107 身心障礙特考四等 電力工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量單相理想變壓器（Ideal Transformer）​的基本電氣特性與交流電路分析能力，涉及的核心定義與公式如下：

1. 理想變壓器基本假設：

• 無繞組電阻（無銅損）與鐵心損耗（無鐵損）。
• 導磁係數 $\mu \to \infty$，激磁電流趨近於零。
• 無漏磁通，所有磁通皆局限於鐵心中。

2. 電壓與圈數比關係： 端電壓瞬時值比等於繞組圈數比： $\frac{v_1(t)}{v_2(t)} = \frac{n_1}{n_2} = a$ （其中 $a$ 為匝數比，本題 $a = \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{5}$）
3. 正弦波訊號之頻率與均方根值（RMS）：

• 瞬時式 $v(t) = V_m \sin(\omega t + \theta)$
• 角頻率與頻率關係：$\omega = 2\pi f \implies f = \frac{\omega}{2\pi}$
• 正弦波電壓有效值：$V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}$

4. 純電阻負載之功率： $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} = I_{\text{rms}}^2 R_L = \frac{V_{\text{rms}}^2}{R_L}$
5. 阻抗反射原理（Impedance Reflection）： 二次側負載阻抗 $Z_L$ 折算（反映）至一次側的等效阻抗 $Z_{1,\text{eq}}$ 為： $Z_{1,\text{eq}} = \left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2 Z_L = a^2 Z_L$

解題方法

(一) 二次側電壓方程式 $v_2(t)$

理想變壓器兩側電壓瞬時值與圈數成正比： $\frac{v_1(t)}{v_2(t)} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{5}$ 將題目給定之 $v_1(t) = 155.5\sin\left(377t + \frac{\pi}{4}\right)\text{ V}$ 代入： $v_2(t) = \frac{n_2}{n_1} v_1(t) = 5 \times 155.5\sin\left(377t + \frac{\pi}{4}\right)$ $v_2(t) = 777.5\sin\left(377t + \frac{\pi}{4}\right)\text{ V}$ 亦可表為角度制： $v_2(t) = 777.5\sin(377t + 45^\circ)\text{ V}$

(二) 二次側電流之均方根值 $I_{2,\text{rms}}$

1. 計算二次側電壓之均方根值（有效值）$V_{2,\text{rms}}$： $V_{2,\text{rms}} = \frac{V_{2m}}{\sqrt{2}} = \frac{777.5}{\sqrt{2}} = 5 \times \frac{155.5}{\sqrt{2}}\text{ V}$ 由於國考標準弦波電壓峰值常取 $110\sqrt{2} \approx 155.56 \approx 155.5\text{ V}$，可得： $\frac{155.5}{\sqrt{2}} \approx 110\text{ V} \implies V_{2,\text{rms}} = 5 \times 110 = 550\text{ V}$
2. 二次側負載為純電阻 $R_L = 55\,\Omega$，根據歐姆定律求得二次側電流有效值： $I_{2,\text{rms}} = \frac{V_{2,\text{rms}}}{R_L} = \frac{550\text{ V}}{55\,\Omega} = 10\text{ A}$

(三) 負載的功率 $P_L$

負載為純電阻，電壓與電流同相位，功率因數 $\cos\theta = 1$： $P_L = I_{2,\text{rms}}^2 \times R_L = (10)^2 \times 55 = 100 \times 55 = 5500\text{ W} = 5.5\text{ kW}$

核心觀念

本題考查線性直流電機（Linear DC Machine）​的基本運作原理，為直流電動機與發電機核心觀念的一維線性展現。涉及的物理定義與公式如下：

1. 法拉第電磁感應定律（動生電動勢／反電動勢）： 導體棒以速度 $v$ 切割磁場時，產生的感應電動勢大小為： $e_{\mathrm{ind}} = B l v$ 其中 $B$ 為磁通密度（$\mathrm{T}$），$l$ 為軌道間距即有效長度（$\mathrm{m}$），$v$ 為導體移動速度（$\mathrm{m/s}$）。依冷次定律，其方向阻礙電流增加（反電動勢）。

2. 電樞電路克希荷夫電壓定律（KVL）： 電機電樞迴路滿足： $V_{\mathrm{dc}} - i R_s - e_{\mathrm{ind}} = 0 \implies i = \frac{V_{\mathrm{dc}} - e_{\mathrm{ind}}}{R_s}$

3. 勞侖茲力／安培力（電磁驅動力）： 載流導線在磁場中所受的電磁力大小為： $F_{\mathrm{ind}} = i l B$ 方向由右手開掌定則（或右手定則 $\vec{F} = i(\vec{l} \times \vec{B})$）決定，此題中由電源驅動向右加速。

4. 牛頓運動定律與穩態條件： 金屬棒運動方程式為： $F_{\mathrm{net}} = m \frac{dv}{dt} = F_{\mathrm{ind}} - F_{\mathrm{ext}}$ 當速度達到穩定時，加速度 $\frac{dv}{dt} = 0$，受力達動態平衡： $\sum F = 0 \implies F_{\mathrm{ind}} = F_{\mathrm{ext}}$

解題方法

(一) 開關導通瞬間流過金屬棒的電流

1. 初始狀態分析： 在開關導通瞬間（$t = 0^+$），金屬棒尚未移動，速度 $v = 0\,\mathrm{m/s}$。
2. 反電動勢計算： $e_{\mathrm{ind}} = B l v = 0.2 \times 10 \times 0 = 0\,\mathrm{V}$
3. 電樞迴路電流計算： 根據 KVL，瞬間電流全部由外加直流電壓與電阻決定： $i_{\mathrm{start}} = \frac{V_{\mathrm{dc}} - e_{\mathrm{ind}}}{R_s} = \frac{100 - 0}{0.5} = 200\,\mathrm{A}$

(二) 當金屬棒移動速度穩定時，金屬棒的移動速度

1. 穩態受力平衡分析： 題目說明「忽略摩擦損失」，且無施加任何外力（空載運行），故外力 $F_{\mathrm{ext}} = 0\,\mathrm{N}$。 當速度穩定時，加速度為零，故合力為零： $F_{\mathrm{net}} = F_{\mathrm{ind}} = i l B = 0\,\mathrm{N}$ 因為 $B \neq 0$ 且 $l \neq 0$，故穩態電流： $i = 0\,\mathrm{A}$
2. 反電動勢與穩態速度計算： 當迴路電流降為零時，感應反電動勢等於直流電源電壓： $e_{\mathrm{ind}} = V_{\mathrm{dc}} - i R_s = 100 - (0 \times 0.5) = 100\,\mathrm{V}$ 由反電動勢公式求穩態速度 $v_{\mathrm{nl}}$： $v_{\mathrm{nl}} = \frac{e_{\mathrm{ind}}}{B l} = \frac{100}{0.2 \times 10} = \frac{100}{2} = 50\,\mathrm{m/s}\quad (\text{方向向右})$

(三) 若對金屬棒施予 $20\,\mathrm{N}$ 向左的外力，求穩態時的電流、兩端電壓與速度

1. 受力平衡求穩態電流：

核心觀念

本題評量三相同步發電機在對稱負載運轉時的相量分析與機電能量轉換計算，核心觀念涵蓋以下三項：

1. 同步發電機相量方程式與電氣模型： 同步發電機每相之感應內部電壓（激磁電壓）$\mathbf{E}_A$ 與端電壓 $\mathbf{V}_\phi$、電樞電流 $\mathbf{I}_A$ 及同步阻抗 $\mathbf{Z}_S = R_A + jX_S$ 之關係為： $\mathbf{E}_A = \mathbf{V}_\phi + \mathbf{I}_A (R_A + jX_S)$ 其中，內部電壓 $\mathbf{E}_A$ 超前相端電壓 $\mathbf{V}_\phi$ 的夾角稱為功率角（負載角） $\delta$。

2. 同步轉速與機械角速度： 發電機之同步轉速 $n_s$ 由系統頻率 $f$ 與磁極數 $P$ 決定： $n_s = \frac{120f}{P}\quad (\mathrm{rpm}), \qquad \omega_m = \frac{2\pi n_s}{60}\quad (\mathrm{rad/s})$

3. 機電轉換功率與感應轉矩： 感應轉矩（電磁轉矩）$\tau_{\mathrm{ind}}$ 為轉子轉換至電樞之電磁功率 $P_{\mathrm{conv}}$ 與機械角速度 $\omega_m$ 之比值： $\tau_{\mathrm{ind}} = \frac{P_{\mathrm{conv}}}{\omega_m}$ 若依題意忽略各項旋轉損耗、鐵損與銅損，則輸入機械功率、內部電磁轉換功率與輸出電功率相等： $P_{\mathrm{in}} = P_{\mathrm{conv}} = P_{\mathrm{out}} = \sqrt{3}V_L I_L \cos\theta$

解題方法

(一) 求每相內部電壓 $E_A$ 與功率角 $\delta$

1. 決定基準相量與電氣參數： 發電機為 Y 連接，線端電壓 $V_L = 380\,\mathrm{V}$。 取每相端電壓 $\mathbf{V}_\phi$ 為參考相量（相角為 $0^\circ$）： $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}} = \frac{380}{\sqrt{3}} \approx 219.39\,\mathrm{V} \implies \mathbf{V}_\phi = 219.39\angle 0^\circ\,\mathrm{V}$

2. 表示電樞電流相量： 負載電流 $I_A = 15\,\mathrm{A}$，功率因數 $\cos\theta = 0.8$ 落後（Lagging），即電流相位落後端電壓 $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ$： $\mathbf{I}_A = 15\angle -36.87^\circ\,\mathrm{A} = 15(0.8 - j0.6) = (12 - j9)\,\mathrm{A}$

3. 計算同步阻抗壓降： 同步阻抗 $\mathbf{Z}_S = R_A + jX_S = (0.3 + j2)\,\Omega$。 電樞阻抗壓降為： $\mathbf{I}_A \mathbf{Z}_S = (12 - j9)(0.3 + j2) = [12(0.3) - (-9)(2)] + j[12(2) + (-9)(0.3)]$ $\mathbf{I}_A \mathbf{Z}_S = (3.6 + 18) + j(24 - 2.7) = (21.6 + j21.3)\,\mathrm{V}$

4. 求內部電壓相量 $\mathbf{E}_A$ 與功率角 $\delta$： $\mathbf{E}_A = \mathbf{V}_\phi + \mathbf{I}_A \mathbf{Z}_S = 219.39 + (21.6 + j21.3) = (240.99 + j21.3)\,\mathrm{V}$ 轉換為極座標型式： $|\mathbf{E}_A| = \sqrt{240.99^2 + 21.3^2} = \sqrt{58076.18 + 453.69} = \sqrt{58529.87} \approx 241.93\,\mathrm{V}$

核心觀念

本題評量三相感應電動機之運轉特性分析，涵蓋轉速、頻率及功率轉換三大核心物理機制：

1. 同步轉速與轉差率：

• 同步轉速由定子電源頻率 $f$ 與極數 $P$ 決定： $n_s = \frac{120 f}{P}$
• 轉差率定義為 $s = \frac{n_s - n_r}{n_s}$，轉子轉軸轉速為 $n_r = (1 - s)n_s$。

2. 轉子感應電壓之頻率：

• 轉子繞組感應電勢之頻率與轉差率成正比： $f_r = s \cdot f$

3. 線性運轉區之轉矩與轉差率關係：

• 感應電動機在正常負載運轉範圍（低轉差率區間），轉矩與轉差率近似成正比（$T \propto s$）。

4. 功率轉換平衡關係：

• 氣隙功率 $P_{ag}$、轉子銅損 $P_{cu2}$ 與機電轉換功率 $P_{conv}$ 滿足比例關係： $P_{ag} : P_{cu2} : P_{conv} = 1 : s : (1 - s)$
• 三相機電轉換功率表示式為： $P_{conv} = 3 I_2^2 R_2 \left(\frac{1 - s}{s}\right)$ 在題目未給定旋轉損耗（摩擦損、風阻損）之情況下，轉軸輸出功率 $P_{out} \approx P_{conv}$。

解題方法

(一) 求轉差率與轉軸轉速

1. 求操作點之轉差率 $s$： 感應電動機在正常運轉範圍內，轉矩與轉差率成正比關係（$T \propto s$）。題目指出最大轉矩發生在 $s_{max} = 0.12$，額定轉矩發生在 $s_{rated} = 0.06$，兩者轉差率比例 $\frac{0.12}{0.06} = 2$，恰等於最大轉矩為額定轉矩 2 倍的條件，呈現線性比例設定。 因此，當負載轉矩為額定轉矩之一半（$T = 0.5 T_{rated}$）時，其運轉轉差率為： $s = \frac{1}{2} s_{rated} = 0.5 \times 0.06 = 0.03$

2. 求同步轉速 $n_s$： 代入極數 $P = 4$、電源頻率 $f = 50\,\mathrm{Hz}$： $n_s = \frac{120 \times 50}{4} = 1500\,\mathrm{rpm}$

3. 求轉軸轉速 $n_r$： $n_r = (1 - s) n_s = (1 - 0.03) \times 1500 = 0.97 \times 1500 = 1455\,\mathrm{rpm}$

(二) 求轉子電壓頻率

轉子感應電壓頻率 $f_r$ 為轉差率與定子電源頻率之乘積： $f_r = s \cdot f = 0.03 \times 50\,\mathrm{Hz} = 1.5\,\mathrm{Hz}$

(三) 求轉子的繞線電流

1. 建立功率關係式： 題目給定轉軸輸出功率 $P_{out} = 6\,\mathrm{kW} = 6000\,\mathrm{W}$。因題目未提供機械旋轉損耗，依慣例視機電轉換功率等於轉軸輸出功率，即 $P_{conv} = P_{out} = 6000\,\mathrm{W}$。

2. 利用機電轉換功率求解轉子每相電流 $I_2$： 三相轉子轉換為機械動能之總功率為： $P_{conv} = 3 I_2^2 R_2 \left(\frac{1 - s}{s}\right)$