115 身心障礙特考三等 機械工程 熱力學 考古題詳解

115 年・身心障礙特考・三等・機械工程
試題代碼 熱力學

第 一 題20 分

一架飛機在馬赫數 1.61.6 的速度下飛行，飛行高度的大氣溫度為 −50∘C-50^\circ\mathrm{C}。飛機的機鼻表面溫度大約等於靜滯溫度（Stagnation Temperature）。請求出：

(一) 飛機的飛行速度。（單位取 m/s\mathrm{m/s}）（10 分）

(二) 機鼻表面溫度。（單位取 ∘C^\circ\mathrm{C}）（10 分）

註：假設空氣的等壓比熱 Cp=1.005 kJ/(kg⋅K)C_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}、等容比熱 Cv=0.718 kJ/(kg⋅K)C_v=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，氣體常數 R=0.287 kJ/(kg⋅K)R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，空氣的焓 h=CpTh=C_pT（TT 的單位為 K\mathrm{K}）。

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核心觀念

本題考查馬赫數、音速與絕熱停滯溫度的關係。

馬赫數定義為飛行速度與當地音速之比：

M=VaM=\frac{V}{a}

理想氣體的音速為：

a=γRTa=\sqrt{\gamma RT}

其中 γ=Cp/Cv\gamma=C_p/C_v，RR 為氣體常數，TT 為絕對溫度。飛機機鼻處氣流減速至零時，若視為絕熱且無軸功，則流動動能轉為焓，形成停滯溫度 T0T_0：

h0=h+V22h_0=h+\frac{V^2}{2}

搭配 h=CpTh=C_pT，可得：

T0=T+V22Cp=T[1+γ−12M2]T_0=T+\frac{V^2}{2C_p} =T\left[1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right]

解題方法

已知飛行高度的靜溫為 −50∘C-50^\circ\mathrm C，先換算絕對溫度：

T=273.15−50=223.15 KT=273.15-50=223.15\ \mathrm K

（一）飛行速度

先由比熱求比熱比：

γ=CpCv=1.0050.718=1.3997\gamma=\frac{C_p}{C_v} =\frac{1.005}{0.718} =1.3997

以音速公式求當地音速。使用 R=0.287 kJ/(kg⋅K)=287 J/(kg⋅K)R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=287\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}，使音速結果為 m/s\mathrm{m/s}：

a=γRT=(1.3997)(287)(223.15)≈299.4 m/sa=\sqrt{\gamma RT} =\sqrt{(1.3997)(287)(223.15)} \approx 299.4\ \mathrm{m/s}

由 V=MaV=Ma：

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第 二 題30 分

一封閉氣缸內部充滿空氣，開始時（狀態 1）的壓力為 20 bar20\ \mathrm{bar}、體積為 0.5 m30.5\ \mathrm{m^3}、溫度為 400 K400\ \mathrm{K}。若空氣被一活塞壓縮，使其體積先沿著等溫的過程變化至 0.35 m30.35\ \mathrm{m^3}（狀態 2），再沿著等壓的過程變化至 0.2 m30.2\ \mathrm{m^3}（狀態 3）。假設空氣為理想氣體，氣體常數為 0.287 kJ/(kg⋅K)0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，試求：

(一) 氣缸內空氣質量為何？（單位取 kg\mathrm{kg}）（10 分）

(二) 在空氣由狀態 1 被壓縮至狀態 3 的過程中，活塞對空氣的作功為何？（單位取 kJ\mathrm{kJ}）（10 分）

(三) 狀態 3 的溫度為何？（單位取 K\mathrm{K}）（10 分）

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核心觀念

本題考查理想氣體狀態方程式，以及定溫、定壓過程的邊界功。

封閉系統內質量固定，理想氣體滿足：

PV=mRTPV=mRT

採用「氣體對外作功為正」的符號約定時，氣體在準靜態過程中的邊界功為：

W=∫V1V2P dVW=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV

因此，壓縮過程中氣體體積減少，氣體作功為負；「活塞對空氣作功」則與氣體作功方向相反。

解題方法

（一）求空氣質量

由狀態 1 的理想氣體狀態方程式：

m=P1V1RT1m=\frac{P_1V_1}{RT_1}

注意壓力須換成與氣體常數相符的單位：

20 bar=2000 kPa20\ \mathrm{bar}=2000\ \mathrm{kPa}

代入 V1=0.5 m3V_1=0.5\ \mathrm{m^3}、T1=400 KT_1=400\ \mathrm{K}、R=0.287 kJ/(kg⋅K)R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，並利用 1 kPa⋅m3=1 kJ1\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\ \mathrm{kJ}：

m=(2000)(0.5)(0.287)(400)=8.711 kgm=\frac{(2000)(0.5)}{(0.287)(400)} =8.711\ \mathrm{kg}

（二）求活塞對空氣的作功

總過程分為定溫 1→21\to2 與定壓 2→32\to3，分別計算後相加。

定溫過程 1→21\to2：

理想氣體定溫時 PV=mRTPV=mRT 為定值，因此 P=P1V1VP=\dfrac{P_1V_1}{V}。氣體對外作功為：

W1→2,氣體=∫V1V2P dV=P1V1ln⁡(V2V1)W_{1\to2,\text{氣體}} =\int_{V_1}^{V_2}P\,dV =P_1V_1\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)

代入 P1V1=(2000)(0.5)=1000 kJP_1V_1=(2000)(0.5)=1000\ \mathrm{kJ}：

W1→2,氣體=1000ln⁡(0.350.5)=−356.675 kJW_{1\to2,\text{氣體}} =1000\ln\left(\frac{0.35}{0.5}\right) =-356.675\ \mathrm{kJ}

所以活塞對空氣作功為 +356.675 kJ+356.675\ \mathrm{kJ}。

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第 三 題25 分

壓力 P1=2 barP_1=2\ \mathrm{bar} 的水飽和液汽混合物（Saturated liquid-saturated vapor mixture）流進一個外部絕熱的節流管（Throttling tube），出口處變成壓力 P2=0.8 barP_2=0.8\ \mathrm{bar} 的純飽和蒸汽，試參考下方飽和水之特性表決定：

(一) 進口狀態 1 的乾度（Quality）？（15 分）

(二) 出口狀態 2 和進口狀態 1 的溫度差 ΔT=T2−T1\Delta T=T_2-T_1 為何？（單位取 ∘C^\circ\mathrm{C}）（10 分）

飽和水之特性表：

Pressure（bar）Temperature（∘C^\circ\mathrm{C}）Sat. Liquid hfh_f（kJ/kg）Sat. Vapor hgh_g（kJ/kg）
0.893.50391.662665.8
0.996.71405.152670.9
1.099.63417.462675.5
1.5111.4467.112693.6
2.0120.2504.702706.7
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查：

  1. 節流過程的能量平衡
  2. 穩定流動能量方程式
  3. 飽和液汽混合物的乾度
  4. 飽和水表的查表與內插概念

節流管具有下列特性：

  • 外部絕熱：q=0q=0
  • 無軸功：w=0w=0
  • 進出口高度差與速度差可忽略

因此穩定流動能量方程式簡化為：

h1=h2h_1=h_2

也就是節流過程為等焓過程。

（一）進口狀態 1 的乾度

出口狀態 2 為壓力 P2=0.8 barP_2=0.8\ \mathrm{bar} 的純飽和蒸汽，因此由表得：

h2=hg@0.8 bar=2665.8 kJ/kg[email protected]\ \mathrm{bar}=2665.8\ \mathrm{kJ/kg}

由節流過程等焓：

h1=h2=2665.8 kJ/kgh_1=h_2=2665.8\ \mathrm{kJ/kg}

進口壓力為 P1=2 barP_1=2\ \mathrm{bar}，且為飽和液汽混合物，其混合物比焓為：

h1=hf+xhfgh_1=h_f+xh_{fg}

其中：

hfg=hg−hfh_{fg}=h_g-h_f

由表中 2 bar2\ \mathrm{bar} 的資料：

hf=504.70 kJ/kgh_f=504.70\ \mathrm{kJ/kg} hg=2706.7 kJ/kgh_g=2706.7\ \mathrm{kJ/kg}

因此：

hfg=2706.7−504.70=2202.0 kJ/kgh_{fg}=2706.7-504.70=2202.0\ \mathrm{kJ/kg}

代入乾度公式：

x=h1−hfhfgx=\frac{h_1-h_f}{h_{fg}} x=2665.8−504.702202.0x=\frac{2665.8-504.70}{2202.0} x=2161.12202.0=0.9814x=\frac{2161.1}{2202.0}=0.9814

因此進口狀態的乾度為：

x1=0.9814\boxed{x_1=0.9814}

若以百分比表示：

x1=98.14%\boxed{x_1=98.14\%}
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第 四 題25 分

一根 0.4 kg0.4\ \mathrm{kg} 的金屬棒，初始溫度為 1000 K1000\ \mathrm{K}，從烤箱取出後迅速浸入一個密閉水槽中。水槽內含有 10 kg10\ \mathrm{kg} 的水，水的初始溫度為 300 K300\ \mathrm{K}。假設兩種物質皆可視為不可壓縮介質，且忽略水槽與外界的熱交換。假設水的比熱值 Cw=4200 J/(kg⋅K)C_w=4200\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}，金屬的比熱值 Cm=420 J/(kg⋅K)C_m=420\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}。請求出：

(一) 金屬棒與水的最終平衡溫度。（單位取 K\mathrm{K}）（10 分）

(二) 過程中的總熵產生量（Entropy production）。（單位取 J/K\mathrm{J/K}）（15 分）

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核心觀念

本題考查封閉系統能量守恆與熵平衡。金屬棒與水組成絕熱封閉系統，兩者交換的熱量大小相等、方向相反，因此金屬放出的熱量等於水吸收的熱量。達到熱平衡後，兩者溫度相同。

不可壓縮介質的比熱視為定值時，內能變化與熵變分別為

ΔU=mc (T2−T1)\Delta U=mc\,(T_2-T_1) ΔS=mcln⁡ ⁣(T2T1)\Delta S=mc\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)

其中熵公式中的溫度須使用絕對溫度，單位為 K\mathrm{K}。

解題方法

（一）求最終平衡溫度

以金屬棒和水共同構成封閉系統。題目指出系統與外界沒有熱交換，故依能量守恆：

ΔUm+ΔUw=0\Delta U_m+\Delta U_w=0

設最終平衡溫度為 TfT_f，代入兩者的質量、比熱與初溫：

mmCm(Tf−1000)+mwCw(Tf−300)=0m_mC_m(T_f-1000)+m_wC_w(T_f-300)=0

整理可得：

Tf=mmCm(1000)+mwCw(300)mmCm+mwCwT_f= \frac{m_mC_m(1000)+m_wC_w(300)} {m_mC_m+m_wC_w}

代入數值：

Tf=(0.4)(420)(1000)+(10)(4200)(300)(0.4)(420)+(10)(4200)=12,616,80042,168≈299.12 KT_f= \frac{(0.4)(420)(1000)+(10)(4200)(300)} {(0.4)(420)+(10)(4200)} =\frac{12{,}616{,}800}{42{,}168} \approx 299.12\ \mathrm{K}

（二）求總熵產生量

對整個金屬棒與水組成的絕熱封閉系統做熵平衡：

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