114 身心障礙特考四等 經建行政類科 統計學概要 考古題詳解

114 年・身心障礙特考・四等・經建行政類科
試題代碼 統計學概要

第 一 題25 分

某食品廠商開發新口味的餅乾，想調查消費者每體對此餅乾的滿意分數（1 到 10 分）。隨機抽樣 3600 位消費者樣本，滿意分數的平均數是 6、標準差是 0.5。試回答下列問題：

(一) 在上述 3600 位消費者中，滿意分數介於 4.5 到 7.5 之間的人數至少有幾位？（5 分）

(二) 令上述調查的滿意分數隨機變數為 XX，若要將滿意分數轉換為 Y=aX+bY=aX+b，使得 YY 的平均數為 60、標準差為 10。試求 aa、bb 之值為何？（5 分）

(三) 試估計每體滿意分數的 95% 信賴區間？（10 分）

(四) 在 α=0.05\alpha=0.05 顯著水準下，欲檢定母體滿意分數是否為 8。請寫出虛無假設（null hypothesis）和對立假設（alternative hypothesis），並請根據 95% 信賴區間，說明檢定結果。（5 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查切比雪夫不等式、線性轉換後的平均數與標準差、母體平均數的信賴區間，以及以信賴區間進行雙尾檢定。樣本數為 n=3600n=3600，樣本平均數 xˉ=6\bar{x}=6，樣本標準差 s=0.5s=0.5。

解題方法

（一）滿意分數介於 4.54.5 到 7.57.5 的人數至少幾位

區間 [4.5,7.5][4.5,7.5] 以平均數 66 為中心，兩端距離平均數都是 1.51.5。換算成標準差單位：

k=1.50.5=3k=\frac{1.5}{0.5}=3

依切比雪夫不等式，距離平均數不超過 kk 個標準差的觀測值比例至少為：

1−1k2=1−132=891-\frac{1}{k^2} =1-\frac{1}{3^2} =\frac{8}{9}

因此至少有：

3600×89=32003600\times\frac{8}{9}=3200

位消費者的滿意分數介於 4.54.5 到 7.57.5 之間。

（二）求線性轉換 Y=aX+bY=aX+b

線性轉換的平均數與標準差分別為：

E(Y)=aE(X)+b,SD(Y)=∣a∣SD(X)E(Y)=aE(X)+b,\qquad SD(Y)=|a|SD(X)

由 SD(Y)=10SD(Y)=10、SD(X)=0.5SD(X)=0.5 得：

∣a∣(0.5)=10⟹∣a∣=20|a|(0.5)=10 \quad\Longrightarrow\quad |a|=20

通常分數轉換採正向尺度，即 a>0a>0，故 a=20a=20。再由 E(Y)=60E(Y)=60：

20(6)+b=60⟹b=−6020(6)+b=60 \quad\Longrightarrow\quad b=-60

所以 a=20, b=−60a=20,\ b=-60。若不限定轉換方向，另一組也符合條件：a=−20, b=180a=-20,\ b=180；但一般採用正向轉換。

（三）估計母體平均滿意分數的 95% 信賴區間

樣本數很大，可用標準常態分配的臨界值 z0.975=1.96z_{0.975}=1.96。平均數的標準誤為：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題25 分

假設某校國小五、六年級學生的體重皆為常態分配，且已知變異數亦皆為 8。今隨機抽取五、六年級學生各 12 名，學生的體重資料如下：

五年級：46、49、55、50、57、45、55、52、57、44、63、51

六年級：50、56、52、53、56、65、67、49、61、54、56、53

試回答下列問題：

(一) 五、六年級學生體重平均數（mean）為何？（5 分）

(二) 五、六年級體重資料合併後，該資料的眾數（mode）為何？（5 分）

(三) 某研究者認為該校五、六年級學生的平均體重有顯著差異，請寫出假設檢定。（5 分）

(四) 在 α=0.05\alpha=0.05 下，檢定五、六年級學生的平均體重是否有顯著差異，請寫出過程和結果。（10 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查樣本平均數、眾數，以及兩獨立常態母體平均數差異的檢定。題目已知五、六年級母體變異數皆為 88，因此檢定平均數差異時採用兩母體變異數已知的雙尾 ZZ 檢定。

解題方法與計算

（一）五、六年級學生體重平均數

樣本平均數公式為：

xˉ=∑xin\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}

五年級體重總和為 624624，樣本數為 1212：

xˉ5=62412=52\bar{x}_5=\frac{624}{12}=52

六年級體重總和為 672672，樣本數為 1212：

xˉ6=67212=56\bar{x}_6=\frac{672}{12}=56

因此，五年級平均體重為 5252，六年級平均體重為 5656。

（二）合併資料的眾數

將兩組共 2424 筆體重合併後，計算各數值出現次數。出現次數最多的數值均出現 22 次，分別為：

49, 50, 52, 53, 55, 56, 5749,\ 50,\ 52,\ 53,\ 55,\ 56,\ 57

因此，合併資料有多個眾數，以上七個數值皆為眾數。

（三）建立假設檢定

研究者主張五、六年級平均體重有顯著差異，因此採雙尾檢定：

H0:μ5−μ6=0H_0:\mu_5-\mu_6=0 H1:μ5−μ6≠0H_1:\mu_5-\mu_6\ne 0

其中 μ5\mu_5、μ6\mu_6 分別代表五年級及六年級學生的母體平均體重。

（四）在 α=0.05\alpha=0.05 下進行檢定

母體變異數已知且兩組為獨立樣本，檢定統計量為：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題25 分

已知隨機變數 XX、YY 的聯合機率分配如下表：

X\YX\backslash YY=0Y=0Y=1Y=1
X=2X=2118\frac{1}{18}218\frac{2}{18}
X=4X=4218\frac{2}{18}418\frac{4}{18}
X=6X=6318\frac{3}{18}618\frac{6}{18}

試回答下列問題：

(一) 隨機變數 XX 的機率密度函數為何？（5 分）

(二) P(X=2∣Y=0)P(X=2\mid Y=0) 之值為何？（5 分）

(三) P(X=6∩Y=1)P(X=6\cap Y=1) 之值為何？（5 分）

(四) 請問隨機變數 XX、YY 是否獨立？請說明理由。（10 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查：

  • 聯合機率分配表。
  • 邊際機率分配： P(X=x)=∑yP(X=x,Y=y)P(X=x)=\sum_y P(X=x,Y=y)
  • 條件機率： P(X=x∣Y=y)=P(X=x,Y=y)P(Y=y)P(X=x\mid Y=y)=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}
  • 隨機變數獨立的判定： P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)

題目所稱「機率密度函數」因 XX 為離散型隨機變數，嚴格而言應稱為「機率質量函數」。

解題方法與計算

（一）求 XX 的機率分配

將聯合機率表中同一個 XX 值的各列機率加總。

當 X=2X=2：

P(X=2)=118+218=318=16P(X=2)=\frac{1}{18}+\frac{2}{18} =\frac{3}{18}=\frac{1}{6}

當 X=4X=4：

P(X=4)=218+418=618=13P(X=4)=\frac{2}{18}+\frac{4}{18} =\frac{6}{18}=\frac{1}{3}

當 X=6X=6：

P(X=6)=318+618=918=12P(X=6)=\frac{3}{18}+\frac{6}{18} =\frac{9}{18}=\frac{1}{2}

因此，XX 的機率質量函數為

fX(x)=P(X=x)={16,x=2,13,x=4,12,x=6,0,其他.f_X(x)=P(X=x)= \begin{cases} \dfrac{1}{6}, & x=2,\\[4pt] \dfrac{1}{3}, & x=4,\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & x=6,\\[4pt] 0, & \text{其他}. \end{cases}

驗算：

16+13+12=1\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=1

（二）求 P(X=2∣Y=0)P(X=2\mid Y=0)

先求 Y=0Y=0 的邊際機率：

P(Y=0)=118+218+318=618=13P(Y=0)=\frac{1}{18}+\frac{2}{18}+\frac{3}{18} =\frac{6}{18}=\frac{1}{3}

因此：

P(X=2∣Y=0)=P(X=2,Y=0)P(Y=0)=11813=16P(X=2\mid Y=0) =\frac{P(X=2,Y=0)}{P(Y=0)} =\frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{3}} =\frac{1}{6}

（三）求 P(X=6∩Y=1)P(X=6\cap Y=1)

符號 X=6∩Y=1X=6\cap Y=1 表示事件「X=6X=6 且 Y=1Y=1」，直接讀取聯合機率表：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

某公司人力部門認為三種在職訓練的授課方式（演講、討論、實作），對員工學習滿意程度影響有差異。以獨立樣本設計三種授課實驗後，員工學習滿意程度分數（1 至 10 分）和變異數分析摘要表如下。

組別人數學習滿意程度分數
演講83、4、2、5、3、4、2、4
討論66、8、6、8、7、8
實作69、8、6、8、8、8
來源平方和自由度平均平方和FF 值
組間83.0082cc40.223
組內aabbdd
總和100.55019

假設三組資料均服從常態分配且符合變異數同質性。試回答下列問題：

(一) 請算出三組的學習滿意程度分數平均數分別為何？（5 分）

(二) 請寫出虛無假設和對立假設。（5 分）

(三) 變異數分析表中，aa、bb、cc、dd 之值分別為何？（10 分）

(四) 在 α=0.05\alpha=0.05 顯著水準下，請檢定三種在職訓練的授課方式對員工學習滿意程度影響是否顯著差異？請寫出你的理由。（5 分）

F0.05(2,17)=3.5915F_{0.05}(2,17)=3.5915　F0.05(2,19)=3.5219F_{0.05}(2,19)=3.5219　F0.05(3,18)=3.1599F_{0.05}(3,18)=3.1599

F0.025(2,17)=4.6189F_{0.025}(2,17)=4.6189　F0.025(2,19)=4.5075F_{0.025}(2,19)=4.5075　F0.025(3,18)=3.9539F_{0.025}(3,18)=3.9539

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考單因子變異數分析（one-way ANOVA），用來檢定三種授課方式的母體平均滿意度是否相同。

設三種授課方式的母體平均數分別為 μ1,μ2,μ3\mu_1,\mu_2,\mu_3，其基本公式為：

F=組間平均平方和組內平均平方和=MSBMSWF=\frac{\text{組間平均平方和}}{\text{組內平均平方和}} =\frac{MS_B}{MS_W}

自由度：

dfB=k−1,dfW=N−kdf_B=k-1,\qquad df_W=N-k

其中 k=3k=3 組，N=20N=20 人。

(一) 三組平均數

演講組

Xˉ1=3+4+2+5+3+4+2+48=278=3.375\bar X_1=\frac{3+4+2+5+3+4+2+4}{8} =\frac{27}{8}=3.375

討論組

Xˉ2=6+8+6+8+7+86=436≈7.167\bar X_2=\frac{6+8+6+8+7+8}{6} =\frac{43}{6}\approx 7.167

實作組

Xˉ3=9+8+6+8+8+86=476≈7.833\bar X_3=\frac{9+8+6+8+8+8}{6} =\frac{47}{6}\approx 7.833

因此三組平均數為：

  • 演講：3.3753.375 分
  • 討論：7.1677.167 分
  • 實作：7.8337.833 分

(二) 假設

虛無假設 H0H_0

三種授課方式的母體平均滿意度相同：

H0:μ1=μ2=μ3H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3

對立假設 H1H_1

三種授課方式的母體平均滿意度不全相同：

H1:至少有一組母體平均數不同H_1:\text{至少有一組母體平均數不同}

注意：對立假設不是「三組平均數全部不同」，只要至少一組不同即可。

(三) 求 a,b,c,da,b,c,d

已知總樣本數為 N=20N=20，組數為 k=3k=3。

組內平方和 aa

平方和分解為：

SST=SSB+SSWSS_T=SS_B+SS_W

因此：

100.550=83.008+a100.550=83.008+a a=100.550−83.008=17.542a=100.550-83.008=17.542

組內自由度 bb

b=N−k=20−3=17b=N-k=20-3=17

組間平均平方和 cc

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題