度方向一致，因此

dydx=vu=−AyAx=−yx.\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u} =\frac{-Ay}{Ax} =-\frac{y}{x}.

分離變數：

dyy=−dxx.\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}.

積分得

ln⁡∣y∣=−ln⁡∣x∣+C,\ln |y|=-\ln |x|+C,

因此

ln⁡∣xy∣=C\ln|xy|=C

或寫成

xy=C1.\boxed{xy=C_1}.

所以流線為一族雙曲線。圖中方形區域四個頂點所處的流線常數分別為：

xy:a(1,1)⇒1,b(1,2)⇒2,c(2,2)⇒4,d(2,1)⇒2.xy: \quad a(1,1)\Rightarrow 1, \quad b(1,2)\Rightarrow 2, \quad c(2,2)\Rightarrow 4, \quad d(2,1)\Rightarrow 2.

（二）角變形率

二維流動的角變形率為

∂u∂y+∂v∂x.\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial v}{\partial x}.

由

u=Ax,v=−Ayu=Ax,\qquad v=-Ay

可得

∂u∂y=0,∂v∂x=0.\frac{\partial u}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}=0.

因此

∂u∂y+∂v∂x=0.\boxed{ \frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial v}{\partial x}=0 }.

若採用流體力學中「旋轉體微小元素的角速度」定義，角變形率為上述量的一半，結果仍為

0 s−1.\boxed{0\ \mathrm{s^{-1}}}.

這表示流體微小元素不產生剪切角變化。

（三）散度與可壓縮性

速度場的散度為

∇⋅V⃗=∂u∂x+∂v∂y.\nabla\cdot\vec V =\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y}.

計算得

∂u∂x=A,∂v∂y=−A.\frac{\partial u}{\partial x}=A, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-A.

因此

∇⋅V⃗=A−A=0.\nabla\cdot\vec V=A-A=0.

代入 A=0.4 s−1A=0.4\ \mathrm{s^{-1}}：

∇⋅V⃗=0.\boxed{\nabla\cdot\vec V=0}.

連續方程式表示為

DρDt+ρ∇⋅V⃗=0.\frac{D\rho}{Dt}+\rho\nabla\cdot\vec V=0.

當

∇⋅V⃗=0\nabla\cdot\vec V=0

時，若流體密度沿流線保持不變，則為不可壓縮流。因此本流場為

不可壓縮流（incompressible flow）.\boxed{\text{不可壓縮流（incompressible flow）}}.

（四）旋轉與無旋性

旋轉向量定義為

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