115 一般警察特考二等 刑事警察人員類別犯罪分析組 計算機數學(包括離散數學、機率與統計) 考古題詳解

核心觀念

裴蜀定理（Bezout’s Theorem）指出，整數 $a,b$ 的最大公因數可表示為 $sa+tb$，其中 $s,t$ 為整數。本題要用擴展歐幾里得算法，將 $\gcd(252,198)=18$ 逐步反推成 $252$ 與 $198$ 的整數線性組合。

解題方法

先以歐幾里得算法求餘數：

接著由最後一式開始反向代入：

核心觀念

中位數是將資料由小到大排列後，位於中央的數值。本題數列已排序；其中整數 $k$ 恰好出現 $k$ 次，因此先算總資料筆數，再找中央位置落在哪一組。

解題方法

總筆數為

因為 $465$ 是奇數，中位數是第

個數。

核心觀念

本題考查一階線性非齊次遞迴關係的求解。遞迴式為 $a_n=3a_{n-1}+1,\qquad a_0=1。$

可先求對應的齊次遞迴解，再尋找常數特解，最後利用初始條件決定常數。

解題方法

先將遞迴式改寫為 $a_n-3a_{n-1}=1。$

對應的齊次遞迴式為 $a_n^{(h)}=3a_{n-1}^{(h)},$ 其通解為 $a_n^{(h)}=C\cdot 3^n。$

由於非齊次項是常數，設常數特解為 $a_n^{(p)}=A$。代入原遞迴式： $A=3A+1,$ 因此 $A=-\frac{1}{2}。$

核心觀念

本題考二項式係數 $C(n,i)$ 的計算，以及依數值位數分類。由定義，

也可利用遞迴公式

由 $n=10$ 的係數逐列推得 $n=12$。此外，二項式係數具有對稱性：

因此，只要先算出中間幾項，就能快速確認兩側的係數。

解題方法

從題目給的 $C(10,i)$，依遞迴公式得到 $C(11,i)$：

再由 $C(12,i)=C(11,i-1)+C(11,i)$，逐項計算：

核心觀念

公平骰子的點數 $X$ 可能為 $1,2,3,4,5,6$，且每個點數的機率皆為 $\frac{1}{6}$。離散型隨機變數的期望值為各可能值乘上其機率後加總；變異數則可用 $\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ 計算。

解題方法

先計算期望值：

再計算平方的期望值：

核心觀念

每人相信自己曾見過 UFO 的機率為 $p=0.1$，不相信的機率為 $1-p=0.9$。隨機抽取 $10$ 人，視為彼此獨立且成功機率相同的伯努利試驗。令 $X$ 為相信自己曾見過 UFO 的人數，則

二項分配的機率質量函數為

其中 $\binom{10}{k}$ 表示從 $10$ 人中選出 $k$ 人的組合數。

解題方法

(一) 恰好有 $1$ 人相信自己看過 UFO：

因此，機率約為 $0.038742$，即 $3.8742\%$。

(二) 有 $2$ 到 $3$ 人相信自己看過 UFO，包含 $2$ 人與 $3$ 人兩種情形：

因此，機率約為 $0.193710$，即 $19.3710\%$。

(三) 題目寫「至少 3 個人以上（不含 3）」，依「不含 3」應解讀為超過 $3$ 人，即 $X>3$，也就是 $X\ge 4$。利用補事件計算較簡便：

核心觀念

每個元素只有「選入」或「不選入」兩種狀態，因此可用樹圖逐一列出所有子集合。空集合也算子集合，且其元素總和定義為 $0$。

解題方法

依序考慮是否選入 $3、7、9、11、24$。樹圖的每一條完整路徑，對應一個子集合；在每個分枝旁累加選入的元素，即可判斷總和是否小於 $28$。

先分別按是否選入 $24$ 計數：

• **不選入 $24$：**只需考慮 $\{3,7,9,11\}$。其所有元素總和為 $30$，而只有全選時總和不小於 $28$。這 $4$ 個元素共有 $2^4=16$ 種選法，因此符合條件的有 $16-1=15$ 個。

核心觀念

本題考查常態分配的標準化，以及標準常態分配表的使用。

將原始成績 $X$ 轉換為標準常態變數 $Z$ 的公式為：

其中：

• $\mu=50$
• $\sigma=10$
• $Z\sim N(0,1)$

題目所給的表不是累積機率表，而是「平均數 $0$ 到正的 $z$ 值之間的面積」：

標準常態分配具有左右對稱性，因此可利用表格計算負的 $z$ 值機率。

解題方法

（一）將成績換算成標準常態分配

代入 $\mu=50$、$\sigma=10$：

各分界成績換算如下：

因此：

例如，成績 $x=70$：

所以成績 $70$ 對應標準常態分配中的 $z=2$。

（二）計算死當與活當人數

由題目附表查得：

1. F 等級：死當

F 等級為：

即：

由標準常態分配的對稱性：

因此：