112 原住民特考三等 電力工程 電機機械 考古題詳解

112 年・原住民特考・三等・電力工程
試題代碼 電機機械

第 一 題

一個鐵芯磁路上繞有 100100 匝繞組，如圖一所示，鐵芯內磁通函數 ϕ(t)\phi(t) 如下式：

ϕ(t)=0.05sin⁡(377t) Wb\phi(t)=0.05\sin(377t)\ \mathrm{Wb}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 試計算瞬時感應電壓函數 v(t)。（15v(t)。（15 分）

(二) 試計算此感應電壓有效值與頻率。（1010 分）

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核心觀念

本題考查法拉第電磁感應定律。線圈的感應電壓為磁通鏈結對時間的負微分：

v(t)=−dλ(t)dtv(t)=-\frac{d\lambda(t)}{dt}

其中磁通鏈結為

λ(t)=Nϕ(t)\lambda(t)=N\phi(t)

題目給定匝數 N=100N=100，磁通量為

ϕ(t)=0.05sin⁡(377t) Wb\phi(t)=0.05\sin(377t)\ \text{Wb}

依圖一所示電壓極性，採用

v(t)=−Ndϕ(t)dtv(t)=-N\frac{d\phi(t)}{dt}

解題方法

先對磁通量微分：

dϕ(t)dt=0.05(377)cos⁡(377t)\frac{d\phi(t)}{dt} =0.05(377)\cos(377t)

因此

v(t)=−100×0.05×377cos⁡(377t)v(t) =-100\times 0.05\times 377\cos(377t)

整理得

v(t)=−1885cos⁡(377t) V\boxed{v(t)=-1885\cos(377t)\ \text{V}}

負號表示依照圖中所標示的上端為正、下端為負之電壓參考方向，實際感應電壓極性會隨時間變化，並與磁通量變化率呈反向關係。

感應電壓有效值

瞬時電壓為

v(t)=−1885cos⁡(377t) Vv(t)=-1885\cos(377t)\ \text{V}

其最大值為

Vmax⁡=1885 VV_{\max}=1885\ \text{V}

正弦波有效值為

Vrms=Vmax⁡2V_{\mathrm{rms}}=\frac{V_{\max}}{\sqrt{2}}

所以

Vrms=18852≈1332.9 VV_{\mathrm{rms}} =\frac{1885}{\sqrt{2}} \approx 1332.9\ \text{V}

因此

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第 二 題

一個兩極、三相交流發電機如圖二所示，轉子磁場磁通密度 B=0.2 TB=0.2\ \mathrm{T}，轉子轉速 3,600 rpm3{,}600\ \mathrm{rpm}。定子線圈直徑 0.5 m0.5\ \mathrm{m}，定子線圈長 0.3 m0.3\ \mathrm{m}，每一相繞組有 1515 匝，定子三相繞組為 Y 接線：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 試計算發電機的時域三相感應電壓函數 eaa′(t)e_{aa'}(t)、ebb′(t)e_{bb'}(t)、ecc′(t)e_{cc'}(t)。（1515 分）

(二) 試計算此發電機相電壓有效值、線電壓有效值、電氣頻率。（1010 分）

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核心觀念

本題考查三相交流發電機的感應電壓：

  • 轉速與電氣頻率的關係
  • 法拉第電磁感應定律
  • 感應電壓峰值
  • 三相對稱電壓的相位差
  • Y 接線時相電壓與線電壓的關係

圖二未標示轉子旋轉方向，因此三相電壓的正、負號及相序無法由圖形唯一決定。以下採用標準假設：轉子以逆時針方向旋轉，並以 abcabc 為正相序，且 eaa′(t)e_{aa'}(t) 定義為由 aa 端至 a′a' 端的感應電壓。

解題方法

1. 計算電氣頻率與角速度

發電機為兩極機，極對數為

p=1p=1

轉子轉速為

n=3600 rpmn=3600\ \mathrm{rpm}

因此機械轉速為

fm=360060=60 Hzf_m=\frac{3600}{60}=60\ \mathrm{Hz}

兩極機的電氣頻率為

f=fm=60 Hzf=f_m=60\ \mathrm{Hz}

電氣角速度為

ω=2πf=2π(60)=120π≈377 rad/s\omega=2\pi f=2\pi(60)=120\pi\approx 377\ \mathrm{rad/s}

2. 計算每匝最大磁通量

定子線圈的有效面積為線圈直徑乘以線圈長度：

A=0.5(0.3)=0.15 m2A=0.5(0.3)=0.15\ \mathrm{m^2}

最大磁通量為

Φmax⁡=BA=(0.2)(0.15)=0.03 Wb\Phi_{\max}=BA =(0.2)(0.15) =0.03\ \mathrm{Wb}

每一相繞組有 N=15N=15 匝，因此感應電壓峰值為

Emax⁡=NωΦmax⁡E_{\max}=N\omega\Phi_{\max}

代入數值：

Emax⁡=15(377)(0.03)≈169.65 VE_{\max} =15(377)(0.03) \approx169.65\ \mathrm{V}

取近似值：

Emax⁡≈170 VE_{\max}\approx170\ \mathrm{V}

3. 三相時域感應電壓

三相對稱電壓彼此相差 120∘120^\circ，因此：

eaa′(t)=Emax⁡sin⁡ωte_{aa'}(t)=E_{\max}\sin\omega t ebb′(t)=Emax⁡sin⁡(ωt−120∘)e_{bb'}(t)=E_{\max}\sin(\omega t-120^\circ) ecc′(t)=Emax⁡sin⁡(ωt+120∘)e_{cc'}(t)=E_{\max}\sin(\omega t+120^\circ)

代入 Emax⁡=169.65 VE_{\max}=169.65\ \mathrm{V} 與 ω=120π rad/s\omega=120\pi\ \mathrm{rad/s}：

eaa′(t)=169.65sin⁡(120πt) V\boxed{ e_{aa'}(t)=169.65\sin(120\pi t)\ \mathrm{V} } ebb′(t)=169.65sin⁡(120πt−120∘) V\boxed{ e_{bb'}(t)=169.65\sin(120\pi t-120^\circ)\ \mathrm{V} } ecc′(t)=169.65sin⁡(120πt+120∘) V\boxed{ e_{cc'}(t)=169.65\sin(120\pi t+120^\circ)\ \mathrm{V} }

其中 tt 的單位為秒。

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第 三 題

一部三相、2,300 V2{,}300\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、44 極、Y 接線感應電動機有下列等效定子側的單相等效電路參數，額定運轉的轉差率為 1%1\%，機械與鐵心等損失不計，激磁電抗 XMX_M 忽略。

R1=0.04 Ω,R2=0.04 Ω,X1=0.3 Ω,X2=0.3 ΩR_1=0.04\ \Omega,\quad R_2=0.04\ \Omega,\quad X_1=0.3\ \Omega,\quad X_2=0.3\ \Omega

(一) 計算啟動電流、啟動轉矩（N⋅m\mathrm{N\cdot m}）、啟動功率因數。（1010 分）

(二) 計算額定運轉時感應轉矩（N⋅m\mathrm{N\cdot m}）、額定轉速（rpm\mathrm{rpm}）、轉子感應電流頻率。（1515 分）

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核心觀念

忽略激磁支路後，每相等效電路只有定子阻抗與轉子折算阻抗串聯。Y 接時，相電壓為 Vϕ=VL/3V_\phi=V_L/\sqrt{3}。感應電動機同步轉速、轉子電流及電磁轉矩分別依下列關係計算：

ns=120fP,I2′=Vϕ(R1+R2′/s)2+(X1+X2′)2n_s=\frac{120f}{P},\qquad I_2'=\frac{V_\phi}{\sqrt{(R_1+R_2'/s)^2+(X_1+X_2')^2}} Tind=Pagωs=3∣I2′∣2(R2′/s)ωs,ωs=2πns60T_{\mathrm{ind}}=\frac{P_{\mathrm{ag}}}{\omega_s} =\frac{3|I_2'|^2(R_2'/s)}{\omega_s}, \qquad \omega_s=\frac{2\pi n_s}{60}

其中 PagP_{\mathrm{ag}} 為氣隙功率，ωs\omega_s 為同步機械角速度。題目參數已折算至定子側，故可直接代入，並取 R2′=R2R_2'=R_2、X2′=X2X_2'=X_2。

解題方法

三相線電壓為 2,300 V2{,}300\ \mathrm{V}，因此每相電壓：

Vϕ=2,3003=1,327.9 VV_\phi=\frac{2{,}300}{\sqrt{3}}=1{,}327.9\ \mathrm{V}

四極、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 電動機的同步轉速與角速度為：

ns=120(60)4=1,800 rpmn_s=\frac{120(60)}{4}=1{,}800\ \mathrm{rpm} ωs=2π(1,800)60=188.50 rad/s\omega_s=\frac{2\pi(1{,}800)}{60}=188.50\ \mathrm{rad/s}

（一）啟動電流、啟動轉矩與啟動功率因數

啟動時轉差率 s=1s=1，轉子等效電阻為 R2′/s=0.04 ΩR_2'/s=0.04\ \Omega。每相總電阻與總電抗為：

Rst=R1+R2′=0.04+0.04=0.08 ΩR_{\mathrm{st}}=R_1+R_2'=0.04+0.04=0.08\ \Omega Xst=X1+X2′=0.3+0.3=0.6 ΩX_{\mathrm{st}}=X_1+X_2'=0.3+0.3=0.6\ \Omega

啟動電流：

Ist=1,327.90.082+0.62=2,196.4 AI_{\mathrm{st}} =\frac{1{,}327.9}{\sqrt{0.08^2+0.6^2}} =2{,}196.4\ \mathrm{A}

Y 接時線電流等於相電流，因此啟動線電流亦為 2,196.4 A2{,}196.4\ \mathrm{A}。

啟動轉矩由氣隙功率除以同步角速度求得：

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第 四 題

圖三為包含兩組理想變壓器 T1T1 與 T2T2 的單相電力系統，其中 T1T1 為升壓變壓器，變壓比 1:101:10；T2T2 為降壓變壓器，變壓比 10:110:1。電源電壓 1,000 V1{,}000\ \mathrm{V}，負載阻抗：

ZL=8+j5 ΩZ_L=8+j5\ \Omega

圖中另有線路電抗 j100 Ωj100\ \Omega，電源為 Vs=1,000∠0∘ VV_s=1{,}000\angle 0^\circ\ \mathrm{V}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 試計算負載側電流、負載吸收的複數功率。（1515 分）

(二) 試計算負載側電壓與電壓調整率（V.R.%）。（1010 分）

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核心觀念

本題考查理想變壓器的阻抗換算、電流與電壓比例，以及交流負載的複數功率與電壓調整率。

理想變壓器公式如下：

V1V2=N1N2=a,I1I2=1a,Zin=a2ZL\frac{V_1}{V_2}=\frac{N_1}{N_2}=a,\qquad \frac{I_1}{I_2}=\frac{1}{a},\qquad Z_{\mathrm{in}}=a^2Z_L

圖中：

  • T1T1 升壓比為 1:101:10，因此電源側 1,000 V1{,}000\ \mathrm{V} 升為 10,000 V10{,}000\ \mathrm{V}
  • T2T2 降壓比為 10:110:1
  • 線路電抗為 j100 Ωj100\ \Omega
  • 負載阻抗為 ZL=8+j5 ΩZ_L=8+j5\ \Omega

解題方法

將負載阻抗逐級反映至線路高壓側。

1. 將負載反映至 T2T2 一次側

T2T2 的變壓比為 10:110:1，故：

ZL,高壓側=102ZL=100(8+j5)=800+j500 ΩZ_{L,\mathrm{高壓側}} =10^2Z_L =100(8+j5) =800+j500\ \Omega

線路總阻抗為：

Ztotal=j100+(800+j500)=800+j600 ΩZ_{\mathrm{total}} =j100+(800+j500) =800+j600\ \Omega

T1T1 二次側電壓為：

VT1,2=10(1,000∠0∘)=10,000∠0∘ VV_{T1,2}=10(1{,}000\angle0^\circ) =10{,}000\angle0^\circ\ \mathrm{V}

因此線路電流為：

Iline=10,000800+j600=10,000(800−j600)8002+6002I_{\mathrm{line}} =\frac{10{,}000}{800+j600} =\frac{10{,}000(800-j600)}{800^2+600^2} Iline=8−j6 A=10∠−36.87∘ AI_{\mathrm{line}}=8-j6\ \mathrm{A} =10\angle-36.87^\circ\ \mathrm{A}

2. 求負載側電流

T2T2 為降壓變壓器，電流比與匝數比相反：

ILIline=10\frac{I_L}{I_{\mathrm{line}}}=10

所以：

IL=10(8−j6)=80−j60 AI_L=10(8-j6) =80-j60\ \mathrm{A}

亦可寫成：

IL=100∠−36.87∘ A\boxed{I_L=100\angle-36.87^\circ\ \mathrm{A}}

（一）負載側電流與負載複數功率

負載側電流

IL=80−j60 A=100∠−36.87∘ A\boxed{I_L=80-j60\ \mathrm{A} =100\angle-36.87^\circ\ \mathrm{A}}

負載吸收的複數功率

交流負載複數功率為：

SL=IL2ZLS_L=I_L^2Z_L

其中：

∣IL∣2=1002=10,000|I_L|^2=100^2=10{,}000

因此：

SL=∣IL∣2(8+j5)S_L =|I_L|^2(8+j5) SL=10,000(8+j5)=80,000+j50,000 VAS_L=10{,}000(8+j5) =80{,}000+j50{,}000\ \mathrm{VA}

故：

SL=80+j50 kVA\boxed{S_L=80+j50\ \mathrm{kVA}}

其中：

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