113 身心障礙特考三等 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題在考調查結果的誤差來源，以及抽樣調查與普查各自可能面臨的問題。

• 抽樣誤差（sampling error）：以樣本統計量估計母體參數時，因只觀察母體的一部分，而由樣本抽取所造成的估計差異。即使抽樣程序正確，換抽另一組樣本，估計值仍可能不同。
• 非抽樣誤差（non-sampling error）：除抽樣誤差以外，調查設計、執行、測量或資料處理等環節造成的誤差，例如涵蓋不足、無回答、受訪者誤報、訪員記錄錯誤、編碼或輸入錯誤。

解題方法

可從「誤差是否源自只抽查母體的一部分」切入。

假設母體參數為 $\theta$，樣本估計量為 $\hat{\theta}$，抽樣誤差可用兩者的差表示：

$$\hat{\theta}-\theta$$

其大小會隨樣本而變，屬於抽樣變異的一部分。在機率抽樣設計下，可利用抽樣分配、標準誤或信賴區間評估其不確定性；例如估計量的標準誤為 $\sqrt{\operatorname{Var}(\hat{\theta})}$。

非抽樣誤差則不只來自抽樣。即使對母體全數調查、沒有抽樣誤差，仍可能因漏列調查對象、拒答、回答不實、題意誤解或資料處理錯誤而產生非抽樣誤差。

兩者差異比較

核心觀念

本題要把一件長度 $400$ 公分的布匹視為一條由 $0$ 至 $400$ 公分的線段，並在其上選出 $5$ 個檢驗位置。三種抽樣法的差異在於選點的規則：

• 系統抽樣法：先選隨機起點，再依固定間距選點。
• 簡單隨機抽樣法：從整條布匹的所有位置中，等機率抽出 $5$ 個互不重複的位置。
• 分層隨機抽樣法：先把布匹分成數層，再於各層內隨機抽取樣本。

題目沒有指定亂數種子或抽樣結果，因此隨機抽樣的位置不會只有唯一一組答案。以下列出符合各抽樣設計的一組具體位置，作為抽樣結果示例。

解題方法

一、系統抽樣法

將布匹長度平均分為 $5$ 個間隔，每個間隔長度為

$$k=\frac{400}{5}=80\text{ 公分}.$$

在第一個間隔 $[0,80)$ 中隨機選一個起點。以起點 $r=20$ 公分為例，其餘檢驗點每隔 $80$ 公分選取一次：

$$r,\ r+80,\ r+2(80),\ r+3(80),\ r+4(80).$$

因此，5 個檢驗點為：

$$20,\ 100,\ 180,\ 260,\ 340\text{ 公分}.$$

每一組系統抽樣都須使用同一個隨機起點，並保持固定間距。

二、簡單隨機抽樣法

從 $[0,400]$ 公分的整段布匹中，等機率抽取 $5$ 個互不重複的位置。此法不要求相鄰檢驗點間距相同，也不要求每一段都被抽到。

一組符合簡單隨機抽樣的示例位置為：

核心觀念

本題考查隨機樣本的聯合機率分配、樣本平均數的抽樣分配，以及樣本平均數的期望值與變異數。

公正四面體骰子每次擲出 $1,2,3,4$ 的機率均為 $\frac14$。擲兩次視為獨立，因此對任意 $x_1,x_2\in\{1,2,3,4\}$，

$$P(X_1=x_1,X_2=x_2) =P(X_1=x_1)P(X_2=x_2) =\frac{1}{16}.$$

解題方法

一、$X_1$ 與 $X_2$ 的聯合機率分配

兩次結果共有 $4\times4=16$ 種有序組合，每一種的機率都是 $\frac{1}{16}$。聯合機率分配表如下：

$X_1\backslash X_2$	1	2	3	4
1	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$
2	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$
3	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$
4	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$

二、$\bar X$ 的抽樣分配

由 $\bar X=(X_1+X_2)/2$，依兩次點數的總和整理 16 種等可能結果：

$X_1+X_2$	對應的有序結果數	$\bar X$	$P(\bar X)$
2	1	1	$\frac{1}{16}$
3	2	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{16}$
4	3	2	$\frac{3}{16}$
5	4	$\frac{5}{2}$	$\frac{4}{16}$
6	3	3	$\frac{3}{16}$
7	2	$\frac{7}{2}$	$\frac{2}{16}$
8	1	4	$\frac{1}{16}$

因此，$\bar X$ 的機率分配為

核心觀念

本題考查群集抽樣下的機率比例抽樣（PPS）。每個集群的大小 $M_i$ 是集群內的大學生人數；抽樣時依 $M_i$ 決定集群被抽中的機率。題目給定抽中的集群為 A、C，因此先計算這兩個集群的大小、集群總和與集群平均數，再以 PPS 的一階包含機率建立總和及平均數估計量與變異數。

本題以不放回 PPS 抽樣為前提，並採用 Horvitz–Thompson 估計量。設母體總人數為 $M=\sum_{i=1}^N M_i$，集群 $i$ 的一階包含機率為 $\pi_i$，則

$$\widehat X_{PPS}=\sum_{i\in s}\frac{X_i}{\pi_i}, \qquad \widehat{\bar X}_{PPS}=\frac{\widehat X_{PPS}}{M}.$$

不放回抽樣的變異數為

$$\operatorname{Var}(\widehat X_{PPS}) = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N (\pi_{ij}-\pi_i\pi_j) \frac{X_i}{\pi_i}\frac{X_j}{\pi_j},$$

其中 $\pi_{ij}$ 為集群 $i,j$ 同時入樣的機率，且 $\pi_{ii}=\pi_i$。平均數估計量的變異數為

$$\operatorname{Var}(\widehat{\bar X}_{PPS}) = \frac{\operatorname{Var}(\widehat X_{PPS})}{M^2}.$$

解題方法

三個集群的大小為 $M_A=3$、$M_B=4$、$M_C=5$，故總人數

$$M=3+4+5=12.$$

各集群的電影觀看次數總和為

$$X_A=3+6+3=12,\qquad X_B=4+2+6+8=20,\qquad X_C=4+3+5+2+6=20.$$

依 PPS 抽取兩個集群，令兩集群的入樣機率與為 $2$，並按集群大小比例分配：

$$\pi_A=2\frac{3}{12}=0.5,\qquad \pi_B=2\frac{4}{12}=\frac23,\qquad \pi_C=2\frac{5}{12}=\frac56.$$

三者合計為 $2$，符合固定抽取兩個集群的設計。已知樣本為 A、C，群體總和估計值為

$$\widehat X_{PPS} = \frac{X_A}{\pi_A}+\frac{X_C}{\pi_C} = \frac{12}{0.5}+\frac{20}{5/6} = 24+24 = 48.$$

因此群體平均數估計值為

$$\widehat{\bar X}_{PPS} = \frac{48}{12} = 4.$$

變異數計算

本抽樣設計抽取兩個集群，樣本可能為 AB、AC、BC。設各樣本組合機率分別為 $q_{AB},q_{AC},q_{BC}$。由一階包含機率可得