114 身心障礙特考三等 機械工程類科 機械設計 考古題詳解

114 年・身心障礙特考・三等・機械工程類科
試題代碼 機械設計

第 一 題6 分

如圖，一 L 型碳鋼圓棒之一端嵌入牆中（Clamped），另一端為自由端（Free end），直徑 30 mm30\ \mathrm{mm}。當圓棒自由端受到 Fz=−800 NF_z=-800\ \mathrm{N} 之集中力。給定材料降伏強度 Sy=400 MPaS_y=400\ \mathrm{MPa}，求鋼棒在牆面端點之：

（一）反作用扭矩（Torsion）TT，與反作用彎矩（Bending moment）MM（寫出大小與方向）。

（二）該點受扭矩 TT 產生之剪應力 τ\tau，受彎矩 MM 產生之彎矩應力 σ\sigma。

（三）Von Mises 應力 σe\sigma_e。

（四）依變形能理論（DE theory）決定鋼棒在該受力條件下之安全係數。

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核心觀念

本題考查 L 型圓棒受垂直集中力時，固定端截面的：

  • 扭矩與彎矩分解
  • 實心圓軸之扭轉剪應力
  • 實心圓截面之彎曲正應力
  • Von Mises 應力
  • 變形能理論（Distortion Energy Theory, DE theory）安全係數

依圖示取固定端座標：

  • 第一段長度 300 mm300\ \mathrm{mm}，沿 +y+y 軸
  • 第二段長度 750 mm750\ \mathrm{mm}，沿 +x+x 軸
  • 自由端受力 F=−800k N\mathbf F=-800\mathbf k\ \mathrm{N}

因此，自由端相對固定端的位置向量為

r=750i+300jmm\mathbf r=750\mathbf i+300\mathbf j\quad \mathrm{mm}

（一）固定端之反作用扭矩與反作用彎矩

自由端外力對固定端之力矩為

MO=r×F\mathbf M_O=\mathbf r\times\mathbf F MO=(750i+300j)×(−800k)=600000j−240000i\begin{aligned} \mathbf M_O &=(750\mathbf i+300\mathbf j)\times(-800\mathbf k)\\ &=600000\mathbf j-240000\mathbf i \end{aligned}

所以外力造成之力矩為

MO=−240000i+600000jN⋅mm\mathbf M_O=-240000\mathbf i+600000\mathbf j \quad \mathrm{N\cdot mm}

其中：

  • 沿第一段圓棒軸線 yy 方向的分量為扭矩
  • 垂直於第一段軸線的 xx 方向分量為彎矩

固定端的反作用力矩必須與外力矩平衡，因此

反作用扭矩

TR=−600000j N⋅mm\boxed{\mathbf T_R=-600000\mathbf j\ \mathrm{N\cdot mm}}

大小為

T=600000 N⋅mm=600 N⋅m\boxed{T=600000\ \mathrm{N\cdot mm}=600\ \mathrm{N\cdot m}}

方向為 −y-y 軸。

反作用彎矩

MR=+240000i N⋅mm\boxed{\mathbf M_R=+240000\mathbf i\ \mathrm{N\cdot mm}}

大小為

M=240000 N⋅mm=240 N⋅m\boxed{M=240000\ \mathrm{N\cdot mm}=240\ \mathrm{N\cdot m}}

方向為 +x+x 軸。

（二）扭轉剪應力與彎曲正應力

圓棒直徑為

d=30 mmd=30\ \mathrm{mm}

外表面半徑為

c=d2=15 mmc=\frac d2=15\ \mathrm{mm}

1. 扭轉剪應力

實心圓軸之極慣性矩為

J=πd432J=\frac{\pi d^4}{32}

最大扭轉剪應力為

τ=TcJ=16Tπd3\tau=\frac{Tc}{J} =\frac{16T}{\pi d^3}

代入 T=600000 N⋅mmT=600000\ \mathrm{N\cdot mm}：

τ=16(600000)π(30)3=113.2 MPa\begin{aligned} \tau &=\frac{16(600000)}{\pi(30)^3}\\ &=113.2\ \mathrm{MPa} \end{aligned}

因此

τ=113.2 MPa\boxed{\tau=113.2\ \mathrm{MPa}}

剪應力在圓棒外表面達到最大值。

2. 彎曲正應力

實心圓截面之慣性矩為

I=πd464I=\frac{\pi d^4}{64}

最大彎曲正應力為

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第 二 題4 分

一碳鋼圓棒之簡支梁，長度 L=800 mmL=800\ \mathrm{mm}，中間點受到簡諧變化的集中力，最大值 Fmax⁡=2000 NF_{\max}=2000\ \mathrm{N}，最小值 Fmin⁡=400 NF_{\min}=400\ \mathrm{N}，直徑為 35 mm35\ \mathrm{mm}。給定抗拉強度 Sut=580 MPaS_{ut}=580\ \mathrm{MPa}、修正疲勞極限 Se=180 MPaS_e=180\ \mathrm{MPa}，疲勞應力集中係數 Kf=2.0K_f=2.0，試求：

（一）可能破壞點位置所在 x=x=？

（二）承題（一），該點之彎矩應力中間值 σm\sigma_m？

（三）承題（二），該點之彎矩應力振幅 σa\sigma_a？

（四）若該點存在應力集中，根據古德曼線（Goodman Line）公式，計算其疲勞安全係數？

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核心觀念

本題考查簡支梁集中載重下的：

  1. 最大彎矩位置。
  2. 週期變動載重的平均值與振幅。
  3. 圓棒彎曲應力公式。
  4. 疲勞應力集中係數 KfK_f 與 Goodman 線疲勞安全係數。

簡支梁中央受集中力時，兩端支承反力相等，最大彎矩發生於載重作用點中央。

解題方法

（一）可能破壞點位置

由於集中力作用於梁中央，簡支梁的最大彎矩發生在中央點：

x=L2=8002=400 mmx=\frac{L}{2}=\frac{800}{2}=400\ \mathrm{mm}

因此可能破壞點位於：

x=400 mm\boxed{x=400\ \mathrm{mm}}

其中 x=0x=0 為左端支承點。

（二）該點之彎矩應力中間值 σm\sigma_m

載重平均值為：

Fm=Fmax⁡+Fmin⁡2=2000+4002=1200 NF_m=\frac{F_{\max}+F_{\min}}{2} =\frac{2000+400}{2} =1200\ \mathrm{N}

中央集中載重造成的最大彎矩為：

Mm=FmL4=1200(800)4=240000 N⋅mmM_m=\frac{F_mL}{4} =\frac{1200(800)}{4} =240000\ \mathrm{N\cdot mm}

實心圓棒外表面之彎曲應力：

σ=32Mπd3\sigma=\frac{32M}{\pi d^3}

因此平均彎曲應力為：

σm=32(240000)π(35)3\sigma_m =\frac{32(240000)}{\pi(35)^3} σm≈57.0 MPa\boxed{\sigma_m\approx57.0\ \mathrm{MPa}}

（三）該點之彎矩應力振幅 σa\sigma_a

載重振幅為：

Fa=Fmax⁡−Fmin⁡2=2000−4002=800 NF_a=\frac{F_{\max}-F_{\min}}{2} =\frac{2000-400}{2} =800\ \mathrm{N}

彎矩振幅為：

Ma=FaL4=800(800)4=160000 N⋅mmM_a=\frac{F_aL}{4} =\frac{800(800)}{4} =160000\ \mathrm{N\cdot mm}

因此彎矩應力振幅為：

σa=32Maπd3=32(160000)π(35)3\sigma_a =\frac{32M_a}{\pi d^3} =\frac{32(160000)}{\pi(35)^3} σa≈38.0 MPa\boxed{\sigma_a\approx38.0\ \mathrm{MPa}}
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第 三 題6 分

一對嚙合之漸開線齒輪，大齒輪齒數 Ng=80N_g=80，小齒輪齒數 Np=60N_p=60，模數 m=d/N=2 mmm=d/N=2\ \mathrm{mm}，壓力角 ϕ=25∘\phi=25^\circ。試求：

（一）兩個齒輪的節圓直徑（大齒輪節圓直徑 dgd_g、小齒輪節圓直徑 dpd_p），中心距 CC？

（二）若中心距增加 2 mm2\ \mathrm{mm}，求兩個齒輪的節圓直徑（大齒輪節圓直徑 dg′d_g'、小齒輪節圓直徑 dp′d_p'）？

（三）承題（二），改變中心距後，求新的壓力角？

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核心觀念

本題考查漸開線齒輪的：

  1. 節圓直徑定義： d=mNd=mN
  2. 中心距： C=dg+dp2C=\frac{d_g+d_p}{2}
  3. 中心距改變時，兩齒輪的齒數比不變，因此工作節圓直徑仍須滿足： dg′dp′=NgNp\frac{d_g'}{d_p'}=\frac{N_g}{N_p}
  4. 漸開線齒輪的基圓不變。中心距增加時，工作壓力角會增加，利用基圓與工作節圓的關係求新壓力角。

本題為計算題，無選項分析。

（一）原節圓直徑與中心距

已知：

Ng=80,Np=60,m=2 mmN_g=80,\qquad N_p=60,\qquad m=2\ \text{mm}

大齒輪節圓直徑：

dg=mNg=2(80)=160 mmd_g=mN_g=2(80)=160\ \text{mm}

小齒輪節圓直徑：

dp=mNp=2(60)=120 mmd_p=mN_p=2(60)=120\ \text{mm}

中心距：

C=dg+dp2=160+1202=140 mmC=\frac{d_g+d_p}{2} =\frac{160+120}{2} =140\ \text{mm}

（二）中心距增加 2 mm2\ \text{mm} 後的節圓直徑

新的中心距為：

C′=140+2=142 mmC'=140+2=142\ \text{mm}

因此兩節圓直徑總和為：

dg′+dp′=2C′=284 mmd_g'+d_p'=2C'=284\ \text{mm}

齒輪的齒數比不變，所以：

dg′dp′=NgNp=8060=43\frac{d_g'}{d_p'}=\frac{N_g}{N_p} =\frac{80}{60} =\frac{4}{3}

令：

dg′=4k,dp′=3kd_g'=4k,\qquad d_p'=3k

代入總和：

4k+3k=2844k+3k=284

k=2847=40.5714 mmk=\frac{284}{7}=40.5714\ \text{mm}

所以：

dg′=4k=11367=162.29 mmd_g'=4k=\frac{1136}{7} =162.29\ \text{mm} dp′=3k=8527=121.71 mmd_p'=3k=\frac{852}{7} =121.71\ \text{mm}

也可直接使用：

di′=2C′NiNg+Npd_i'=2C'\frac{N_i}{N_g+N_p}

（三）新的壓力角

漸開線齒輪的基圓直徑保持不變，因此：

dbg=dgcos⁡ϕd_{bg}=d_g\cos\phi

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第 四 題13 分

如圖之行星齒輪系，各齒輪之齒數分別是：太陽齒輪 4040 齒，行星輪 2020 齒，環齒輪 8080 齒。

（一）當環齒輪固定，太陽齒輪為輸入桿，行星架（Arm）為輸出桿，此時之角速度比（輸出／輸入）為多少？輸出與輸入為同向或反向？

（二）當太陽齒輪固定，行星架為輸入桿，環齒輪為輸出桿，此時之角速度比（輸出／輸入）為多少？輸出與輸入為同向或反向？

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核心觀念

本題考查行星齒輪系的基本速度關係。設：

  • 太陽齒輪角速度：ωs\omega_s
  • 環齒輪角速度：ωr\omega_r
  • 行星架角速度：ωc\omega_c

齒數為：

Ns=40,Np=20,Nr=80N_s=40,\qquad N_p=20,\qquad N_r=80

且齒數符合行星齒輪幾何條件：

Nr=Ns+2Np=40+2(20)=80N_r=N_s+2N_p=40+2(20)=80

行星齒輪系使用 Willis 公式：

ωs−ωcωr−ωc=−NrNs=−8040=−2\frac{\omega_s-\omega_c}{\omega_r-\omega_c} =-\frac{N_r}{N_s} =-\frac{80}{40}=-2

負號代表太陽齒輪與環齒輪相對於行星架的轉動方向相反。

（一）環齒輪固定，太陽齒輪輸入，行星架輸出

環齒輪固定，因此：

ωr=0\omega_r=0

代入 Willis 公式：

ωs−ωc0−ωc=−2\frac{\omega_s-\omega_c}{0-\omega_c}=-2

整理得：

ωs−ωc=2ωc\omega_s-\omega_c=2\omega_c ωs=3ωc\omega_s=3\omega_c

因此角速度比為：

ω輸出ω輸入=ωcωs=13\frac{\omega_{\text{輸出}}}{\omega_{\text{輸入}}} =\frac{\omega_c}{\omega_s} =\frac{1}{3}

由於：

ωc=13ωs\omega_c=\frac{1}{3}\omega_s

兩者符號相同，所以行星架與太陽齒輪轉向相同。

（一）答案

ω輸出ω輸入=13\boxed{\frac{\omega_{\text{輸出}}}{\omega_{\text{輸入}}}=\frac{1}{3}}

輸出與輸入為同向。

（二）太陽齒輪固定，行星架輸入，環齒輪輸出

太陽齒輪固定，因此：

ωs=0\omega_s=0

代入 Willis 公式：

🔒

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