115 一般警察特考二等 刑事警察人員類別犯罪分析組 數位訊號處理(DSP) 考古題詳解

核心觀念

複數指數傅立葉級數以 $e^{j\omega_0kt}$ 作為基底，其中 $\omega_0=2\pi/T$。利用不同基底在一個週期上的正交性，可以從級數中分離出特定索引 $k$ 的係數：

解題方法

（一）從傅立葉級數定義出發：

兩邊同乘 $e^{-j\omega_0kt}$，並在一個週期 $[0,T]$ 上積分：

交換加總與積分後：

當 $n=k$ 時，積分為 $T$。當 $n\ne k$ 時：

因為 $n-k$ 是非零整數，$e^{j2\pi(n-k)}=1$。因此加總中只留下 $n=k$ 的項：

除以 $T$，得到傅立葉係數公式：

（二）先利用三倍角恆等式展開訊號：

所以

核心觀念

移動平均濾波器是有限長度的線性時不變系統（LTI system），會將目前輸入樣本與前面 $M-1$ 個樣本等權平均。本題使用的基本關係為：

• 脈衝響應：$h[n]$ 是系統對單位脈衝 $\delta[n]$ 的輸出。
• 頻率響應：$H(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h[n]e^{-j\omega n}$。
• 複指數 $e^{j\omega n}$ 是 LTI 系統的特徵函數，輸出為 $H(e^{j\omega})e^{j\omega n}$。

解題方法

（一）脈衝響應 $h[n]$

令輸入為單位脈衝 $x[n]=\delta[n]$，代入系統定義：

當 $n=0,1,\ldots,M-1$ 時，和式中恰有一項為 $1$；其他 $n$ 則所有項皆為 $0$。因此：

亦可寫成：

（二）頻率響應 $H(e^{j\omega})$

由脈衝響應的離散時間傅立葉轉換：

這是等比級數。當 $e^{-j\omega}\neq 1$ 時，利用等比級數公式：

分子與分母各以半角形式整理：

所以頻率響應也可表示為：

此式在 $\omega=2\pi r$（$r$ 為整數）時呈現 $0/0$，須回到原始和式求值；此時 $H(e^{j\omega})=1$。

（三）$M=11$ 時使輸出為零的 $\omega$

輸入為 $x[n]=e^{j\omega n}$ 時，直接代入系統：

核心觀念

本題考查以差分方程式求系統函數，以及由系統函數的極點與留數求因果系統的脈衝響應。假設系統初始靜止，使用單邊或雙邊 $z$ 轉換時，延遲一個取樣的訊號對應為乘上 $z^{-1}$：

系統函數定義為零初始條件下的輸出與輸入之比：

解題方法

（一）求系統函數

對差分方程式

兩邊取 $z$ 轉換：

將 $Y(z)$ 項移到左側、$X(z)$ 項留在右側：

因此

題目要求以 $z$ 的正冪次方多項式表示，分子、分母同乘 $z^2$：

（二）求脈衝響應

先將系統函數改寫成便於部分分式展開的形式：

分母因式分解為

令 $p=e^{j\pi/3}$，則另一根為 $p^*=e^{-j\pi/3}$。將 $H(z)$ 寫成部分分式：

由留數計算

核心觀念

對實數序列，$x[n]\in\mathbb{R}$，其離散時間傅立葉轉換（DTFT）為

實數序列的 DTFT 具有共軛對稱性：

因此，正負頻率的頻譜大小相同，相位則互為相反數；相位敘述須以相位採用一致分支，且 $X(e^{j\omega})\neq 0$ 為前提。

（一）證明大小為偶函數、相位為奇函數

由定義，

因為 $x[n]$ 為實數，$x^*[n]=x[n]$，故

所以

取絕對值：

因此 $|X(e^{j\omega})|$ 對 $\omega$ 為偶函數。

令 $X(e^{j\omega})=|X(e^{j\omega})|e^{j\phi(\omega)}$。共軛會反轉相位符號，因此

從而

這就是相位的奇對稱性。相位是模 $2\pi$ 定義；若採主值相位，等式在相位不連續處應理解為模 $2\pi$，並需避開頻譜為零、相位未定義的點。

（二）驗證 $x[n]=0.5^n u[n]$

由於 $u[n]=1$（$n\ge 0$）、$u[n]=0$（$n<0$），所以

這是等比級數，公比大小為 $0.5<1$，故

令分母為 $a+jb$，其中 $a=1-0.5\cos\omega$、$b=0.5\sin\omega$。因 $a\ge 0.5>0$，分母不為零。故頻譜大小為