113 身心障礙特考三等 統計 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題檢定同一母體中「支持」與「不支持」的比例是否有差異。因每份問卷只有兩種結果，且 $p_1+p_2=1$，因此可將問題改寫成單一比例檢定：

檢定假設為

在虛無假設下，支持人數 $X$ 服從 $X\sim\operatorname{Binomial}(100,0.5)$。樣本比例 $\hat p_1=57/100=0.57$；以常態近似進行單一比例右尾檢定。

解題方法

虛無假設下，樣本比例的標準誤為

檢定統計量為

核心觀念

第 $p$ 個百分位數 $x_p$ 是使累積分配函數達到 $p$ 的分位數，即 $F(x_p)=p$。四分位數分別為第 $25$ 與第 $75$ 個百分位數，因此四分位距為

本題分別利用一致分配的累積分配函數，以及標準常態分配的分位數求解。

解題方法與計算

（一）$X\sim U(0,10)$

一致分配在區間 $[0,10]$ 上的累積分配函數為

令 $F(x_p)=p$，可得

因此第 $5$ 個百分位數為

第一、第三四分位數為

故四分位距為

（二）$X\sim N(0,1)$

核心觀念

本題要比較兩個獨立母體的平均數是否相同，屬於兩獨立樣本平均數差的雙尾檢定。設定母體平均數差為 $\mu_A-\mu_B$，檢定：

題目未說明兩母體變異數相等，也未明確說明給的是母體標準差，因此採用不假設變異數相等的 Welch $t$ 檢定。以兩組樣本標準差 $s_A=s_B=20$ 計算標準誤與檢定統計量。

解題方法

已知 $n_A=n_B=20$，$\bar{x}_A=100$、$\bar{x}_B=110$，$s_A=s_B=20$。平均數差的標準誤為：

檢定統計量為：

Welch 自由度為：

核心觀念

本題考查母體比例的抽樣誤差與樣本數規劃。令 $p$ 為支持政策的母體比例，簡單隨機抽樣下，樣本比例 $\hat p$ 的標準誤為

信賴區間的誤差界限為「臨界值 $\times$ 標準誤」。題目未提供先驗比例 $p$，計算時採最保守的 $p=0.5$，因為 $p(1-p)$ 在 $p=0.5$ 時最大，故可保證所要求的抽樣誤差。

（一）$95\%$ 信心水準下的抽樣誤差

$95\%$ 信心水準的標準常態臨界值為 $z_{0.975}=1.96$。取 $p=0.5$、$n=1{,}600$，誤差界限為

換算為百分點：

因此，抽樣誤差為正負 $2.45$ 個百分點。