114 年身心障礙特考三等機械工程類科考古題與詳解

Question 1

如圖所示，一均質細長桿長度為 $4\ \mathrm{m}$，質量為 $3\ \mathrm{kg}$。一端靠在粗糙牆面，另一端以細繩固定。長桿與水平面夾角為 $30^\circ$，繩子與垂直線夾角亦為 $30^\circ$，且處於靜力平衡狀態。重力加速度 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 試求： （一）繩子的張力 $T$。（10 分） （二）牆壁對長桿的水平方向力 $H$。（5 分） （三）牆面提供長桿的摩擦力 $Fs$。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查剛體靜力平衡，須同時滿足： $$\sum Fx=0,\qquad \sum Fy=0,\qquad \sum M=0$$ 均質長桿的重力作用於中點，重量為 $$W=mg=3(9.81)=29.43\ \mathrm{N}$$ 繩子與垂直線夾角為 $30^\circ$，因此張力分量為： $$Tx=-T\sin30^\circ,\qquad Ty=T\cos30^\circ$$ --- 解題方法 取牆面接觸點為力矩中心，可消去牆壁對長桿的水平力 $H$ 與摩擦力 $Fs$。 長桿與水平夾角為 $30^\circ$，繩張力方向與長桿方向之間的夾角為： $$30^\circ+60^\circ=90^\circ?$$ 依圖示，繩子方向為左上方，長桿由牆面指向右下方，兩者夾角為 $120^\circ$，其力矩有效分量可直接由分量計算。 端點位置： $$\vec r=(L\cos30^\circ,-L\sin30^\circ)$$ 張力分量： $$\vec T=(-T\sin30^\circ,T\cos30^\circ)$$ 張力對牆面接觸點的力矩為： $$MT=rxTy-ryTx$$ $$MT=L\cos30^\circ(T\cos30^\circ) -(-L\sin30^\circ)(-T\sin30^\circ)$$ $$MT=LT(\cos^230^\circ-\sin^230^\circ) =LT\cos60^\circ=\frac{LT}{2}$$ 重力作用於桿中點，其力矩為： $$MW=-\frac{L}{2}\cos30^\circ W$$ 靜力平衡得： $$\frac{LT}{2}-\frac{L}{2}W\cos30^\circ=0$$ 因此： $$T=W\cos30^\circ$$ $$T=29.43(0.8660)=25.49\ \mathrm{N}$$ --- （一）繩子的張力

Question 2

一根質量 $5\ \mathrm{kg}$、長度 $3\ \mathrm{m}$ 的均勻桿 $AB$，透過銷釘連接至滑塊 $A$。滑塊 $A$ 的質量為 $4\ \mathrm{kg}$，且可沿著光滑的水平導軌滑動。系統最初處於靜止狀態時，桿位於如圖所示位置，$	heta=45^\circ$。重力加速度 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 求系統釋放後的瞬間狀態： （一）桿 $AB$ 的角加速度（含方向）。（10 分） （二）滑塊 $A$ 的加速度（含方向）。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查平面剛體瞬時運動與動力學，重點包括： - 滑塊 $A$ 僅能沿水平導軌運動，因此其加速度只有水平方向。 - 釋放瞬間系統由靜止開始，故桿的初始角速度 $\dot{	heta}=0$，不會出現含角速度平方的向心項。 - 導軌光滑，水平方向無外力，因此可利用水平方向動量守恆。 - 桿為均勻細桿，質量慣性矩為 $$IG=\frac{1}{12}mL^2,\qquad IA=\frac{1}{3}mL^2.$$ 取水平向右為 $x$ 正方向，並以圖示的 $	heta$ 為廣義座標。由於圖中 $	heta$ 增加方向為順時針，因此最後的 $\ddot{	heta}<0$ 代表桿作逆時針轉動。 --- 解題方法 設： - 滑塊質量 $mA=4\ \mathrm{kg}$ - 桿質量 $m=5\ \mathrm{kg}$ - 桿長 $L=3\ \mathrm{m}$ - $	heta=45^\circ$ - 滑塊加速度為 $aA=\ddot{x}$ - 桿角加速度為 $\ddot{	heta}$ 桿質心相對於滑塊 $A$ 的位置為 $$ \mathbf r{G/A} = \left( -\frac{L}{2}\sin	heta,\, -\frac{L}{2}\cos	heta ight). $$ 在初始瞬間 $\dot{	heta}=0$，系統的動能為 $$ T= \frac12(mA+m)\dot{x}^{\,2} -\frac{mL}{2}\cos	heta\,\dot{x}\dot{	heta} +\frac12\left(\frac{mL^2}{3}ight)\dot{	heta}^{\,2}. $$ 重力位能為 $$ V=-\frac{m g L}{2}\cos	heta. $$ --- （一）桿 $AB$ 的角加速度 對 $x$ 座標套用拉格朗日方程，且在釋放瞬間 $\dot{x}=\dot{	heta}=0$： $$ (mA+m)\ddot{x} -\frac{mL}{2}\cos	heta\,\ddot{	heta}=0. $$ 因此 $$ \ddot{x} = \frac{mL}{2(mA+m)} \cos	heta\,\ddot{	heta}. 	ag{1} $$ 再對 $	heta$ 座標套用拉格朗日方程： $$ \frac{mL^2}{3}\ddot{	heta} -\frac{mL}{2}\cos	heta\,\ddot{x} +\frac{mgL}{2}\sin	heta=0. 	ag{2} $$ 將式（1）代入式（2）：

Question 3

一個加壓鋼製儲罐使用螺旋焊接製造，該焊縫與縱向軸成 $\alpha=55^\circ$ （如圖所示）。儲罐的半徑 $r=0.5\ \mathrm{m}$ ，壁厚 $t=15\ \mathrm{mm}$ ，內部壓力 $p=2.6\ \mathrm{MPa}$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

請計算：

（一）最大「面外」剪應力 $\tau_{\mathrm{max,out-of-plane}}$ 。（15 分）

（二）在垂直於焊縫方向上的正應力 $\sigma_{x'}$ 。（15 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查薄壁圓筒受內壓時的膜應力，以及應力轉換。 取： - $x$ 軸：儲罐縱向軸 - $y$ 軸：圓周方向 - $z$ 軸：壁厚方向 - $x'$ 軸：垂直於螺旋焊縫方向 - $y'$ 軸：沿螺旋焊縫方向 薄壁圓筒的縱向及環向正應力為 $$ \sigmax=\frac{pr}{2t},\qquad \sigmay=\frac{pr}{t} $$ 其中厚度方向應力依薄壁壓力容器膜應力假設取為 $$ \sigmaz\approx 0 $$ 已知 $$ p=2.6\ 	ext{MPa},\quad r=0.5\ 	ext{m},\quad t=0.015\ 	ext{m} $$ 因此 $$ \sigmax =\frac{(2.6)(0.5)}{2(0.015)} =43.33\ 	ext{MPa} $$ $$ \sigmay =\frac{(2.6)(0.5)}{0.015} =86.67\ 	ext{MPa} $$ --- 解題方法：焊縫方向的應力轉換 焊縫與縱向軸夾角為 $\alpha=55^\circ$，因此 $x'$ 軸為焊縫法線方向。 垂直於焊縫方向的正應力為 $$ \sigma{x'} =\sigmax\sin^2\alpha+\sigmay\cos^2\alpha $$ 沿焊縫方向的正應力為 $$ \sigma{y'} =\sigmax\cos^2\alpha+\sigmay\sin^2\alpha $$ 由 $$ \sin^2 55^\circ=0.6710,\qquad \cos^2 55^\circ=0.3290 $$ 可得 $$ \sigma{x'} =(43.33)(0.6710)+(86.67)(0.3290) $$ $$ \boxed{\sigma{x'}=57.67\ 	ext{MPa}} $$ 另有 $$ \sigma{y'} =(43.33)(0.3290)+(86.67)(0.6710) =72.33\ 	ext{MPa} $$ --- （一）最大面外剪應力 對平面應力狀態，面外剪應力是指涉及厚度方向 $z$ 的剪應力，例如 $	au{x'z}$ 或 $	au{y'z}$。 由於 $$ \sigmaz=0 $$ 面外最大剪應力由最大的面內正應力與零應力之差決定：

Question 4

如圖所示，兩個平行板之間的黏性、穩態不可壓縮流動是由底部板子的運動和壓力梯度 $\frac{\partial P}{\partial x}$ 共同造成。

（一）若固定板上剪應力恰好為零，請推導 $U$ 和 $\frac{\partial P}{\partial x}$ 之間的關係。（15 分）

（二）如果

P=-\left(\frac{b^2}{2\mu U}\right)\left(\frac{\partial P}{\partial x}\right)=5，

求最大速度發生的位置（位置請在化簡後以 $b$ 表示）及最大流速（速度請在化簡後以 $U$ 表示）。（15 分）

提示：在 $x$ 方向的 Navier–Stokes 方程式為

\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}\right) =-\frac{\partial P}{\partial x}+\rho g_x+\mu\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\right).

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考察兩平行板間的穩態、不可壓縮、充分發展黏性流動，即 - $u=u(y)$； - $v=0$； - $\partial u/\partial x=0$； - 黏度 $\mu$ 為常數； - 忽略慣性項與體積力在 $x$ 方向的影響。 因此，$x$ 方向 Navier–Stokes 方程式化為 $$ 0=-\frac{\partial P}{\partial x} +\mu\frac{d^2u}{dy^2}. $$ 故 $$ \frac{d^2u}{dy^2} =\frac{1}{\mu}\frac{\partial P}{\partial x}. $$ 邊界條件為 $$ u(0)=U,\qquad u(b)=0, $$ 其中底板以速度 $U$ 向右運動，頂板固定。 --- 解題方法 將簡化後的方程式積分兩次： $$ u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{\partial P}{\partial x}y^2+C1y+C2. $$ 由 $u(0)=U$ 得 $$ C2=U. $$ 再由 $u(b)=0$ 得 $$ 0=\frac{1}{2\mu}\frac{\partial P}{\partial x}b^2+C1b+U, $$ 所以 $$ C1=-\frac{U}{b} -\frac{b}{2\mu}\frac{\partial P}{\partial x}. $$ 因此速度分布為 $$ u(y) = U\left(1-\frac{y}{b}ight) -\frac{1}{2\mu}\frac{\partial P}{\partial x}\,y(b-y). $$ 剪應力為 $$ 	au{xy}=\mu\frac{du}{dy}. $$ 先微分速度分布： $$ \frac{du}{dy} = -\frac{U}{b} -\frac{1}{2\mu}\frac{\partial P}{\partial x}(b-2y). $$ --- （一）固定板剪應力為零時的關係 固定板位於 $y=b$，所以固定板上的剪應力為 $$ 	au{xy}\bigg|{y=b} = \mu\frac{du}{dy}\bigg|{y=b}. $$ 代入 $y=b$： $$ \frac{du}{dy}\bigg|{y=b} = -\frac{U}{b} +\frac{b}{2\mu}\frac{\partial P}{\partial x}. $$ 題設固定板剪應力為零，因此 $$ -\frac{U}{b} +\frac{b}{2\mu}\frac{\partial P}{\partial x}=0. $$ 整理得 $$ \boxed{\frac{\partial P}{\partial x} =\frac{2\mu U}{b^2}} $$ 或寫成 $$…

114 身心障礙特考三等機械工程類科流體力學與工程力學考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

核心觀念

解題方法

（一）桿 $AB$ 的角加速度

第三題30 分

第四題30 分

核心觀念

解題方法

（一）固定板剪應力為零時的關係

（二）當無因次壓力參數為 $5$ 時

其他考古題

114 年機械工程類科的其他科目

114 身心障礙特考三等 機械工程類科 流體力學與工程力學 考古題詳解

第 一 題20 分

第 二 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）桿 ABABAB 的角加速度

第 三 題30 分

第 四 題30 分

核心觀念

解題方法

（一）固定板剪應力為零時的關係

（二）當無因次壓力參數為 555 時

其他考古題

114 年機械工程類科的其他科目

114 身心障礙特考三等機械工程類科流體力學與工程力學考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

（一）桿 $AB$ 的角加速度

第三題30 分

第四題30 分

（二）當無因次壓力參數為 $5$ 時