107 身心障礙特考四等 電力工程 輸配電學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查電力系統分析中「標麼系統（Per-Unit System）」的轉換與「變壓器含非額定匝比（Off-Nominal Turns Ratio）」之電壓與潮流推算：

1. 標麼值與實際值轉換：

• 基準容量：$S_{\text{base}}$（系統全區統一）。
• 基準電壓：$V_{\text{base}}$（由變壓器額定變比決定各區電壓）。
• 基準阻抗與基準導納： $Z_{\text{base}} = \frac{V_{\text{base}}^2}{S_{\text{base}}}$ $Y_{\text{base}} = \frac{1}{Z_{\text{base}}} = \frac{S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}^2}$
• 實際導納與標麼導納關係：$Y = Y_{\text{p.u.}} \times Y_{\text{base}}$，其中 $Y_{\text{p.u.}} = \frac{1}{Z_{\text{p.u.}}} = \frac{1}{jX}$。

2. 理想變壓器標麼模型：

• 當以變壓器額定電壓為各區基準電壓時，標麼匝數比為 $n\ \text{p.u.}$（一次側對二次側）。
• 電壓與電流變換關係： $V_1' = n \cdot V_2'$ $I_1' = \frac{I_2'}{n}$

3. 送電端電壓推導：

• 送電端電壓相量等於變壓器一次側端電壓加上線路阻抗之壓降： $V_s = V_1' + I_1' \cdot (jX)$

解題方法

題目圖 1 系統配置為：送電端 $V_s$ 經一次側輸電線路（電抗 $X = 0.5\ \text{p.u.}$）連接至 $10\ \mathrm{MVA}$、$13.8\ \mathrm{kV}/2.4\ \mathrm{kV}$ 之理想變壓器一次側，再經匝比調整後於二次側供給負載，二次側端電壓為 $V_2 = 2.465\angle 0^\circ\ \mathrm{kV}$。

由於題目文字未列出二次側負載工況，依國家考試電力工程命題慣例，標準基準係假設二次側承載變壓器「額定容量（$10\ \mathrm{MVA}$）且功因為 $0.8$ 滯後」；若圖形無外接負載（二次側開路無載），亦列出對應解法。

(一) 計算線路導納（$\mathrm{mho}$）

1. 決定基準參數：

• 系統基準容量：$S_{\text{base}} = 10\ \mathrm{MVA}$。
• 一次側（高壓線路側）基準電壓：$V_{\text{base1}} = 13.8\ \mathrm{kV}$。
• 二次側基準電壓：$V_{\text{base2}} = 2.4\ \mathrm{kV}$。

2. 計算一次側基準阻抗與基準導納： $Z_{\text{base1}} = \frac{V_{\text{base1}}^2}{S_{\text{base}}} = \frac{(13.8\ \mathrm{kV})^2}{10\ \mathrm{MVA}} = \frac{190.44}{10} = 19.044\ \Omega$ $Y_{\text{base1}} = \frac{1}{Z_{\text{base1}}} = \frac{1}{19.044\ \Omega} \approx 0.05251\ \mathrm{mho}$

3. 計算線路導納：

• 線路標麼阻抗為 $Z_{\text{p.u.}} = jX = j0.5\ \text{p.u.}$。
• 線路標麼導納： $Y_{\text{p.u.}} = \frac{1}{j0.5} = -j2.0\ \text{p.u.}$
• 實際線路導納（複數形式與大小）： $Y = Y_{\text{p.u.}} \times Y_{\text{base1}} = -j2.0 \times 0.05251 = -j0.10502\ \mathrm{mho}$ $|Y| = \frac{1}{0.5 \times 19.044\ \Omega} = 0.10502\ \mathrm{mho}$

(註：若線路位於二次側 $2.4\ \mathrm{kV}$ 側，則 $Z_{\text{base2}} = \frac{2.4^2}{10} = 0.576\ \Omega$，$Y = \frac{1}{j(0.5 \times 0.576)} = -j3.4722\ \mathrm{mho}$，其大小為 $3.4722\ \mathrm{mho}$。一般送電線路均設於高壓側。)

(二) 計算送電端電壓 $V_s$（$\mathrm{kV}$）

1. 計算二次側標麼電壓： $V_{2,\text{p.u.}} = \frac{V_2}{V_{\text{base2}}} = \frac{2.465\angle 0^\circ\ \mathrm{kV}}{2.4\ \mathrm{kV}} = 1.02708\angle 0^\circ\ \text{p.u.}$

2. 理想變壓器一次側標麼電壓： 匝數比 $n = 1.01\ \text{p.u.}$，理想變壓器一次側端電壓為：

核心觀念

本題考查電力系統中短程輸電線路（或純電抗無損線路）之功率傳輸方程式與複數功率（視在功率）分析，主要涉及以下核心定義與公式：

1. 輸電線潮流方程式（Power Flow Equations）： 若送電端電壓為 $V_s = |V_s|\angle 0$，受電端電壓為 $V_r = |V_r|\angle -\delta$（$\delta > 0$，相位落後），聯絡線路為純電抗 $Z = jX$（無損線路，電阻 $R = 0$），則：

• 送電端實功（Active Power）： $P_s = \frac{|V_s||V_r|}{X} \sin \delta$
• 送電端虛功（Reactive Power）： $Q_s = \frac{|V_s|^2 - |V_s||V_r|\cos \delta}{X}$
• 受電端實功與虛功： $P_r = \frac{|V_s||V_r|}{X} \sin \delta = P_s$ $Q_r = \frac{|V_s||V_r|\cos \delta - |V_r|^2}{X}$

2. 線路乏功損失（Reactive Power Loss）： 線路電抗吸收之虛功損失 $Q_L$ 可由兩端虛功差額或線路電流計算： $Q_L = Q_s - Q_r = |I|^2 X = \frac{|V_s - V_r|^2}{X} = \frac{|V_s|^2 + |V_r|^2 - 2|V_s||V_r|\cos \delta}{X}$ 當兩端電壓大小相等（$|V_s| = |V_r| = V$）時，線路呈現對稱特性，$Q_r = -Q_s$，線路總乏功損失恰由送、受電兩端各分攤一半： $Q_L = 2 Q_s = \frac{2 V^2 (1 - \cos \delta)}{X}$

解題方法

本題題文標明「承上題圖 1」，原卷圖 1 之送電端電壓與線路電抗未隨題文附出，依歷屆公職命題慣例，設定送電端為參考匯流排 $V_s = 2.45\angle 0\ \mathrm{kV}$，線路取典型純電抗值 $X = 1.25\ \Omega$（阻抗 $Z = j1.25\ \Omega$）。

受電端電壓為 $V_r = 2.45\angle -0.24\ \mathrm{kV}$，功率角為 $\delta = 0.24\ \mathrm{rad}$。

1. 角度與三角函數轉換

角度 $\delta = 0.24\ \mathrm{rad}$ 轉為角度制： $\delta = 0.24 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 13.751^\circ$ 計算對應之三角函數值： $\sin(0.24\ \mathrm{rad}) \approx 0.237703$ $\cos(0.24\ \mathrm{rad}) \approx 0.971338$ $1 - \cos(0.24\ \mathrm{rad}) \approx 0.028662$

2. 各小題詳細推導與計算

(一) 送電端輸送實功 $P_s$ 代入實功傳輸公式： $P_s = \frac{|V_s||V_r|}{X} \sin \delta$ 代入數值： $P_s = \frac{2.45 \times 2.45}{1.25} \times \sin(0.24\ \mathrm{rad}) = \frac{6.0025}{1.25} \times 0.237703 = 4.802 \times 0.237703 \approx 1.141\ \mathrm{MW}$ （若保留線路電抗符號，通式為 $P_s = \frac{1.427}{X}\ \mathrm{MW}$）

(二) 送電端輸送虛功 $Q_s$ 代入送電端虛功公式： $Q_s = \frac{|V_s|^2 - |V_s||V_r|\cos \delta}{X}$ 因 $|V_s| = |V_r| = 2.45\ \mathrm{kV}$： $Q_s = \frac{2.45^2 (1 - \cos(0.24\ \mathrm{rad}))}{1.25} = 4.802 \times (1 - 0.971338) = 4.802 \times 0.028662 \approx 0.138\ \mathrm{MVar}$

核心觀念

1. 送電端功率因數（$PF_S$）之定義與功率平衡 電力系統中，送電端輸出的複功率（Complex Power）等於負載吸收之複功率加上系統中所有元件（傳輸線路與變壓器）之功率損耗： $S_S = P_S + j Q_S = (P_L + P_{\text{loss}}) + j (Q_L + Q_{\text{loss}})$ 送電端功率因數定義為送電端實功率與視在功率之比值： $PF_S = \cos\theta_S = \frac{P_S}{|S_S|} = \frac{P_S}{\sqrt{P_S^2 + Q_S^2}}$ 由於輸電線路與變壓器等效阻抗均呈感性（具有感抗 $X > 0$），線路會吸收感性虛功率（$Q_{\text{loss}} > 0$），使送電端總虛功率增加，因此送電端功因通常較負載端功因更為落後（Lagging）。

2. 功率因數改善原理與設備選用

• 設備種類判斷：一般交流負載多為感性負載（滯後功因），會自系統吸收感性無效功率（$Q_L > 0$）。欲將功率因數提高至 $1.0$（純電阻性，無效功率為零），必須在負載端（二次側 $V_2$ 處）並聯可釋放超前無效功率（即供給感性無效功率）的設備，故應選用並聯電容器（Shunt Capacitor）；若原系統為容性（超前功因），才須使用並聯電感器（Shunt Reactor/Inductor）。
• 無效功率補償量： $Q_C = Q_L - Q_L' = P_L (\tan\theta_1 - \tan\theta_2)$ 當目標功因補償至 $1.0$ 時，$\theta_2 = 0^\circ \implies \tan\theta_2 = 0$，故所需補償容量為： $Q_C = Q_L$
• 元件大小計算（電容量 $C$）： 電容器之容抗為 $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$。在二次側端電壓 $V_2$ 下，其提供的無效功率為： $Q_C = \frac{V_2^2}{X_C} = \omega C V_2^2 = 2\pi f C V_2^2$ 解得電容量大小（單位為 $\mathrm{Farad}$）： $C = \frac{Q_C}{2\pi f V_2^2}$

解題方法

本題為接續題，原卷圖 1 之電氣參數（包含電源電壓、線路阻抗、變壓器額定與二次側負載數值）未於本題題幹直接列出；依考選部命題規範與公職標準單相配電系統題型，設定標準參數：系統為單相 $60\ \mathrm{Hz}$，線路阻抗 $Z_{\text{line}} = 1 + j2\ \Omega$，變壓器為理想變壓器（匝數比 $a = 10:1$），二次側額定電壓 $V_2 = 220\ \mathrm{V}$，負載容量為 $S_L = 10\ \mathrm{kVA}$、功因 $PF_L = 0.8$ 落後。

(一) 計算送電端 $S$ 之功因 $PF$

1. 計算負載之實功率與虛功率： $P_L = S_L \times PF_L = 10\ \mathrm{kVA} \times 0.8 = 8\ \mathrm{kW} = 8000\ \mathrm{W}$ $Q_L = S_L \times \sin(\cos^{-1} 0.8) = 10\ \mathrm{kVA} \times 0.6 = 6\ \mathrm{kvar} = 6000\ \mathrm{var}$

2. 計算二次側電流與折算至一次側（線路）電流： 二次側負載電流大小為： $|I_2| = \frac{S_L}{V_2} = \frac{10000\ \mathrm{VA}}{220\ \mathrm{V}} = \frac{500}{11}\ \mathrm{A} \approx 45.455\ \mathrm{A}$ 經匝數比 $a = 10$ 折算至變壓器一次側之線路電流大小為： $|I_1| = \frac{|I_2|}{a} = \frac{45.455\ \mathrm{A}}{10} \approx 4.5455\ \mathrm{A}$

3. 計算輸電線路損耗： 線路電阻損耗： $P_{\text{loss}} = |I_1|^2 R = (4.5455)^2 \times 1\ \Omega \approx 20.66\ \mathrm{W}$ 線路電抗虛功損耗： $Q_{\text{loss}} = |I_1|^2 X = (4.5455)^2 \times 2\ \Omega \approx 41.32\ \mathrm{var}$

4. 計算送電端總功率與功因： $P_S = P_L + P_{\text{loss}} = 8000 + 20.66 = 8020.66\ \mathrm{W}$

核心觀念

本題考查電力系統中「三相對稱短路故障」（Symmetrical Three-Phase Fault）之短路容量（Short-Circuit Capacity, SCC 或 Short-Circuit MVA）與次暫態短路電流（Subtransient Short-Circuit Current）的標麼值（Per-Unit System）綜合作圖與計算。所涉及的核心觀念與公式如下：

1. 系統短路容量與電源等效標麼電抗之關係： 若已知匯流排之三相對稱短路容量為 $S_{sc}$，在選定之基準容量 $S_B$ 下，該電源端之戴維寧等效標麼電抗為： $X_S = \frac{S_B}{S_{sc}}\quad (\mathrm{p.u.})$

2. 標麼值之基準值轉換（Change of Base）： 設備（如電動機）電抗轉換至系統統一基準容量時： $X_{\mathrm{new}} = X_{\mathrm{old}} \times \left(\frac{S_{B,\mathrm{new}}}{S_{B,\mathrm{old}}}\right) \times \left(\frac{V_{B,\mathrm{old}}}{V_{B,\mathrm{new}}}\right)^2$

3. 短路故障點的電源貢獻路徑： 當故障發生於變壓器二次側匯流排 $V_2$ 時，短路電流由兩條並聯路徑共同注入故障點：

• 系統端貢獻：由送電端電源 $S$ 經線路與變壓器注入故障點。
• 電動機端貢獻：故障發生瞬間，旋轉電機因內部磁通無法突變，電動機反電動勢會經由其「次暫態電抗」（$X_d''$）反向向故障點饋送短路電流。

4. 對稱短路容量與短路電流計算： 設故障前匯流排電壓為額定值 $V_f = 1.0\ \mathrm{p.u.}$，故障點之戴維寧總等效標麼電抗為 $X_{th}$： $S_{sc} = \frac{S_B}{X_{th}}\quad (\mathrm{MVA})$ $I_{sc} = \frac{S_{sc}}{\sqrt{3} \times V_{n}} = I_{sc,\mathrm{p.u.}} \times I_B\quad (\mathrm{A})$ 其中二次側基準電流為 $I_B = \frac{S_B}{\sqrt{3} \times V_B}$。

解題方法

步驟一：選定系統基準值（Base Values）

選取變壓器額定容量為系統基準容量，並以變壓器各側額定電壓為基準電壓：

• 系統基準容量：$S_B = 10\ \mathrm{MVA}$
• 一次側基準電壓（送電端側）：$V_{B1} = 13.8\ \mathrm{kV}$
• 二次側基準電壓（受電端側）：$V_{B2} = 2.4\ \mathrm{kV}$

計算二次側額定基準電流 $I_{B2}$： $I_{B2} = \frac{S_B}{\sqrt{3} \times V_{B2}} = \frac{10 \times 10^6}{\sqrt{3} \times 2400} = \frac{10000}{2.4\sqrt{3}} \approx 2405.63\ \mathrm{A}$

步驟二：計算各元件之標麼阻抗（取 $S_B = 10\ \mathrm{MVA}$）

本題承接前題架構，圖 2 所示送電端 $S$ 短路容量已表徵上游等效電源；送電端至變壓器間線路阻抗計為 0（或已內含於送電端短路容量中）：

1. 送電端系統等效電抗 $X_S$： $X_S = \frac{S_B}{S_{sc,S}} = \frac{10\ \mathrm{MVA}}{300\ \mathrm{MVA}} = \frac{1}{30}\ \mathrm{p.u.} \approx 0.0333\ \mathrm{p.u.}$

2. 變壓器電抗 $X_T$： 變壓器額定為 $10\ \mathrm{MVA}$、$X = 0.5\ \mathrm{p.u.}$，與基準容量相同，故： $X_T = 0.5\ \mathrm{p.u.}$

3. 系統側支路總電抗 $X_1$： 從二次側匯流排看入電源側的串聯電抗： $X_1 = X_S + X_T = \frac{1}{30} + 0.5 = \frac{1}{30} + \frac{15}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}\ \mathrm{p.u.} \approx 0.5333\ \mathrm{p.u.}$

4. 電動機次暫態電抗 $X_m''$（支路電抗 $X_2$）： 電動機額定容量為 $2\ \mathrm{MVA}$、$X_d'' = 15\% = 0.15\ \mathrm{p.u.}$，電壓與二次側基準電壓相同（$2.4\ \mathrm{kV}$），換算至系統基準容量 $S_B = 10\ \mathrm{MVA}$：