114 身心障礙特考三等 機械工程類科 熱力學 考古題詳解

114 年・身心障礙特考・三等・機械工程類科
試題代碼 熱力學

第 一 題20 分

如圖所示，具阻塊的活塞－汽缸裝置內裝滿 300 kPa300\ \mathrm{kPa}、250∘C250^\circ\mathrm{C} 的過熱蒸汽。將過熱蒸汽在定壓下冷卻至飽和蒸氣，且活塞停在阻塊上。之後，水持續冷卻直到壓力為 100 kPa100\ \mathrm{kPa}。試求：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 初始狀態的內能（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）。

(二) 最後狀態的比容（m3/kg\mathrm{m^3/kg}）。

(三) 初始與最後狀態每單位質量的內能變化量（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）。

附：原卷提供飽和蒸氣表與過熱蒸氣表。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查活塞—汽缸裝置在不同過程中的邊界條件，以及水蒸氣表的查表與內插概念：

  1. 初始狀態為 P=300 kPaP=300\ \mathrm{kPa}、T=250∘CT=250^\circ\mathrm{C} 的過熱蒸汽，查過熱蒸氣表。
  2. 定壓冷卻至飽和蒸氣時，活塞仍可移動，但活塞隨後停在阻塊上。
  3. 活塞停在阻塊上後，汽缸體積固定，因此後續為定容冷卻過程。
  4. 最後狀態在 P=100 kPaP=100\ \mathrm{kPa} 下為飽和兩相混合物，須利用乾度求比容與內能。

解題方法

一、初始狀態內能

初始狀態：

P1=300 kPa,T1=250∘CP_1=300\ \mathrm{kPa},\qquad T_1=250^\circ\mathrm{C}

由附表中 P=0.30 MPaP=0.30\ \mathrm{MPa} 的過熱蒸氣表查得：

u1=2651.0 kJ/kgu_1=2651.0\ \mathrm{kJ/kg}

因此：

u1=2651.0 kJ/kg\boxed{u_1=2651.0\ \mathrm{kJ/kg}}

二、求活塞阻塊所對應的固定比容

在定壓冷卻過程中，蒸汽由過熱狀態冷卻至 300 kPa300\ \mathrm{kPa} 的飽和蒸氣狀態，且活塞停在阻塊上。

因此，第二狀態為：

P2=300 kPa,x2=1P_2=300\ \mathrm{kPa},\qquad x_2=1

由飽和蒸氣表查得：

v2=vg@300 kPa=0.60582 m3/kgv_2=v_g@300\ \mathrm{kPa}=0.60582\ \mathrm{m^3/kg}

活塞停在阻塊上後，體積不再改變，所以：

v3=v2=0.60582 m3/kgv_3=v_2=0.60582\ \mathrm{m^3/kg}

三、求最後狀態的比容

最後狀態壓力為：

P3=100 kPaP_3=100\ \mathrm{kPa}

由 100 kPa100\ \mathrm{kPa} 飽和蒸氣表：

vf=0.001043 m3/kgv_f=0.001043\ \mathrm{m^3/kg} vg=1.6941 m3/kgv_g=1.6941\ \mathrm{m^3/kg}

由於：

vf<v3<vgv_f<v_3<v_g

所以最後狀態為飽和兩相混合物。不過題目已由定容條件直接決定其比容：

v3=0.60582 m3/kg\boxed{v_3=0.60582\ \mathrm{m^3/kg}}

四、求初始與最後狀態的內能變化量

1. 求最後狀態乾度

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第 二 題20 分

如圖所示，質量為 1 kg1\ \mathrm{kg} 的二氧化碳被裝於一彈簧承載的活塞－汽缸裝置內。若此系統被加熱，其溫度與壓力從 25∘C25^\circ\mathrm{C}、100 kPa100\ \mathrm{kPa} 變成 300∘C300^\circ\mathrm{C}、1000 kPa1000\ \mathrm{kPa}。試求：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 加熱結束後的體積（m3\mathrm{m^3}）。

(二) 在此過程中所產生的功（kJ\mathrm{kJ}）。

(三) 在此過程中所產生的熱傳量（kJ\mathrm{kJ}）。

附：二氧化碳 R=0.1889 kJ/(kg⋅K)R=0.1889\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，Cv=0.657 kJ/(kg⋅K)C_v=0.657\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}。

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核心觀念

本題考查：

  1. 理想氣體狀態方程式 PV=mRTPV=mRT

  2. 彈簧承載活塞的邊界功。由於彈簧力與活塞位移成正比，且活塞面積固定，因此系統壓力 PP 與體積 VV 呈線性關係，邊界功可用壓力—體積圖下的梯形面積計算：

W=∫V1V2P dV=P1+P22(V2−V1)W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV =\frac{P_1+P_2}{2}(V_2-V_1)
  1. 封閉系統的第一定律：

Q−W=ΔUQ-W=\Delta U

因此：

Q=ΔU+WQ=\Delta U+W

二氧化碳視為理想氣體，且 CvC_v 為常數：

ΔU=mCv(T2−T1)\Delta U=mC_v(T_2-T_1)

解題方法

已知：

m=1 kgm=1\ \mathrm{kg}

T1=25∘C=298.15 KT_1=25^\circ\mathrm{C}=298.15\ \mathrm{K}

T2=300∘C=573.15 KT_2=300^\circ\mathrm{C}=573.15\ \mathrm{K}

P1=100 kPa,P2=1000 kPaP_1=100\ \mathrm{kPa},\qquad P_2=1000\ \mathrm{kPa}

R=0.1889 kJ/(kg⋅K)R=0.1889\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

Cv=0.657 kJ/(kg⋅K)C_v=0.657\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

由於 1 kPa⋅m3=1 kJ1\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\ \mathrm{kJ}，可直接使用題目所給單位計算。

（一）加熱結束後的體積

由理想氣體方程式：

V2=mRT2P2V_2=\frac{mRT_2}{P_2}

代入數值：

V2=(1)(0.1889)(573.15)1000V_2 =\frac{(1)(0.1889)(573.15)}{1000}

V2=0.1083 m3\boxed{V_2=0.1083\ \mathrm{m^3}}

（二）過程中所產生的功

先求初始體積：

V1=mRT1P1V_1=\frac{mRT_1}{P_1}

V1=(1)(0.1889)(298.15)100V_1 =\frac{(1)(0.1889)(298.15)}{100}

V1=0.5632 m3V_1=0.5632\ \mathrm{m^3}

因此：

ΔV=V2−V1=0.1083−0.5632=−0.4549 m3\Delta V=V_2-V_1 =0.1083-0.5632 =-0.4549\ \mathrm{m^3}

由題目給定的末狀態可知，雖然溫度升高，壓力升高的幅度更大，因此體積反而減少，活塞受到壓縮，系統對外功為負。

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第 三 題30 分

一個裝有 45 kg45\ \mathrm{kg}、95∘C95^\circ\mathrm{C} 液態水的容器，被放置於一個 90 m390\ \mathrm{m^3}、初始溫度 12∘C12^\circ\mathrm{C} 的房間。一段時間後經由熱傳遞達到熱平衡，假設房間密封良好且絕熱。試求：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 最後的平衡溫度（∘C^\circ\mathrm{C}）。

(二) 水傳遞給房內空氣的熱傳量（kJ\mathrm{kJ}）。

(三) 熵產生量（kJ/K\mathrm{kJ/K}）。

附：假設空氣壓力 P=101.3 kPaP=101.3\ \mathrm{kPa}，且

R=0.287 kPa⋅m3/(kg⋅K)R=0.287\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}，

Cp=1.005 kJ/(kg⋅K)C_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，

Cv=0.718 kJ/(kg⋅K)C_v=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，

水比熱 Cw=4.18 kJ/(kg⋅K)C_w=4.18\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題是「封閉、絕熱、剛性房間內的非平衡熱傳」問題，應用：

  1. 房間與水組成絕熱總系統： Q外界=0,W外界=0Q_{\text{外界}}=0,\qquad W_{\text{外界}}=0
  2. 能量守恆： ΔU水+ΔU空氣=0\Delta U_{\text{水}}+\Delta U_{\text{空氣}}=0
  3. 熵產生量： Sgen=ΔS水+ΔS空氣S_{\text{gen}}=\Delta S_{\text{水}}+\Delta S_{\text{空氣}}

水由 95∘C95^\circ\mathrm{C} 冷卻，房內空氣由 12∘C12^\circ\mathrm{C} 升溫，最後達到共同平衡溫度。

解題方法

1. 求房內空氣質量

房間內空氣視為理想氣體，初始溫度為

Ta1=12+273.15=285.15 KT_{a1}=12+273.15=285.15\ \mathrm{K}

由理想氣體方程式：

ma=PVRTm_a=\frac{PV}{RT}

代入：

ma=(101.3)(90)(0.287)(285.15)=111.40 kgm_a=\frac{(101.3)(90)}{(0.287)(285.15)} =111.40\ \mathrm{kg}

水的熱容量為：

mwCw=(45)(4.18)=188.10 kJ/Km_w C_w=(45)(4.18)=188.10\ \mathrm{kJ/K}

空氣的熱容量為：

maCv=(111.40)(0.718)=79.99 kJ/Km_a C_v=(111.40)(0.718)=79.99\ \mathrm{kJ/K}

2. 最後平衡溫度

設最後平衡溫度為 TfT_f，以攝氏溫度表示。能量守恆為：

mwCw(Tf−95)+maCv(Tf−12)=0m_w C_w(T_f-95)+m_a C_v(T_f-12)=0

代入數值：

188.10(Tf−95)+79.99(Tf−12)=0188.10(T_f-95)+79.99(T_f-12)=0

整理得：

Tf=(188.10)(95)+(79.99)(12)188.10+79.99T_f=\frac{(188.10)(95)+(79.99)(12)} {188.10+79.99}

因此：

Tf=70.24∘C\boxed{T_f=70.24^\circ\mathrm{C}}

3. 水傳給房內空氣的熱傳量

空氣吸收的熱量為：

Qa=maCv(Tf−12)Q_a=m_a C_v(T_f-12)

Qa=(111.40)(0.718)(70.24−12)Q_a=(111.40)(0.718)(70.24-12)

Qa=4658 kJQ_a=4658\ \mathrm{kJ}

因此，水傳遞給房內空氣的熱量為：

Q=4.66×103 kJ\boxed{Q=4.66\times10^3\ \mathrm{kJ}}

水放出的熱量大小與空氣吸收的熱量相同。

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第 四 題30 分

空氣標準之奧圖循環壓縮比為 9.59.5。在等熵壓縮過程開始前，空氣的狀態是 100 kPa100\ \mathrm{kPa}、35∘C35^\circ\mathrm{C} 和 600 cm3600\ \mathrm{cm^3}。在等熵膨脹過程結束後，空氣的溫度是 800 K800\ \mathrm{K}。利用室溫的比熱值，試求：

(一) 循環的最高溫度（∘C^\circ\mathrm{C}）。

(二) 循環的最高壓力（kPa\mathrm{kPa}）。

(三) 輸入熱量（kJ\mathrm{kJ}）。

(四) 熱效率。

(五) 平均有效壓力（kPa\mathrm{kPa}）。

附：空氣性質

Cp=1.005 kJ/(kg⋅K)C_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，

Cv=0.718 kJ/(kg⋅K)C_v=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，

R=0.287 kJ/(kg⋅K)R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，

k=1.4k=1.4。

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核心觀念

本題考查空氣標準奧圖循環。循環包含兩段等熵過程與兩段定容過程：

  • 1→21\to2：等熵壓縮
  • 2→32\to3：定容加熱
  • 3→43\to4：等熵膨脹
  • 4→14\to1：定容放熱

壓縮比為 r=V1/V2=9.5r=V_1/V_2=9.5。使用室溫定比熱時，取 k=1.4k=1.4，等熵關係為

T2T1=rk−1,P2P1=rk\frac{T_2}{T_1}=r^{k-1}, \qquad \frac{P_2}{P_1}=r^k T3T4=rk−1\frac{T_3}{T_4}=r^{k-1}

定容過程中，體積不變，因此 P/TP/T 為定值。輸入熱量為 Qin=mcv(T3−T2)Q_{\mathrm{in}}=mc_v(T_3-T_2)，熱效率為 η=1−Qout/Qin\eta=1-Q_{\mathrm{out}}/Q_{\mathrm{in}}，平均有效壓力為循環淨功除以排氣量。

解題方法與計算

先將已知狀態整理為

P1=100 kPa,T1=35+273.15=308.15 K,V1=600 cm3=0.0006 m3P_1=100\ \mathrm{kPa},\quad T_1=35+273.15=308.15\ \mathrm{K},\quad V_1=600\ \mathrm{cm^3}=0.0006\ \mathrm{m^3}

壓縮比 r=9.5r=9.5，且膨脹結束時 T4=800 KT_4=800\ \mathrm{K}。

（一）循環最高溫度

等熵膨脹 3→43\to4 滿足 T3/T4=rk−1T_3/T_4=r^{k-1}：

T3=800(9.5)1.4−1=1968.70 KT_3=800(9.5)^{1.4-1} =1968.70\ \mathrm{K}

換算為攝氏溫度：

T3,∘C=1968.70−273.15=1695.55∘CT_{3,^\circ\mathrm C}=1968.70-273.15 =1695.55^\circ\mathrm C

（二）循環最高壓力

先由等熵壓縮求狀態 2 壓力：

P2=P1rk=100(9.5)1.4=2337.83 kPaP_2=P_1r^k =100(9.5)^{1.4} =2337.83\ \mathrm{kPa}

等熵壓縮也給出

T2=T1rk−1=308.15(9.5)0.4=758.32 KT_2=T_1r^{k-1} =308.15(9.5)^{0.4} =758.32\ \mathrm{K}

定容加熱 2→32\to3 時，P3/T3=P2/T2P_3/T_3=P_2/T_2，因此

P3=P2T3T2=2337.831968.70758.32=6069.33 kPaP_3=P_2\frac{T_3}{T_2} =2337.83\frac{1968.70}{758.32} =6069.33\ \mathrm{kPa}

狀態 3 為循環最高溫度與最高壓力所在狀態。

（三）輸入熱量

先用狀態 1 的理想氣體方程式求空氣質量：

m=P1V1RT1=100(0.0006)0.287(308.15)=0.00067843 kgm=\frac{P_1V_1}{RT_1} =\frac{100(0.0006)}{0.287(308.15)} =0.00067843\ \mathrm{kg}

定容加熱的輸入熱量為

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