115 身心障礙特考三等 統計 抽樣方法與迴歸分析 考古題詳解

核心觀念

本題考查有限母體下，母體比例 $p$ 的估計與樣本數規劃。樣本中有 $x=35$ 人表示有意願，樣本數為 $n=50$，因此樣本比例為

$$\hat p=\frac{x}{n}=\frac{35}{50}=0.70.$$

以常態近似建立母體比例的 95% 信賴區間時，使用

$$\hat p\pm Z_{0.025}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.$$

本題母體共有 $N=500$ 人，且採不放回簡單隨機抽樣；因此區間估計的標準誤可納入有限母體修正因子：

$$\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}.$$

（一）95% 信賴區間

解題方法與計算

先計算未納入有限母體修正的標準誤：

$$SE(\hat p)=\sqrt{\frac{0.70(1-0.70)}{50}} =\sqrt{0.0042} \approx 0.06481.$$

因抽樣比例為 $50/500=10\%$，納入有限母體修正因子：

$$FPC=\sqrt{\frac{500-50}{500-1}} =\sqrt{\frac{450}{499}} \approx 0.94966.$$

故修正後標準誤為

$$SE_{\text{FPC}} =0.06481(0.94966) \approx 0.06154.$$

95% 信賴區間的誤差範圍為

$$E=1.96(0.06154)\approx 0.12062.$$

因此

$$\hat p\pm E =0.70\pm 0.12062 =(0.57938,\;0.82062).$$

全體學生有意願使用的比例，其 95% 信賴區間約為 57.9% 至 82.1%。

若採教科書常見的比例區間公式、未納入有限母體修正，則區間為 $0.70\pm1.96(0.06481)=(0.5730,0.8270)$。本題已明示母體為 500 人且為隨機抽樣，採不放回簡單隨機抽樣時，以上納入有限母體修正的區間較合適。

信賴區間的意涵與使用方式

95% 信賴水準指的是：若在相同抽樣設計下反覆抽樣，並每次依相同方法建構信賴區間，長期而言約有 95% 的區間會涵蓋固定但未知的母體比例 $p$。

核心觀念

本題考查分層隨機抽樣的總量估計，以及比例配置法。

令第 $h$ 層母體數為 $N_h$、樣本數為 $n_h$、樣本平均為 $\bar y_h$。分層抽樣的總量估計量為各層總量估計值相加：

$$\hat Y_{\mathrm{st}}=\sum_{h=1}^{L}N_h\bar y_h$$

比例配置法則依各層母體數占總母體數的比例分配樣本：

$$n_h=n\frac{N_h}{N},\qquad N=\sum_{h=1}^{L}N_h$$

解題方法

（一）估計社區總用電量

分別以各層母體數乘上該層樣本平均，估計該層總用電量，再加總：

$$\hat Y_{\mathrm{st}} =N_1\bar y_1+N_2\bar y_2$$ $$=100(250)+400(120) =25{,}000+48{,}000 =\boxed{73{,}000}$$

核心觀念

本題考查多元線性迴歸係數的解釋、個別係數的 $t$ 檢定，以及判定係數 $R^2$ 的計算。迴歸係數表示在其他自變數固定時，某一自變數改變一單位與應變數估計值的關係；個別係數是否顯著，可用「估計係數除以標準誤」形成 $t$ 統計量檢定。

（一）迴歸係數的統計意義

估計迴歸式為

$$\hat{Y}=150+12.5X_1-4.2X_2$$

• 截距項 $150$：當坪數 $X_1=0$ 且屋齡 $X_2=0$ 時，模型預測房價為 $150$。截距是迴歸平面的基準值；若「坪數為 0」不具實際意義，則不宜將其作為有實務意義的房價預測。
• 坪數係數 $12.5$：在屋齡固定下，坪數每增加 1 坪，模型預測房價平均增加 $12.5$ 單位。
• 屋齡係數 $-4.2$：在坪數固定下，屋齡每增加 1 年，模型預測房價平均減少 $4.2$ 單位。

係數描述的是控制其他自變數後的關聯，不能僅憑迴歸係數推論因果關係。

（二）個別係數的顯著性檢定

採雙尾 $t$ 檢定，顯著水準 $\alpha=0.05$。模型有 $n=20$ 筆資料、$2$ 個自變數及截距，因此殘差自由度為

$$df=n-2-1=17$$

各係數分別檢定：

$$H_0:\beta_j=0,\qquad H_1:\beta_j\ne 0$$

題目給定臨界值 $t_{17,0.025}=2.11$，故當 $|t|>2.11$ 時拒絕 $H_0$。

1. 檢定坪數 $X_1$

$$t_{X_1}=\frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)} =\frac{12.5}{3.0} \approx 4.17$$

因 $|4.17|>2.11$，拒絕 $H_0:\beta_1=0$。在控制屋齡後，坪數對房價有顯著影響，且估計影響方向為正。

核心觀念

本題考查線性迴歸的誤差項假設，以及遺漏重要變數造成的偏誤。以多元線性迴歸模型表示：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_{i1}+\cdots+\beta_kX_{ik}+\varepsilon_i, \qquad i=1,\ldots,n.$$

迴歸模型將 $Y_i$ 中無法由解釋變數說明的部分納入隨機誤差項 $\varepsilon_i$。模型估計與推論的可靠性，仰賴對誤差項及解釋變數所作的適當假設。

（一）隨機誤差項的基本假設

1. 條件平均數為零

$E(\varepsilon_i\mid X_{i1},\ldots,X_{ik})=0.$

在給定解釋變數後，誤差項平均為零，表示模型沒有系統性高估或低估應變數。此假設也代表解釋變數與誤差項不相關，是 OLS 係數估計不偏的重要條件。

2. 同質變異數

$\operatorname{Var}(\varepsilon_i\mid X_{i1},\ldots,X_{ik})=\sigma^2<\infty.$

誤差項的變異數不隨觀測值或解釋變數水準改變，稱為同質變異數。若變異數隨之改變，則存在異質變異數；在外生性等條件仍成立時，OLS 係數仍可不偏，但標準誤及傳統檢定可能不可靠。

3. 不同觀測值的誤差項互不相關

$\operatorname{Cov}(\varepsilon_i,\varepsilon_j\mid X)=0,\qquad i\ne j.$

此假設表示觀測值之間沒有誤差相關。若資料具有時間序列或群聚結構，誤差項可能出現自我相關或群內相關，使傳統 OLS 標準誤與檢定失準。

4. 誤差項常態分配（小樣本推論常用）

$\varepsilon_i\mid X\sim N(0,\sigma^2).$

常態性不是 OLS 係數不偏的必要條件，但在小樣本下可支持 $t$ 檢定、$F$ 檢定及信賴區間的精確推論。大樣本時，推論通常可借助漸近性質。

5. 解釋變數須有足夠變異，且不得完全共線

解釋變數不能是彼此的完全線性組合，否則設計矩陣不滿秩，係數無法唯一估計。這是模型可估計性的條件，不是誤差項分配本身的假設，但通常與迴歸模型的基本條件一併說明。

（一）解題方法

先寫出模型，再依序說明誤差項的條件平均數、變異數、觀測間共變異數，以及常態性；最後補充解釋變數的可估計性條件。答題時要區分「OLS 不偏所需條件」與「小樣本精確推論常用條件」：常態性主要支援精確推論，並非係數不偏的必要條件。

（二）偏誤量與遺漏變數偏誤

偏誤量的定義

估計量 $\hat{\theta}$ 的偏誤量定義為其期望值與母體真值 $\theta$ 的差：