112 身心障礙特考四等 氣象 微積分 考古題詳解

核心觀念

$1$ 對 $1$ 函數（單射）的定義是：若 $g(a)=g(b)$，就能推出 $a=b$。本題可利用立方根函數 $\sqrt[3]{\,\cdot\,}$ 與平方函數以外的代數性質，直接從函數值相等推回自變數相等。

求反函數時，先令 $y=g(x)$，再解出 $x$ 關於 $y$ 的式子，最後交換 $x,y$。由於 $g$ 的定義域與值域皆為實數，反函數也定義在全體實數上。

解題方法

（一）證明 $g(x)$ 是 $1$ 對 $1$ 函數

設 $a,b\in\mathbb{R}$，且 $g(a)=g(b)$。依函數定義，

兩邊同除以 $2$，再利用立方根函數在實數上為單射，得

因此 $a^3=b^3$。立方函數在實數上為單射，故

符合單射定義，所以 $g(x)$ 是 $1$ 對 $1$ 函數。

（二）求反函數

令

兩邊同除以 $2$，再立方：

整理得

核心觀念

此題考「變底數指數函數」的微分。當底數與指數都含有變數時，可先取自然對數，再使用乘積法則與鏈鎖律。

對正值函數 $u(x)$，有

解題方法

題目給定

在實數範圍內，需有 $x>0$ 且 $\sin x>0$，才能使 $\ln x$ 與變底數冪次有定義。

兩邊取自然對數：

對 $x$ 微分。左側使用鏈鎖律，右側使用乘積法則：

核心觀念

連續函數在閉區間上的絕對最大值與絕對最小值，必定出現在區間端點或區間內的臨界點。本題函數

在 $[0.1,2]$ 上連續，且區間不包含 $x=0$，因此可用「端點與臨界點比較法」求絕對極值。

解題方法

先求導數：

令 $f'(x)=0$，得

只有 $x=1$ 落在區間 $[0.1,2]$ 內，因此候選點為 $x=0.1$、$x=1$ 與 $x=2$。

核心觀念

本題考查分部積分法，以及指數函數的積分公式：

解題方法

令 $u=x$、$dv=2^x\,dx$，則

套用分部積分公式：