115 年身心障礙特考三等統計考古題與詳解

Question 1

令 $\mu1$ 和 $\mu2$ 分別表示 $A$ 城市和 $B$ 城市的國民平均年所得金額，$\sigma1$ 和 $\sigma2$ 分別表示 $A$ 城市和 $B$ 城市國民年所得金額之標準差，$n1$ 和 $n2$ 分別表示自 $A$ 城市和 $B$ 城市隨機抽取的國民人數，$X{ij}$ 表示 $i$ 城市抽取到的第 $j$ 位國民年所得金額（$j=1,2,\ldots,ni$；$i=1,2$）。假設 $\mu1$ 和 $\mu2$ 皆未知，但 $\sigma1$ 和 $\sigma2$ 為已知。（單位：萬元） （一）$\mu1-\mu2$ 的最佳估計量為何？ （二）請推導出 $\mu1-\mu2$ 的最佳估計量之期望值和變異數。 （三）請說明題目（一）最佳估計量的抽樣分配為何？說明該分配所需要的假設條件和理由為何？ （四）若 $n1=50$、$n2=100$，樣本平均值 $\bar{x}1=55.5$ 且 $\bar{x}2=53$，標準差 $\sigma1=5$ 且 $\sigma2=10$，在題目（三）的抽樣分配下，請檢定 $\mu1$ 和 $\mu2$ 是否相等？顯著水準為 $0.05$。

Accepted Answer

核心觀念

本題考兩個獨立母體平均數差的估計與檢定。已知兩母體標準差 $\sigma_1,\sigma_2$ ，以兩個獨立隨機樣本的平均數差 $\bar X_1-\bar X_2$ 估計 $\mu_1-\mu_2$ 。檢定時，使用標準常態統計量進行雙尾 $Z$ 檢定。

解題方法

（一）最佳估計量

令

\bar X_i=\frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i}X_{ij},\qquad i=1,2.

則 $\mu_1-\mu_2$ 的不偏估計量為

\widehat{\mu_1-\mu_2}=\bar X_1-\bar X_2.

它符合 $E(\bar X_1-\bar X_2)=\mu_1-\mu_2$ 。在樣本來自常態母體時，這也是均方誤差最小的估計量；若不假設常態，則「最佳」需先指定比較準則，題目通常是指以不偏及最小變異數為準的估計量。

（二）期望值與變異數

由期望值的線性性，

E(\bar X_1-\bar X_2) =E(\bar X_1)-E(\bar X_2) =\mu_1-\mu_2.

兩城市的抽樣相互獨立，因此兩樣本平均數的共變數為 $0$ 。已知母體變異數，故

\begin{aligned} \operatorname{Var}(\bar X_1-\bar X_2) &=\operatorname{Var}(\bar X_1)+\operatorname{Var}(\bar X_2)\\ &=\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}. \end{aligned}

因此標準誤為

SE(\bar X_1-\bar X_2) =\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}.

（三）抽樣分配與假設條件

若兩城市的樣本彼此獨立，且各自為獨立隨機抽樣；此外，若兩母體所得皆為常態分配，則 $\bar X_1$ 、 $\bar X_2$ 皆為常態，且其差也為常態：

\bar X_1-\bar X_2 \sim N\left( \mu_1-\mu_2,\, \frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2} \right).

Question 2

倘若甲議員候選人的支持率為 $p$，今自有投票權的公民裡隨機抽取 $n$ 人調查是否支持甲議員候選人，令 $X$ 為支持人數。 （一）$p$ 的最佳估計量為何？ （二）請推導題目（一）最佳估計量的期望值和變異數。 （三）請說明題目（一）最佳估計量的抽樣分配為何？該分配的假設和理由為何？ （四）請估計 $p$ 之信賴區間，若信賴係數為 $90\%$、$n=2500$、$x=1500$。 （五）依題目（四）結果，說明邊際誤差（margin of error）為何？ （六）倘若 $n$ 和 $p$ 未知，邊際誤差控制為題目（五）之一半，信賴係數 $90\%$，在題目（三）的分配下，請決定 $n$ 值。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查母體比例 $p$ 的估計、樣本比例的抽樣分配、比例的信賴區間與樣本數規劃。

令 $X$ 為 $n$ 位受訪者中支持甲候選人的人數，樣本支持率為

\hat p=\frac{X}{n}.

以下依題目（三）的二項分配模型，假設每位公民是否支持甲候選人可視為相互獨立，且支持機率均為 $p$ 。若從有限母體不放回抽樣且抽樣比例不可忽略，則須另考慮有限母體修正；本題未提供母體總數，以下採用二項分配模型。

解題方法與計算

（一） $p$ 的最佳估計量

以支持人數 $X$ 除以樣本數 $n$ ，得到樣本比例：

\boxed{\hat p=\frac{X}{n}}.

在二項分配模型下， $\hat p$ 是 $p$ 的不偏估計量；亦為最大概似估計量。

（二）期望值與變異數

因為 $X\sim\operatorname{Bin}(n,p)$ ，所以

E(X)=np,\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p).

由 $\hat p=X/n$ ，

E(\hat p)=E\left(\frac{X}{n}\right) =\frac{1}{n}E(X)=p.

因此 $\hat p$ 是 $p$ 的不偏估計量。其變異數為

\operatorname{Var}(\hat p) =\operatorname{Var}\left(\frac{X}{n}\right) =\frac{1}{n^2}\operatorname{Var}(X) =\frac{p(1-p)}{n}.

標準誤為

\operatorname{SE}(\hat p)=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.

（三）抽樣分配、假設與理由

在題目所採的獨立二項模型下，

X\sim\operatorname{Bin}(n,p),\qquad \hat p=\frac{X}{n}.

因此， $\hat p$ 的精確抽樣分配是二項分配除以 $n$ ，其期望值與變異數分別為 $p$ 與 $p(1-p)/n$ 。

當 $n$ 夠大，且 $np$ 與 $n(1-p)$ 均足夠大時，依中央極限定理， $\hat p$ 可用常態分配近似：

\hat p\ \dot\sim\ N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).

常見的判準是 $np\ge 5$ 、 $n(1-p)\ge 5$ ；實務上也常採較保守的 $10$ 。常態近似的理由是 $X$ 為許多獨立伯努利變數的總和。

（四） $p$ 的 $90\%$ 信賴區間

已知 $n=2500$ 、 $x=1500$ ，故

\hat p=\frac{1500}{2500}=0.6.

$90\%$ 雙尾信賴區間的標準常態臨界值為 $z_{0.95}=1.645$ 。以樣本比例代入標準誤，得到

Question 3

工程師想知道製造的 $A$ 零件長度平均值是否大於 $12$ 公分，已知公司製造的 $A$ 零件長度標準差為 $8$ 公分。隨機抽取 $100$ 個 $A$ 零件，其長度平均值為 $14$ 公分。

（一）請檢定是否有足夠的證據支持零件之平均長度大於 $12$ 公分？顯著水準為 $0.05$ 。

（二）題目（一），拒絕區的臨界值為何？請以樣本平均值表示。

（三）如果事實上，零件長度的平均值是 $12.5$ 公分，請計算型 II 錯誤機率。

（四）如果事實上，零件長度的平均值是 $13.5$ 公分，請計算檢定力。

（五）請就題目（三）和題目（四）的結果，畫出作業特性曲線。（請清楚標示縱軸和橫軸為何。）

Accepted Answer

核心觀念 已知母體標準差 $\sigma=8$，樣本數 $n=100$，可使用母體標準差已知的單一母體平均數右尾 $Z$ 檢定。檢定統計量為 $$ Z=\frac{\bar X-\mu0}{\sigma/\sqrt n}, $$ 其中 $\mu0=12$。本題顯著水準 $\alpha=0.05$，右尾臨界值為 $z{0.95}=1.645$。 型 II 錯誤是母體平均數實際大於 $12$，但檢定未拒絕虛無假設的機率；檢定力則是正確拒絕虛無假設的機率，等於 $1-\beta$。 解題方法 設定假設： $$ H0:\mu\le 12,\qquad H1:\mu12. $$ 以虛無假設邊界 $\mu0=12$ 計算檢定統計量。樣本平均數的標準誤為 $$ \frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{8}{\sqrt{100}}=0.8. $$ 樣本平均數 $\bar x=14$，因此 $$ z{	ext{obs}}=\frac{14-12}{0.8}=2.5. $$ 因為 $2.51.645$，落在拒絕區，故在 $0.05$ 顯著水準下拒絕 $H0$，有足夠證據支持平均長度大於 $12$ 公分。 （一）檢定結論 拒絕域為 $Z1.645$。本題觀察到 $Z=2.5$，因此拒絕 $H0$。 結論：在顯著水準 $0.05$ 下，有足夠證據支持零件平均長度大於 $12$ 公分。 （二）以樣本平均值表示拒絕區 將 $Z1.645$ 改寫為樣本平均數的條件： $$ \frac{\bar X-12}{0.8}1.645 $$ $$ \bar X12+1.645(0.8)=13.316. $$ 因此拒絕區以樣本平均值表示為 $$ \boxed{\bar X13.316	ext{ 公分}} $$ （臨界值約為 $13.32$ 公分。） （三）若 $\mu=12.5$，型 II 錯誤機率 型 II 錯誤是在真實平均數為 $12.5$ 時，樣本平均數落在未拒絕區： $$ \beta(12.5)=P(\bar X\le 13.316\mid \mu=12.5). $$ 在 $\mu=12.5$ 下，$\bar X$ 的標準差仍為 $0.8$，所以 $$ \beta(12.5) =\Phi\left(\frac{13.316-12.5}{0.8}ight) =\Phi(1.02) \approx 0.8461. $$ 因此型 II 錯誤機率約為 $$ \boxed{\beta(12.5)\approx 0.8461} $$ （四）若 $\mu=13.5$，檢定力

Question 4

農業試驗所的研究員想要知道稻米產量是否受到溫度影響，決定設計實驗收集資料，並進一步分析結果。研究員先決定三個不同的溫度，限於人力，一天只能做三個實驗，每天的三個實驗必須控制不同的溫度各做一次實驗，且每個溫度的實驗順序是隨機的。實驗總共要進行兩天完成。每天不同溫度下的稻米產量實驗數據如下表所示（單位：百公斤）。

日／溫度	$15^\circ\mathrm{C}$	$25^\circ\mathrm{C}$	$35^\circ\mathrm{C}$
第 1 天	20	40	30
第 2 天	30	42	36

（一）請問此實驗設計的名稱為何？

（二）請列出變異數分析表，並檢定三種不同溫度下的稻米平均產量是否全部相等？假設 $3$ 個不同溫度下，稻米產量的變異數都相等。顯著水準為 $0.1$ 。

（三）假設不同溫度下稻米產量的變異數都相等，請問稻米產量的變異數估計值為何？

（四）在題目（二）的檢定結果下，請檢定溫度在 $15$ 度和 $35$ 度下的稻米平均產量是否相等？顯著水準為 $0.05$ 。

Accepted Answer

核心觀念

本題為「隨機完全區集設計」（Randomized Complete Block Design, RCBD）：

區集因素：天數，共 $b=2$ 天。
處理因素：溫度，共 $t=3$ 種。
每一天均包含三種溫度各一次，且實驗順序隨機。
每個「天數 × 溫度」組合只有一筆觀測值，因此採用無交互作用的加性模型。

模型為

Y_{ij}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{ij},

其中 $\tau_i$ 為溫度效果， $\beta_j$ 為天數區集效果。

（一）實驗設計名稱

此實驗設計為：

\boxed{\text{隨機完全區集設計}}

其中「天」為區集，「溫度」為處理。

（二）變異數分析與溫度效果檢定

1. 假設

檢定三種溫度下的平均稻米產量是否全部相等：

H_0:\mu_{15}=\mu_{25}=\mu_{35}

H_1:\text{至少有兩種溫度的平均產量不同}

顯著水準為 $\alpha=0.1$ 。

2. 基本計算

各溫度總和為

T_{15}=20+30=50, \qquad T_{25}=40+42=82, \qquad T_{35}=30+36=66.

各天總和為

B_1=20+40+30=90, \qquad B_2=30+42+36=108.

總和為

$G=198,\qquad N=6.$

修正項為

C=\frac{G^2}{N}=\frac{198^2}{6}=6534.

觀測值平方和為

\sum y_{ij}^2 =20^2+40^2+30^2+30^2+42^2+36^2 =6860.

因此總平方和為

SS_T=6860-6534=326.

溫度平方和：

SS_{\text{溫度}} =\frac{50^2+82^2+66^2}{2}-6534 =6790-6534=256.

天數區集平方和：

SS_{\text{天}} =\frac{90^2+108^2}{3}-6534 =6588-6534=54.

誤差平方和：

SS_E=SS_T-SS_{\text{溫度}}-SS_{\text{天}} =326-256-54=16.

3. 變異數分析表

變異來源	平方和 $SS$	自由度 $df$	均方 $MS$	$F$ 值
溫度	$256$	$3-1=2$	$256/2=128$	$128/8=16$
天數區集	$54$	$2-1=1$	$54$	$54/8=6.75$
誤差	$16$	$(3-1)(2-1)=2$	$16/2=8$
總和	$326$	$6-1=5$

檢定溫度效果之統計量為

F=\frac{MS_{\text{溫度}}}{MS_E} =\frac{128}{8}=16.

查表得

F_{0.1;(2,2)}=9.

由於

16>9,

115 身心障礙特考三等統計統計學考古題詳解

第一題20 分

核心觀念

解題方法

（一）最佳估計量

（二）期望值與變異數

（三）抽樣分配與假設條件

第二題30 分

核心觀念

解題方法與計算

（一） $p$ 的最佳估計量

（二）期望值與變異數

（三）抽樣分配、假設與理由

（四） $p$ 的 $90\%$ 信賴區間

第三題25 分

核心觀念

解題方法

（一）檢定結論

（二）以樣本平均值表示拒絕區

（三）若 $\mu=12.5$ ，型 II 錯誤機率

（四）若 $\mu=13.5$ ，檢定力

第四題25 分

核心觀念

（一）實驗設計名稱

（二）變異數分析與溫度效果檢定

1. 假設

2. 基本計算

3. 變異數分析表

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115 身心障礙特考三等 統計 統計學 考古題詳解

第 一 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）最佳估計量

（二）期望值與變異數

（三）抽樣分配與假設條件

第 二 題30 分

核心觀念

解題方法與計算

（一）ppp 的最佳估計量

（二）期望值與變異數

（三）抽樣分配、假設與理由

（四）ppp 的 90%90\%90% 信賴區間

第 三 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）檢定結論

（二）以樣本平均值表示拒絕區

（三）若 μ=12.5\mu=12.5μ=12.5，型 II 錯誤機率

（四）若 μ=13.5\mu=13.5μ=13.5，檢定力

第 四 題25 分

核心觀念

（一）實驗設計名稱

（二）變異數分析與溫度效果檢定

1. 假設

2. 基本計算

3. 變異數分析表

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第一題20 分

第二題30 分

（一） $p$ 的最佳估計量

（四） $p$ 的 $90\%$ 信賴區間

第三題25 分

（三）若 $\mu=12.5$ ，型 II 錯誤機率

（四）若 $\mu=13.5$ ，檢定力

第四題25 分