114 原住民特考三等 農業技術類科 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

兩種工具的讀值列在相同編號下，因此應將每一欄視為一組配對觀測。比較工具平均讀值時，先計算每組的差值，再檢定差值平均數是否為 $0$。變異數分析則可將「工具」視為處理因子、將編號視為區集，採隨機完全區集設計（RCBD）分析。

（一）假說

題目未指定要檢驗雷射工具是否較高或較低，因此採雙尾檢定。令 $\mu_L$、$\mu_T$ 分別為雷射工具與傳統工具的平均量測值：

等價地，令每組差值 $d_i=L_i-T_i$，則檢定 $H_0:\mu_d=0$ 對 $H_1:\mu_d\ne 0$。

（二）配對樣本 $t$ 檢定與結果

同一編號下的兩個讀值相互配對，故使用配對樣本 $t$ 檢定，不使用將兩組資料視為獨立樣本的 $t$ 檢定。

計算差值 $d_i=L_i-T_i$，依序為：

因此：

檢定統計量為：

雙尾 $p$ 值約為 $0.674$。在 $\alpha=0.05$ 下不拒絕 $H_0$；資料沒有顯示兩種工具的平均量測值有顯著差異。

核心觀念

本題是有重複觀測的二因子複因子試驗，因子為操作員（3 水準）與機器（4 水準），每個「操作員 × 機器」組合有 2 次觀測。分析時須分別檢定操作員主效應、機器主效應及交互作用。

採固定效果二因子變異數分析模型：

其中 $\alpha_i$ 為操作員效應、$\beta_j$ 為機器效應、$(\alpha\beta)_{ij}$ 為交互作用，誤差項以各組合內的兩次重複估計。

解題方法與變異數分析

設操作員數 $a=3$、機器數 $b=4$、每格重複數 $r=2$，總觀測數 $N=24$。各操作員總和為 $879、889、927$；各機器總和為 $671、673、670、681$；總和 $G=2695$，校正因子為：

各組合內的兩筆觀測差平方除以 2 後加總，得到誤差平方和 $SS_E=46$。因此：

各平方和計算結果為：

交互作用平方和可由「組合間平方和減去兩個主效應平方和」求得。變異數分析表如下：

以 $F_{0.05}$ 臨界值判斷：操作員的 $F=20.913$ 大於 $F_{0.05}(2,12)=3.885$，故操作員效應顯著；機器的 $F=1.083$ 小於 $F_{0.05}(3,12)=3.490$，機器效應不顯著；交互作用的 $F=1.941$ 小於 $F_{0.05}(6,12)=3.000$，交互作用不顯著。

**結論：**不同操作員的平均抗破壞力檢測值有顯著差異；機器間差異及操作員與機器的交互作用均未達 5% 顯著水準。

最小顯著差異法比較

核心觀念

以純度 $x$ 預測污染物濃度 $y$，使用簡單線性迴歸模型：

其中斜率 $b_1=S_{xy}/S_{xx}$，截距 $b_0=\bar y-b_1\bar x$；$S_{xx}$、$S_{yy}$、$S_{xy}$ 分別是純度平方和、污染物平方和及兩者的交乘積和。迴歸平方和為 $SSR=S_{xy}^2/S_{xx}$，殘差平方和為 $SSE=S_{yy}-SSR$。

解題方法與計算

令純度為 $x$（單位：%），污染物濃度為 $y$（單位：ppm）。由 15 筆資料計算得：

（一）線性迴歸方程式

因此迴歸方程式為：

（二）迴歸變異數分析表

總平方和 $SST=S_{yy}=1.95956$。迴歸、誤差及總自由度分別為 $1$、$15-2=13$、$15-1=14$。

核心觀念

本題考檢定中的兩種錯誤，以及顯著水準 $\alpha$ 與第二型錯誤機率 $\beta$ 的關係。以虛無假設 $H_0$ 為判斷基準：

• 第一型錯誤：$H_0$ 其實為真，卻錯誤地拒絕 $H_0$。其發生機率為 $\alpha$，即顯著水準。
• 第二型錯誤：$H_0$ 其實為假，卻未能拒絕 $H_0$。其發生機率記為 $\beta$。
• 檢定力：$1-\beta$，也就是在 $H_0$ 為假時，正確拒絕 $H_0$ 的機率。

「未能拒絕 $H_0$」不代表證明 $H_0$ 為真，只表示目前資料不足以拒絕它。

解題方法

先依「真實狀態」與「檢定決策」區分四種結果：

設定顯著水準時，$\alpha$ 是在 $H_0$ 為真條件下，檢定程序容許的第一型錯誤機率上限。若其他條件固定，調高 $\alpha$ 會擴大拒絕域，因而提高拒絕 $H_0$ 的機會：第一型錯誤風險增加，第二型錯誤風險通常降低；反之，降低 $\alpha$ 則拒絕域縮小，通常使 $\beta$ 上升。

顯著水準與兩型錯誤的圖示