111 身心障礙特考四等 氣象 微積分 考古題詳解

核心觀念

本題考查微積分中底數與指數皆含有變數（即 $u(x)^{v(x)}$ 型態）的極限與微分計算，主要涵蓋以下三大觀念：

1. 不定型極限與羅必達法則（L'Hôpital's Rule）： 對於 $0^0$ 型態的不定型極限，需先取自然對數轉化為 $0 \cdot (-\infty)$ 型態，再改寫為分數型態 $\frac{-\infty}{\infty}$ 或 $\frac{0}{0}$ 後，運用羅必達法則求極限。
2. 對數微分法（Logarithmic Differentiation）： 對於底數與指數均包含自變數 $x$ 的函數 $f(x) = [g(x)]^{h(x)}$（其中 $g(x) > 0$），無法直接使用一般的冪次律（Power Rule）或指數微分律，必須利用雙邊取自然對數化簡，再配合**乘積律（Product Rule）與連鎖律（Chain Rule）**求導。
3. 函數定義域： 底數 $\ln x$ 必須大於 $0$，故函數實數定義域為 $x > 1$。此條件保障了取對數 $\ln(\ln x)$ 的合法性。

解題方法

(一) 求 $\lim_{x\to 1^+} f(x)$

步驟一：判斷極限型態並取自然對數 當 $x \to 1^+$ 時，$\ln x \to 0^+$ 且 $x-1 \to 0^+$，故極限 $\lim_{x\to 1^+} (\ln x)^{x-1}$ 屬於 $0^0$ 型態的不定型。 設 $y = f(x) = (\ln x)^{x-1}$，兩邊取自然對數： $\ln y = (x-1) \ln(\ln x)$

步驟二：改寫為分數型態並使用羅必達法則 考慮 $\ln y$ 當 $x \to 1^+$ 的極限： $\lim_{x\to 1^+} \ln y = \lim_{x\to 1^+} (x-1) \ln(\ln x)$ 此時 $(x-1) \to 0$ 且 $\ln(\ln x) \to -\infty$，屬於 $0 \cdot (-\infty)$ 型態。將其改寫為分數形式： $\lim_{x\to 1^+} \ln y = \lim_{x\to 1^+} \frac{\ln(\ln x)}{\frac{1}{x-1}}$ 此時式子為 $\frac{-\infty}{\infty}$ 型態，對分子與分母分別對 $x$ 微分：

• 分子微分：$\frac{d}{dx} [\ln(\ln x)] = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x}$
• 分母微分：$\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{x-1} \right] = -\frac{1}{(x-1)^2}$

帶回極限式化簡： $\lim_{x\to 1^+} \ln y = \lim_{x\to 1^+} \frac{\frac{1}{x \ln x}}{-\frac{1}{(x-1)^2}} = \lim_{x\to 1^+} \left( -\frac{(x-1)^2}{x \ln x} \right)$

步驟三：再次使用羅必達法則求極限 當 $x \to 1^+$ 時，分子 $-(x-1)^2 \to 0$，分母 $x \ln x \to 0$，屬於 $\frac{0}{0}$ 型態。再次對分子與分母分別求導：

• 分子微分：$\frac{d}{dx} [-(x-1)^2] = -2(x-1)$
• 分母微分：$\frac{d}{dx} [x \ln x] = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

代入極限計算： $\lim_{x\to 1^+} \ln y = \lim_{x\to 1^+} \frac{-2(x-1)}{\ln x + 1} = \frac{-2(1-1)}{\ln(1) + 1} = \frac{0}{0 + 1} = 0$

核心觀念

本題考查微積分中「不定積分（Indefinite Integral）」的三大核心技巧：

1. 小題(一)：對數性質與分部積分法（Integration by Parts） 利用對數律 $\ln(a^b) = b\ln a$ 化簡被積函數，再配合分部積分公式 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ 進行求解。
2. 小題(二)：部分分式拆解法（Partial Fractions Decomposition） 針對分母可因式分解之有理式假分式/真分式，將其拆解為若干一次項分母的簡單分式後分別積分。
3. 小題(三)：根式變數變換法（Integration by Substitution） 當被積函數含有無理根式 $\sqrt{x}$ 時，令新變數 $u = \sqrt{x}$ 以消除根號，將無理函數轉化為多項式與有理函數進行積分。

解題方法

(一) 求 $\int \ln\sqrt{x^2-1}\,dx$

1. 利用對數律化簡被積函數： $\ln\sqrt{x^2-1} = \ln(x^2-1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\ln(x^2-1)$ 將原式改寫為： $\int \ln\sqrt{x^2-1}\,dx = \frac{1}{2}\int \ln(x^2-1)\,dx$

2. 採用分部積分法，設定變數：

• 令 $u = \ln(x^2-1) \implies du = \frac{2x}{x^2-1}\,dx$
• 令 $dv = dx \implies v = x$

3. 代入分部積分公式 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$： $\int \ln(x^2-1)\,dx = x\ln(x^2-1) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2-1}\,dx = x\ln(x^2-1) - \int \frac{2x^2}{x^2-1}\,dx$

4. 將被積假分式 $\frac{2x^2}{x^2-1}$ 拆解為整式與真分式： $\frac{2x^2}{x^2-1} = \frac{2(x^2-1) + 2}{x^2-1} = 2 + \frac{2}{x^2-1} = 2 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$ 逐項執行積分： $\int \frac{2x^2}{x^2-1}\,dx = \int \left( 2 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) dx = 2x + \ln|x-1| - \ln|x+1|$

5. 代回原式： $\int \ln\sqrt{x^2-1}\,dx = \frac{1}{2} \left[ x\ln(x^2-1) - 2x - \ln|x-1| + \ln|x+1| \right] + C$ $= x\ln\sqrt{x^2-1} - x + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| + C$

(二) 求 $\int \frac{x+7}{x^2+2x-3}\,dx$

1. 將分母進行實數因式分解： $x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$

2. 設部分分式形式： $\frac{x+7}{(x+3)(x-1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-1}$ 兩邊同乘 $(x+3)(x-1)$ 得到分子恆等式： $x+7 = A(x-1) + B(x+3)$

3. 代入零點求解待定係數 $A, B$：

• 代入 $x = 1$：$1 + 7 = B(1 + 3) \implies 8 = 4B \implies B = 2$
• 代入 $x = -3$：$-3 + 7 = A(-3 - 1) \implies 4 = -4A \implies A = -1$

4. 將分解後的分式進行積分：

核心觀念

本題考查二元函數在等式限制條件下的極值問題（Conditional Extrema）。解法核心為拉格朗日乘子法（Lagrange Multipliers）。

若目標函數 $f(x,y)$ 與限制條件函數 $g(x,y) = c$ 皆連續可微，則極值可能發生的臨界點必滿足梯度向量平行的關係： $\nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y)$ 即建立下列聯立方程組： $\begin{cases} f_x(x,y) = \lambda g_x(x,y) \\ f_y(x,y) = \lambda g_y(x,y) \\ g(x,y) = c \end{cases}$

此外，鑑於限制條件與目標函數具有對稱結構，本題亦可採用**對稱變數代換法（$u = x+y, v = x-y$）**將二元限制極值轉換為單變數二次函數在閉區間上的極值問題進行分析與驗算。

解題方法

拉格朗日乘子法推導

第一步：建立拉格朗日方程組 目標函數展開為： $f(x,y) = (x-1)(y-1) = xy - x - y + 1$ 限制條件為： $g(x,y) = x^2 + xy + y^2 = \frac{7}{4}$

計算偏導數梯度向量： $\nabla f = (y - 1, x - 1)$ $\nabla g = (2x + y, 2y + x)$

根據 $\nabla f = \lambda \nabla g$ 與限制條件，列出聯立方程組： $y - 1 = \lambda (2x + y) \quad \text{--- (1)}$ $x - 1 = \lambda (2y + x) \quad \text{--- (2)}$ $x^2 + xy + y^2 = \frac{7}{4} \quad \text{--- (3)}$

第二步：求解臨界點 將方程 (1) 減去方程 (2)： $(y - 1) - (x - 1) = \lambda (2x + y - 2y - x)$ $y - x = \lambda (x - y)$ $(y - x)(1 + \lambda) = 0$

由上式可分為兩種分支情況：

1. 分支一：$y - x = 0 \implies y = x$ 將 $y = x$ 代入限制條件 (3)： $x^2 + x^2 + x^2 = \frac{7}{4} \implies 3x^2 = \frac{7}{4} \implies x^2 = \frac{7}{12}$ 解得 $x = \pm \sqrt{\frac{7}{12}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{6}$。 得到兩個臨界點： $P_1 = \left(\frac{\sqrt{21}}{6}, \frac{\sqrt{21}}{6}\right), \quad P_2 = \left(-\frac{\sqrt{21}}{6}, -\frac{\sqrt{21}}{6}\right)$

分別計算其函數值： $f(P_1) = \left(\frac{\sqrt{21}}{6} - 1\right)^2 = \frac{7}{12} - \frac{\sqrt{21}}{3} + 1 = \frac{19 - 4\sqrt{21}}{12}$ $f(P_2) = \left(-\frac{\sqrt{21}}{6} - 1\right)^2 = \frac{7}{12} + \frac{\sqrt{21}}{3} + 1 = \frac{19 + 4\sqrt{21}}{12}$

2. 分支二：$1 + \lambda = 0 \implies \lambda = -1$ 將 $\lambda = -1$ 代入方程 (1)： $y - 1 = -1(2x + y) \implies 2x + 2y = 1 \implies x + y = \frac{1}{2}$ 得到 $y = \frac{1}{2} - x$，代入限制條件 (3)： $x^2 + x\left(\frac{1}{2} - x\right) + \left(\frac{1}{2} - x\right)^2 = \frac{7}{4}$

核心觀念

本題考查**三重積分（Triple Integrals）於三維空間實體體積之計算，特別是球坐標系（Spherical Coordinates）**的轉換與積分範圍之判定。

1. 立體體積之三重積分定義： 若 $D$ 為 $xyz$ 空間中的實體，則 $D$ 之體積 $V$ 表示為： $V = \iiint_D 1 \, dV$

2. 球坐標系轉換： 空間點 $(x, y, z)$ 與球坐標 $(\rho, \phi, \theta)$ 之轉換關係為： $x = \rho \sin\phi \cos\theta$ $y = \rho \sin\phi \sin\theta$ $z = \rho \cos\phi$ 其中 $\rho \ge 0$ 為點到原點之距離，$\phi \in [0, \pi]$ 為與 $z$ 軸正向之夾角（頂角），$\theta \in [0, 2\pi)$ 為在 $xy$ 平面投影之方位角。 微小體積元素（Jacobian 轉換因子）： $dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$

3. 邊界幾何意義：

• $x^2+y^2+z^2 \le 4$：以原點為中心、半徑為 $R=2$ 之實心球體。
• $z \ge \sqrt{x^2+y^2}$：以 $z$ 軸正向為對稱軸、頂點在原點、頂角上限為 $\frac{\pi}{4}$（$45^\circ$）之單葉上圓錐內部區域。

解題方法

步驟一：確定區域 $D$ 在球坐標系下的積分範圍

1. 徑向距離範圍 $\rho$： 由球面邊界條件 $x^2+y^2+z^2 \le 4$，代入 $\rho^2 = x^2+y^2+z^2$ 得： $\rho^2 \le 4 \implies 0 \le \rho \le 2$

2. 頂角範圍 $\phi$： 由圓錐邊界條件 $z \ge \sqrt{x^2+y^2}$，將球坐標代入： $\rho \cos\phi \ge \sqrt{\rho^2 \sin^2\phi \cos^2\theta + \rho^2 \sin^2\phi \sin^2\theta}$ $\rho \cos\phi \ge \sqrt{\rho^2 \sin^2\phi} = \rho \sin\phi$ 由於在實體內部 $\rho > 0$，同除以 $\rho$ 得： $\cos\phi \ge \sin\phi \implies \tan\phi \le 1$ 在球坐標定義域 $\phi \in [0, \pi]$ 限制下，對應之地形頂角範圍為： $0 \le \phi \le \frac{\pi}{4}$

3. 方位角範圍 $\theta$： 實體 $D$ 繞 $z$ 軸呈完全旋轉對稱，方位角無任何限制： $0 \le \theta \le 2\pi$

綜上所述，實體 $D$ 在球坐標系下的積分區域為： $D^* = \left\{ (\rho, \phi, \theta) \mid 0 \le \rho \le 2, \, 0 \le \phi \le \frac{\pi}{4}, \, 0 \le \theta \le 2\pi \right\}$

步驟二：建立三重積分式並計算體積

將體積公式轉化為球坐標系下的累次積分： $V = \iiint_D 1 \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{2} \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$