109 年身心障礙特考三等統計考古題與詳解

Question 1

由下列 $N=3$ 之有限母體 $U=\{2,4,6\}$，以簡單隨機抽樣不放回方式（SRSWOR）抽出 $n=2$ 之簡單隨機樣本。 (一) 分別列出樣本均數 $\bar{y}=\dfrac{\sum yi}{n}$ 及樣本變異數 $s^2=\dfrac{\sum (yi-\bar{y})^2}{n-1}$ 之抽樣分配。（10 分） (二) 以數值方式證明 $\bar{y}=\dfrac{\sum yi}{n}$ 為母體均數 $\bar{Y}=\dfrac{\sum yi}{N}$ 之不偏估計式。（5 分） (三) 以數值方式證明 $s^2=\dfrac{\sum (yi-\bar{y})^2}{n-1}$ 為母體變異數 $S^2=\dfrac{\sum (yi-\bar{Y})^2}{N-1}$ 之不偏估計式。（5 分） (四) 以數值方式證明 $$ V(\bar{y})=\frac{1-f}{n}S^2。 $$ （5 分） 註：第（二）～（四）題請根據第（一）題之抽樣分配求算。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查簡單隨機抽樣不放回（SRSWOR）的抽樣分配，以及樣本統計量與母體參數的關係。母體為 $U=\{2,4,6\}$ ，母體大小 $N=3$ ；抽取 $n=2$ 個單位，所有不重複樣本等可能，因此共有

\binom{3}{2}=3

個樣本，各自的抽取機率為 $1/3$ 。

樣本變異數採分母 $n-1$ ，母體變異數採分母 $N-1$ 。在 SRSWOR 下，樣本均數 $\bar y$ 不偏估計母體均數 $\bar Y$ ，樣本變異數 $s^2$ 不偏估計母體變異數 $S^2$ ；樣本均數的變異數為

V(\bar y)=\frac{1-f}{n}S^2,\qquad f=\frac{n}{N}.

（一） $\bar y$ 與 $s^2$ 的抽樣分配

三個可能樣本及其統計量如下：

樣本	樣本均數 $\bar y$	樣本變異數 $s^2$
$\{2,4\}$	$\dfrac{2+4}{2}=3$	$\dfrac{(2-3)^2+(4-3)^2}{2-1}=2$
$\{2,6\}$	$\dfrac{2+6}{2}=4$	$\dfrac{(2-4)^2+(6-4)^2}{2-1}=8$
$\{4,6\}$	$\dfrac{4+6}{2}=5$	$\dfrac{(4-5)^2+(6-5)^2}{2-1}=2$

因此，樣本均數的抽樣分配為：

$\bar y$	3	4	5
機率	$1/3$	$1/3$	$1/3$

樣本變異數的抽樣分配為：

$s^2$	2	8
機率	$2/3$	$1/3$

其中 $s^2=2$ 對應兩個樣本 $\{2,4\}$ 、 $\{4,6\}$ ，故機率為 $2/3$ ； $s^2=8$ 對應樣本 $\{2,6\}$ ，故機率為 $1/3$ 。

（二）以抽樣分配證明 $\bar y$ 不偏估計 $\bar Y$

母體均數為

\bar Y=\frac{2+4+6}{3}=4.

由第（一）題的樣本均數抽樣分配，

E(\bar y) =\sum_{\text{樣本}}\bar y\,P(\text{樣本}) =3\left(\frac13\right)+4\left(\frac13\right)+5\left(\frac13\right) =4.

因此

E(\bar y)=\bar Y,

故 $\bar y$ 為母體均數 $\bar Y$ 的不偏估計式。

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Question 2

欲了解某一產業現有業者的紓困需求，利用分層隨機抽樣，首先將該產業共 6,000 家業者依三個區域（北、中、南）分成三層，每層的業者比例分別為

W_1=\frac{3}{6},\quad W_2=\frac{2}{6},\quad W_3=\frac{1}{6}。

根據過去普查資料得知，這三個區域業者的紓困需求比例分別為 $P_1=10\%$ 、 $P_2=30\%$ 、 $P_3=50\%$ 。

(一) 欲估計該產業現有業者的紓困需求比例，假設各層抽樣成本相同並能得到估計值的最小變異數，根據前述資訊，應如何配置 $n=600$ 的樣本到這三個區域？（即如何配置 $n_1,n_2,n_3$ ）。（10 分）

(二) 若欲採用比例配置法（Proportional Allocation）並得到與第（一）題的估計值相同的精確度（Precision），應抽出多大的樣本？如何配置各層的樣本（ $n_1,n_2,n_3$ ）？【提示：忽略有限母體修正項（fpc）】。（10 分）

(三) 試說明第（一）、（二）題樣本結構與樣本大小的差異。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 分層隨機抽樣以各層樣本數 $nh$ 估計各層比例，再依母體層權重加權，得到全體需求比例估計量： $$ \hat P{\mathrm{st}}=\sum{h=1}^{3}Wh\hat Ph. $$ 忽略有限母體修正項時，其變異數為 $$ V(\hat P{\mathrm{st}}) =\sum{h=1}^{3}\frac{Wh^2Ph(1-Ph)}{nh}. $$ 各層抽樣成本相同時，使變異數最小的配置為奈曼配置： $$ nh=n\frac{WhSh}{\sum{k=1}^{3}WkSk}, \qquad Sh=\sqrt{Ph(1-Ph)}. $$ 比例配置則依各層母體比例分配樣本： $$ nh=nWh. $$ （一）最小變異數配置 各層的標準差為 $$ S1=\sqrt{0.1(0.9)}=0.3,\quad S2=\sqrt{0.3(0.7)}=\sqrt{0.21},\quad S3=\sqrt{0.5(0.5)}=0.5. $$ 因此奈曼配置的權重與 $WhSh$ 成正比： $$ W1S1=\frac{3}{6}(0.3)=0.15, $$ $$ W2S2=\frac{2}{6}\sqrt{0.21}\approx0.152753, $$ $$ W3S3=\frac{1}{6}(0.5)\approx0.083333. $$ 三者總和約為 $0.386086$。代入 $n=600$： $$ n1=600\frac{0.15}{0.386086}\approx233.11, $$ $$ n2=600\frac{0.152753}{0.386086}\approx237.38, $$ $$ n3=600\frac{0.083333}{0.386086}\approx129.51. $$ 樣本數須為整數，且合計為 $600$；取最接近的整數配置： $$ (n1,n2,n3)=(233,237,130). $$ （二）比例配置下維持相同精確度 比例配置時，$nh=nWh$。忽略 fpc，變異數可化為 $$ V{\mathrm{prop}} =\sum{h=1}^{3}\frac{Wh^2Ph(1-Ph)}{nWh} =\frac{1}{n}\sum{h=1}^{3}WhPh(1-Ph). $$ 先計算加權層內變異數：

Question 3

為了解新創產業受疫情衝擊的情況，擬進行一項抽樣調查，以估計某一新創產業在疫情期間申請紓困補助的比例。抽樣方法採一階段集體抽樣（Single-stage cluster sampling）。該新創產業共 300 家公司，分散在 15 個園區（cluster）。首先由 15 個園區抽出 3 個園區，這 3 個園區內的公司數及申請紓困補助的公司數如下表所示。

園區（cluster）	公司數（ $M_i$ ）	申請紓困補助的公司數（ $a_i$ ）
1	15	5
2	20	5
3	15	4

根據上表資料，估計該新創產業有申請紓困補助的比例 $P$ 及該估計值之標準誤。（20 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考一階段集體抽樣下，如何估計「公司」層級的比例。抽樣單位是園區，觀察資料則是各園區的公司數 $M_i$ 與申請紓困補助的公司數 $a_i$ 。由於各園區公司數不同，應以公司總數為權數估計比例，不能直接將各園區的申請比例取算術平均。

本題以分層的 15 個園區中簡單隨機不放回抽出 3 個園區為前提。母體平均園區公司數為

\bar M=\frac{300}{15}=20.

解題方法

以樣本園區的申請公司總數除以樣本園區的公司總數，求比例的比率估計量：

\hat P=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{\sum_{i=1}^{n}M_i} =\frac{5+5+4}{15+20+15} =\frac{14}{50} =0.28.

因此，估計申請紓困補助的公司比例為 $28\%$ 。

估計標準誤時，先計算比率估計的殘差：

e_i=a_i-\hat P M_i.

各園區的殘差為

e_1=5-0.28(15)=0.8,\qquad e_2=5-0.28(20)=-0.6,\qquad e_3=4-0.28(15)=-0.2.

殘差樣本變異數為

Question 4

欲估計果園內 2019 年平均每棵文旦樹的產量。果園共分為 8 區，每區種了 30 棵文旦樹；前六區（老樹區，I）的文旦樹係 20 年前種的老樹，後兩區（幼樹區，II）的文旦樹係 6 年前新種的幼樹。

2018 年（ $x$ ）平均每棵老樹的產量為 98 公斤，平均每棵幼樹的產量為 53 公斤。為了估計 2019 年（ $y$ ）平均每棵文旦樹的產量，以老、幼樹區分層，利用分層簡單隨機抽樣結合比例配置法，抽出 24 棵文旦樹，包含 18 棵老樹及 6 棵幼樹（ $n=24$ 、 $n_1=18$ 、 $n_2=6$ ），記錄其文旦產量。其母體特性及樣本統計結果彙整如下表：

層別 $h$	變數	母體 $N_h$	母體 $W_h$	母體 $\bar{X}_h$	樣本 $n_h$	樣本 $\bar{x}_h$	樣本 $\bar{y}_h$	$s_h^2$	$s_{xyh}$	$\hat{R}_h$	$r_h$
I	$x$	180	0.75	98	18	94	—	150	130	1.05	0.9
I	$y$	—	—	—	—	99	140	—	—	—	—
II	$x$	60	0.25	53	6	58	—	30	24	1.22	0.6
II	$y$	—	—	—	—	71	55	—	—	—	—
合計	—	240	—	—	24	—	—	—	—	—	—

(一) 利用下列估計量估計今年平均每棵文旦樹的產量 $\bar{Y}$ 。（15 分）

$\bar{y}_{st}$ ：分層隨機抽樣結合簡單均數估計量。
$\bar{y}_{Rs}$ ：分層隨機抽樣結合分開比率估計量（separate ratio estimator）。
$\bar{y}_{Rc}$ ：分層隨機抽樣結合混合比率估計量（combined ratio estimator）。

(二) 估計第（一）題中各估計量的變異數，並比較這三個估計量的精確度。（15 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考分層簡單隨機抽樣下，利用已知輔助變數 $x$ 的母體平均數，估計文旦樹今年的平均產量 $\bar Y$ 。各層母體權數為 $W_h=N_h/N$ ，且樣本採不放回抽樣，因此變異數須納入有限母體修正因子 $1-f_h$ ，其中 $f_h=n_h/N_h$ 。

題目提供的 $s_h^2$ 分別是輔助變數 $x$ 與產量 $y$ 的樣本變異數， $s_{xyh}$ 是兩者的樣本共變異數；計算比率估計量變異數時，使用殘差變異數近似式：

s_{eh}^2(R)=s_{yh}^2+R^2s_{xh}^2-2R s_{xyh}.

（一）估計 2019 年平均產量

已知兩層的母體權數為 $W_1=0.75$ 、 $W_2=0.25$ ，各層樣本平均數為：

(\bar x_1,\bar y_1)=(94,99),\qquad (\bar x_2,\bar y_2)=(58,71).

1. 分層簡單均數估計量 $\bar y_{st}$

直接依母體權數加權各層樣本平均數：

\bar y_{st} =\sum_{h=1}^2 W_h\bar y_h =0.75(99)+0.25(71) =\boxed{92\text{ 公斤}}.

2. 分層分開比率估計量 $\bar y_{Rs}$

各層分別以樣本比率 $\hat R_h=\bar y_h/\bar x_h$ 修正，再乘以該層已知的母體輔助變數平均數 $\bar X_h$ ：

\bar y_{Rs} =\sum_{h=1}^2 W_h\bar X_h\hat R_h.

依題目提供的比率 $\hat R_1=1.05$ 、 $\hat R_2=1.22$ 計算：

\bar y_{Rs} =0.75(98)(1.05)+0.25(53)(1.22) =77.175+16.165 =\boxed{93.34\text{ 公斤}}.

3. 分層混合比率估計量 $\bar y_{Rc}$

混合比率估計量先將兩層樣本平均數分別按母體權數加總，計算共同比率，再乘上全體母體輔助變數平均數：

\bar X=\sum_h W_h\bar X_h =0.75(98)+0.25(53)=86.75,

\bar x_{st} =\sum_h W_h\bar x_h =0.75(94)+0.25(58)=85, \qquad \bar y_{st}=92.

因此共同比率為 $\hat R_c=\bar y_{st}/\bar x_{st}=92/85$ ，估計值為：

\bar y_{Rc} =\bar X\frac{\bar y_{st}}{\bar x_{st}} =86.75\left(\frac{92}{85}\right) =\boxed{93.89\text{ 公斤}}.

（二）估計變異數並比較精確度

兩層的抽樣比率皆為：

f_1=\frac{18}{180}=0.1,\qquad f_2=\frac{6}{60}=0.1.

因此兩層的變異數權重分別為：

W_1^2\frac{1-f_1}{n_1} =(0.75)^2\frac{0.9}{18}=0.028125,

W_2^2\frac{1-f_2}{n_2} =(0.25)^2\frac{0.9}{6}=0.009375.

109 身心障礙特考三等統計抽樣方法考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

（一） $\bar y$ 與 $s^2$ 的抽樣分配

（二）以抽樣分配證明 $\bar y$ 不偏估計 $\bar Y$

第二題25 分

核心觀念

（一）最小變異數配置

（二）比例配置下維持相同精確度

第三題20 分

核心觀念

解題方法

第四題30 分

核心觀念

（一）估計 2019 年平均產量

1. 分層簡單均數估計量 $\bar y_{st}$

2. 分層分開比率估計量 $\bar y_{Rs}$

3. 分層混合比率估計量 $\bar y_{Rc}$

（二）估計變異數並比較精確度

其他考古題

109 年統計的其他科目

統計《抽樣方法》其他年度

109 身心障礙特考三等 統計 抽樣方法 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

（一）yˉ\bar yyˉ​ 與 s2s^2s2 的抽樣分配

（二）以抽樣分配證明 yˉ\bar yyˉ​ 不偏估計 Yˉ\bar YYˉ

第 二 題25 分

核心觀念

（一）最小變異數配置

（二）比例配置下維持相同精確度

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法

第 四 題30 分

核心觀念

（一）估計 2019 年平均產量

1. 分層簡單均數估計量 yˉst\bar y_{st}yˉ​st​

2. 分層分開比率估計量 yˉRs\bar y_{Rs}yˉ​Rs​

3. 分層混合比率估計量 yˉRc\bar y_{Rc}yˉ​Rc​

（二）估計變異數並比較精確度

其他考古題

109 年統計的其他科目

統計《抽樣方法》其他年度

109 身心障礙特考三等統計抽樣方法考古題詳解

第一題25 分

（一） $\bar y$ 與 $s^2$ 的抽樣分配

（二）以抽樣分配證明 $\bar y$ 不偏估計 $\bar Y$

第二題25 分

第三題20 分

第四題30 分

1. 分層簡單均數估計量 $\bar y_{st}$

2. 分層分開比率估計量 $\bar y_{Rs}$

3. 分層混合比率估計量 $\bar y_{Rc}$