115 原住民特考三等 農業技術類科 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查單因子完全隨機設計（CRD）的變方分析（ANOVA），以品種為固定型處理，並假設各處理之隨機誤差彼此獨立、變異數相等。

統計模式為：

$$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij}$$

其中：

• $Y_{ij}$：第 $i$ 品種第 $j$ 重複的株高
• $\mu$：總平均
• $\tau_i$：第 $i$ 品種的處理效應
• $\varepsilon_{ij}$：隨機誤差

檢定假設為：

$$H_0:\mu_M=\mu_S=\mu_A$$ $$H_1:\text{至少有兩個品種平均株高不同}$$

顯著水準為 $\alpha=0.05$。

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（一）CRD 之 ANOVA 分析

1. 各品種平均數與總平均

品種 M：

$$\bar{Y}_M=\frac{72+73+73+74}{4}=73$$

品種 S：

$$\bar{Y}_S=\frac{71+73+72+74}{4}=72.5$$

品種 A：

$$\bar{Y}_A=\frac{71+72+72+73}{4}=72$$

總平均：

$$\bar{Y}_{..}=\frac{292+290+288}{12}=72.5$$

2. 處理平方和

$$SS_{\text{品種}} =4\left[(73-72.5)^2+(72.5-72.5)^2+(72-72.5)^2\right]$$ $$SS_{\text{品種}} =4(0.25+0+0.25)=2$$

品種自由度：

$$df_{\text{品種}}=3-1=2$$

因此：

$$MS_{\text{品種}}=\frac{2}{2}=1$$

3. 誤差平方和

各品種內平方和如下。

品種 M：

$$SS_M=(72-73)^2+(73-73)^2+(73-73)^2+(74-73)^2=2$$

品種 S：

$$SS_S=(71-72.5)^2+(73-72.5)^2+(72-72.5)^2+(74-72.5)^2$$ $$SS_S=2.25+0.25+0.25+2.25=5$$

品種 A：

$$SS_A=(71-72)^2+(72-72)^2+(72-72)^2+(73-72)^2=2$$

因此，誤差平方和為：

$$SS_E=SS_M+SS_S+SS_A=2+5+2=9$$

但須注意，以上以各處理平均數計算時，品種 S 的平方和應以資料逐項代入：

$$(71-72.5)^2+(73-72.5)^2+(72-72.5)^2+(74-72.5)^2=5$$

總平方和為：

$$SS_T=SS_{\text{品種}}+SS_E=2+9=11$$

誤差自由度：

$$df_E=12-3=9$$

故：

$$MS_E=\frac{9}{9}=1$$

4. F 檢定

$$F=\frac{MS_{\text{品種}}}{MS_E} =\frac{1}{1}=1$$

查表：

$$F_{0.05;2,9}=4.256$$

因為：

$$F=1<4.256$$

故不拒絕 $H_0$。

5. ANOVA 表

變異來源	平方和 SS	自由度 df	均方 MS	F 值
品種	2	2	1	1
誤差	9	9	1
總和	11	11

結論

在 $\alpha=0.05$ 顯著水準下，三個洋桔梗品種的平均株高沒有顯著差異。

這代表本試驗資料不足以證明 M、S、A 三品種平均株高不同，並不代表三品種在母體中必然完全相同。

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（二）後續策略規劃

1. 不宜直接判定品種 M 最佳

樣本平均數雖為：

$$\bar{Y}_M=73,\qquad \bar{Y}_S=72.5,\qquad \bar{Y}_A=72$$

但整體 ANOVA 未達顯著，因此不能僅依樣本平均數宣稱 M 品種的株高顯著高於 S、A 品種，也不宜直接據此淘汰 S、A 品種。

2. 依市場需求設定決策標準

花市以花莖長度分類，實務上應先確認：

• 目標花莖長度級距
• 是否要求達到特定最低長度
• 花莖粗細、挺立性與節間長度
• 花朵品質、花色、花期及產量
• 生產成本與市場售價

若三品種均能達到相同商品級距，則應進一步以產量、品質、抗病性及成本作為選種依據，而非只看株高。

3. 增加試驗精確度與代表性

本試驗不顯著的原因可能包括：

• 處理間真實差異較小
• 誤差變異相對較大
• 重複數偏少
• 溫室內位置效應未控制
• 試驗期間或環境條件不具代表性

因此後續宜：

1. 將完全隨機設計改為隨機完全區集設計。
2. 增加區集數及重複數。
3. 在不同季節或不同批次重複試驗。
4. 將每一水耕槽分割為若干獨立試驗單位，避免把同一槽內多株植株誤當成彼此獨立的重複。
5. 同時調查花莖長度、花莖粗度、單株花數及商品率。

4. 實務上的暫行決策

核心觀念

本題有：

• 5 個處理：五種青割玉米品種。
• 兩個主要環境變異來源：

1. 東西方向的倉庫遮蔭效應。
2. 南北方向的灌溉水分梯度。

• 研究目的：控制兩個環境變異來源後，比較品種平均鮮草產量。

因此應採用「拉丁方設計」（Latin square design）。拉丁方設計適用於：

• 只有一個主要試驗處理因素；
• 有兩個需要控制的區集因素；
• 處理數、第一區集水準數、第二區集水準數相同。

本題五個品種、兩個環境變異來源均為五水準，正好適合建立 $5 \times 5$ 拉丁方。

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（一）試驗設計規劃

1. 區集劃分（Blocking）

將試驗田劃分為 $5 \times 5=25$ 個試驗小區，形成兩個方向的區集：

• 第一區集：依東西方向劃分為 5 個水準，以控制倉庫所造成的遮蔭或微氣候差異。
• 第二區集：依南北方向劃分為 5 個水準，以控制灌溉水渠造成的水分差異。

每一個小區同時具有一個東西方向區集水準與一個南北方向區集水準。

可表示如下：

$$\begin{array}{c|ccccc} & \text{南北區集1} & \text{南北區集2} & \text{南北區集3} & \text{南北區集4} & \text{南北區集5}\\ \hline \text{東西區集1} & & & & &\\ \text{東西區集2} & & & & &\\ \text{東西區集3} & & & & &\\ \text{東西區集4} & & & & &\\ \text{東西區集5} & & & & & \end{array}$$

東西方向的 5 個區集可依距離倉庫遠近排列；南北方向的 5 個區集可依距離灌溉水渠遠近排列。

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2. 重複（Replication）

五個品種各出現 5 次，因此每一品種有 5 次重複：

$r=5$

總試驗小區數為：

$N=5\times 5=25$

每一個東西方向區集內，五個品種各出現一次；每一個南北方向區集內，五個品種也各出現一次。

因此，任一品種的 5 次重複分布於不同遮蔭環境與不同水分環境中，可降低環境差異對品種比較的干擾。

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3. 隨機化（Randomization）

拉丁方的限制是：每一列與每一欄中，五個品種均須各出現一次。

例如可先建立一個基本拉丁方：

$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline 1 & A & B & C & D & E\\ 2 & B & C & D & E & A\\ 3 & C & D & E & A & B\\ 4 & D & E & A & B & C\\ 5 & E & A & B & C & D \end{array}$$

其中：

• 列代表東西方向區集；
• 欄代表南北方向區集；
• $A$ 至 $E$ 代表五個青割玉米品種。

正式配置時，應進行下列隨機化：

1. 隨機排列東西方向區集的順序。
2. 隨機排列南北方向區集的順序。
3. 隨機排列五個品種的代號或品種標籤。
4. 保持每一列、每一欄均包含五個品種各一次的拉丁方限制。

如此可避免研究人員主觀指定品種位置，並使處理效果與兩個區集因素保持公平比較。

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4. 採用拉丁方設計的原因

若採完全隨機設計，倉庫遮蔭與水分梯度可能造成試驗誤差增大；若只控制其中一個環境變異來源，另一個變異來源仍會混入誤差。

拉丁方設計可同時控制兩個方向的環境差異，使品種間的比較主要反映品種本身造成的鮮草產量差異。

本題設計配置如下：

項目	規劃
處理數	5 個品種
第一區集	東西方向，5 水準
第二區集	南北方向，5 水準
重複數	每品種 5 次
總小區數	25 小區
設計類型	$5\times5$ 拉丁方設計

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（二）變方分析表與自由度

1. 拉丁方設計的模型

令 $Y_{ijk}$ 表示在第 $i$ 個東西方向區集、第 $j$ 個南北方向區集所觀察到的產量，模型可寫為：

$$Y_{ijk}=\mu+R_i+C_j+T_k+e_{ijk}$$

其中：

核心觀念

本題考查單因子完全隨機設計（CRD）的變方分析，以及盒鬚圖對「處理間差異」與「誤差變異」的判讀。

每一年度分別進行單因子 ANOVA：

• 處理因子：肥料種類，共 $a=5$ 種（A、B、C、D、E）
• 每種肥料重複數：$r=10$
• 總觀測值：$N=5\times 10=50$

檢定假設為：

$$H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C=\mu_D=\mu_E$$ $$H_1:\text{至少有兩種肥料的平均果長不同}$$

F 統計量為：

$$F=\frac{MS_{\text{肥料}}}{MS_E}$$

其中：

• $MS_{\text{肥料}}$：肥料處理間變異
• $MS_E$：處理內誤差變異

自由度為：

$$df_{\text{肥料}}=a-1=5-1=4$$ $$df_E=N-a=50-5=45$$

因此各年度的檢定均可表示為：

$$F=\frac{MS_{\text{肥料}}}{MS_E} \sim F_{4,45}$$

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解題方法

判讀盒鬚圖時，須同時觀察兩項：

1. 各肥料平均果長或中位數的差距，代表處理間變異。
2. 各肥料組內資料的分散程度與盒鬚圖重疊情形，代表誤差變異。

若肥料間平均差距大，且組內變異小，則 $MS_{\text{肥料}}$ 大、$MS_E$ 小，F 值較大，容易拒絕 $H_0$。

若肥料間平均差距雖存在，但組內變異很大、盒鬚圖重疊明顯，則 $MS_E$ 變大，F 值可能不大，未必能達顯著水準。

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2024 年分析結果

2024 年各肥料的果長約呈現下列階梯式差異：

• A 約為 $28$ cm
• B 約為 $30$ cm
• C 約為 $32$ cm
• D 約為 $34$ cm
• E 約為 $36$ cm

各肥料組內的盒身及鬚線均相當短，表示同一肥料內的重複資料變異小；不同肥料之間的盒鬚圖幾乎沒有重疊，表示肥料處理間差異遠大於誤差變異。

因此：

$$MS_{\text{肥料}}\text{ 大，}\qquad MS_E\text{ 小}$$

使得：

$$F=\frac{MS_{\text{肥料}}}{MS_E} \text{ 很大}$$

在一般顯著水準，例如 $\alpha=0.05$ 下，預期會拒絕 $H_0$，認定五種肥料對圓筒絲瓜種苗三號果長具有顯著影響。

進一步進行多重比較時，A、B、C、D、E 的平均果長很可能依序形成不同群組，且平均果長大致為：

$$E>D>C>B>A$$

圖中 B 組雖有一個較低的離群值，但不會改變整體處理平均數差距大、組內變異小的主要判斷。

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2025 年分析結果

2025 年各肥料的平均果長大致呈現增加趨勢：

• A 約為 $28$ cm
• B 約為 $31$ cm
• C 約為 $33$ cm
• D、E 約為 $34.5$ cm

核心觀念

本題考查：

1. 兩兩獨立樣本 $t$ 檢定的適用條件
2. 多重比較造成第一類錯誤率膨脹
3. 同一批品評人員評定四種處理時，資料具有配對性
4. 隨機完全區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）或單因子重複量數分析
5. 事後多重比較與無母數替代方法

四種最終烘焙溫度為處理因子，共有：

$$k=4$$

10 位品評人員可視為區集，每位品評人員均對四種溫度進行評分，因此每位品評人員內的四個分數具有相關性。

題目表中僅列出四組平均數：

$$\bar{Y}_{100}=78.5,\quad \bar{Y}_{105}=79.8,\quad \bar{Y}_{110}=79.5,\quad \bar{Y}_{115}=79.3$$

這些平均數只能描述各處理的中心位置，不能單獨完成顯著性檢定；正式分析仍須取得每位品評人員對每種溫度的原始評分。

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（一）是否適合採用兩兩獨立 $t$ 檢定？

結論

不適合直接採用兩兩獨立樣本 $t$ 檢定。

理由一：資料不是獨立樣本，而是配對資料

同一位品評人員會評定四種烘焙溫度，因此例如該品評人員對 $100^\circ\mathrm{C}$ 與 $105^\circ\mathrm{C}$ 的評分，具有共同的品評者特性。

不同品評人員的嚴格程度、評分尺度、味覺敏感度可能不同。若直接把各溫度的評分視為四組互相獨立的樣本，便忽略了「同一品評人員重複評分」所形成的配對結構，違反獨立樣本 $t$ 檢定的基本假設。

正確的比較應以同一品評人員的差異為基礎，例如比較：

$$D_j=Y_{j,100}-Y_{j,105}$$

其中 $j=1,\ldots,10$。此時應採用配對分析，而不是獨立樣本分析。

理由二：兩兩比較會造成多重比較問題

四種處理的兩兩比較數為：

$$\binom{4}{2} = \frac{4(4-1)}{2} =6$$

若每一組檢定均以顯著水準 $\alpha=0.05$ 判斷，整體第一類錯誤率不再是 $0.05$。在各檢定獨立的近似情況下，至少出現一次誤判顯著的機率為：

$$1-(1-\alpha)^6 = 1-(0.95)^6 \approx 0.265$$

亦即整體錯誤率約為 $26.5\%$，遠高於原先設定的 $5\%$。

因此，即使資料真實上四種溫度沒有差異，單純進行六次獨立的兩兩 $t$ 檢定，也容易得到虛假的顯著結果。

理由三：獨立 $t$ 檢定還有其他前提

獨立樣本 $t$ 檢定通常要求：

• 兩組觀測值彼此獨立；
• 母體分布近似常態；
• 採用 pooled $t$ 檢定時，兩組變異數相等；
• 觀測值為近似連續尺度。

本題的「同一品評人員重複評分」已使獨立性條件不成立，因此不能直接套用兩兩獨立 $t$ 檢定。

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（二）適當的統計推論方法與分析流程

方法一：隨機完全區集設計分析

本題最適合以「最終烘焙溫度」作為處理，以「品評人員」作為區集，進行隨機完全區集設計分析。

也可視為：

• 單因子重複量數變異數分析；
• 具有品評人員區集效果的二因子加法模型。

一、統計模型

令：

• $Y_{ij}$：第 $j$ 位品評人員對第 $i$ 種溫度的總評分；
• $i=1,2,3,4$，分別代表 $100^\circ\mathrm{C}$、$105^\circ\mathrm{C}$、$110^\circ\mathrm{C}$、$115^\circ\mathrm{C}$；
• $j=1,\ldots,10$。

模型可寫為：

$$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{ij}$$

其中：

• $\mu$：總平均數；
• $\tau_i$：第 $i$ 種烘焙溫度的處理效果；
• $\beta_j$：第 $j$ 位品評人員的區集效果；
• $\varepsilon_{ij}$：隨機誤差。

此模型將品評人員本身的評分差異控制住，使分析焦點集中在烘焙溫度效果。

二、假設檢定

主要欲檢定四種溫度的平均總評分是否相同。

虛無假設：

$$H_0:\mu_{100}=\mu_{105}=\mu_{110}=\mu_{115}$$

等價地寫為：

$$H_0:\tau_{100}=\tau_{105}=\tau_{110}=\tau_{115}=0$$

對立假設：

$$H_1:\text{至少有兩種烘焙溫度的平均總評分不同}$$

檢定統計量為：

$$F=\frac{MS_{\text{處理}}}{MS_{\text{誤差}}}$$

其中：

$$MS_{\text{處理}} = \frac{SS_{\text{處理}}}{k-1} = \frac{SS_{\text{處理}}}{3}$$

誤差自由度為：

$$(k-1)(b-1) = (4-1)(10-1) = 27$$

因此分析的自由度為：

變異來源	自由度
烘焙溫度處理	$3$
品評人員區集	$9$
誤差	$27$
總和	$39$

若以原始資料表示，令：

• $T_i$ 為第 $i$ 種溫度的總和；
• $B_j$ 為第 $j$ 位品評人員的總和；
• $G$ 為全部 $40$ 個觀測值的總和；
• $N=40$。

則：

$$SS_{\text{總}} = \sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{10}Y_{ij}^{2} -\frac{G^2}{40}$$ $$SS_{\text{處理}} = \sum_{i=1}^{4}\frac{T_i^2}{10} -\frac{G^2}{40}$$ $$SS_{\text{區集}} = \sum_{j=1}^{10}\frac{B_j^2}{4} -\frac{G^2}{40}$$ $$SS_{\text{誤差}} = SS_{\text{總}} - SS_{\text{處理}} - SS_{\text{區集}}$$

接著計算：

$$F= \frac{SS_{\text{處理}}/3}{SS_{\text{誤差}}/27}$$

再與 $F$ 分配的臨界值比較，或直接依 $p$ 值判斷。

三、整體檢定顯著後的事後比較