114 原住民特考四等 經建行政類科 統計學概要 考古題詳解

114 年・原住民特考・四等・經建行政類科
試題代碼 統計學概要

第 一 題10 分

A 連鎖超市運用電腦模擬及資訊科技，縮短 2,000 家分店的顧客平均結帳等候時間。運用新系統，超市可以更準確預測顧客結帳時間，使顧客平均結帳等候時間縮減為 26 秒。假定 A 超市的結帳等候時間是指數分配。

(一) 請問顧客必須等候 15∼3015\sim30 秒的機率約為多少？

(二) 請問顧客等候時間超過 2 分鐘的機率約為多少？

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核心觀念

本題考指數分配的機率計算。若等候時間 XX 服從平均數為 μ\mu 的指數分配，其參數為 λ=1/μ\lambda=1/\mu，機率密度函數與累積分配函數分別為

f(x)=λe−λx,x≥0f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\geq 0 F(x)=P(X≤x)=1−e−λx.F(x)=P(X\leq x)=1-e^{-\lambda x}.

題目給定平均等候時間為 2626 秒，因此 λ=1/26\lambda=1/26（每秒）。

解題方法

（一）等候 15∼3015\sim30 秒的機率

區間機率可由累積分配函數相減：

P(15≤X≤30)=F(30)−F(15)=(1−e−30/26)−(1−e−15/26)=e−15/26−e−30/26≈0.5619−0.3153≈0.2466.\begin{aligned} P(15\leq X\leq30) &=F(30)-F(15)\\ &=(1-e^{-30/26})-(1-e^{-15/26})\\ &=e^{-15/26}-e^{-30/26}\\ &\approx 0.5619-0.3153\\ &\approx 0.2466. \end{aligned}
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第 二 題10 分

已知隨機變數 XX 與 YY 的二元分配如下：

聯合機率 f(x,y)f(x,y)XXYY
0.20.240406060
0.50.530305050
0.30.350508080

(一) 請建立 X+YX+Y 的機率分配。

(二) 請計算 E(X+Y)E(X+Y) 與 Var⁡(X+Y)\operatorname{Var}(X+Y)。

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核心觀念

本題考查離散型二元隨機變數的函數分配，以及期望值與變異數的計算。令 Z=X+YZ=X+Y，則每一組 (X,Y)(X,Y) 對應一個 ZZ 值；若不同組合產生相同的 ZZ，須將其聯合機率相加。

離散型隨機變數 ZZ 的期望值與變異數定義為

E(Z)=∑zz P(Z=z),Var⁡(Z)=E(Z2)−[E(Z)]2.E(Z)=\sum_z z\,P(Z=z),\qquad \operatorname{Var}(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2.

解題方法

先由題目列出的三組 (X,Y)(X,Y) 計算 Z=X+YZ=X+Y：

XXYYZ=X+YZ=X+Y機率
404060601001000.20.2
3030505080800.50.5
505080801301300.30.3

三個 ZZ 值各不相同，因此其機率直接沿用對應的聯合機率。X+YX+Y 的機率分配為

P(Z=z)={0.5,z=80,0.2,z=100,0.3,z=130,0,其他.P(Z=z)= \begin{cases} 0.5,&z=80,\\ 0.2,&z=100,\\ 0.3,&z=130,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}
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第 三 題15 分

某研究中心調查詢問受訪者對於生活步調快慢之偏好，該調查也詢問受訪者的性別。樣本資料如下：

生活步調偏好男性女性
較慢200200208208
無偏好20203434
較快80805858

(一) 請在 0.050.05 顯著水準下，檢定生活步調偏好與性別間是否相互獨立？

(二) 請在 0.050.05 顯著水準下，檢定男性是否比女性喜歡較快的生活步調？

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核心觀念

本題第一小題考驗「列聯表的卡方獨立性檢定」；第二小題考驗「兩母體比例差的單尾檢定」。顯著水準均為 α=0.05\alpha=0.05。

卡方獨立性檢定的假設為：

  • H0H_0：生活步調偏好與性別相互獨立。
  • H1H_1：生活步調偏好與性別不相互獨立。

期望次數按下式計算：

Eij=(第 i 列合計)(第 j 欄合計)總計E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總計}}

檢定統計量為：

χ2=∑i∑j(Oij−Eij)2Eij\chi^2=\sum_i\sum_j\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}

第二小題只比較「較快」與「非較快」兩種反應，設男性、女性喜歡較快生活步調的母體比例分別為 pm,pfp_m,p_f，檢定：

  • H0:pm≤pfH_0:p_m\le p_f
  • H1:pm>pfH_1:p_m>p_f

在虛無假設邊界 pm=pfp_m=p_f 下，以合併比例計算比例差檢定統計量。

（一）生活步調偏好與性別是否相互獨立

觀察次數與邊際合計如下：

生活步調偏好男性女性列合計
較慢200208408
無偏好203454
較快8058138
欄合計300300600

自由度為：

df=(r−1)(c−1)=(3−1)(2−1)=2df=(r-1)(c-1)=(3-1)(2-1)=2

在 df=2df=2、α=0.05\alpha=0.05 下，右尾臨界值為 χ0.05,22=5.991\chi^2_{0.05,2}=5.991。

各格期望次數為：

生活步調偏好男性期望次數女性期望次數
較慢408(300)600=204\frac{408(300)}{600}=204204204
無偏好54(300)600=27\frac{54(300)}{600}=272727
較快138(300)600=69\frac{138(300)}{600}=696969

代入卡方統計量：

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第 四 題10 分

市場研究員為探討廠商投入的廣告費（XX，百萬元）對銷售額（YY，千萬元）之影響，今隨機抽取 5 家廠商，得其廣告費與銷售額的關係如下表所述：

廠商12345
廣告費 XX1313151588111188
銷售額 YY881212447755

(一) 請試算 XX 與 YY 的樣本相關係數。

(二) 假設市場研究員建立迴歸模型 Y=β0+β1x+εY=\beta_0+\beta_1x+\varepsilon，試求 β0\beta_0 與 β1\beta_1 的最小平方法估計值為何？

(三) 請問若投入 10 單位（也就是 1 千萬元）的廣告費，則估計會有多少銷售額？

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核心觀念

本題考查樣本相關係數與簡單線性迴歸的最小平方法估計。令 n=5n=5，樣本相關係數為

r=SxySxxSyy,Sxx=∑i=1n(Xi−Xˉ)2,Syy=∑i=1n(Yi−Yˉ)2,Sxy=∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ).r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}, \qquad S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2,\quad S_{yy}=\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar Y)^2,\quad S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y).

迴歸線 Y^=β^0+β^1X\hat Y=\hat\beta_0+\hat\beta_1X 的最小平方法估計值為

β^1=SxySxx,β^0=Yˉ−β^1Xˉ.\hat\beta_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad \hat\beta_0=\bar Y-\hat\beta_1\bar X.

解題方法與計算

先計算兩變數的樣本平均數：

Xˉ=13+15+8+11+85=11,Yˉ=8+12+4+7+55=7.2.\bar X=\frac{13+15+8+11+8}{5}=11, \qquad \bar Y=\frac{8+12+4+7+5}{5}=7.2.

以各觀測值減去平均數，整理如下：

廠商Xi−XˉX_i-\bar XYi−YˉY_i-\bar Y(Xi−Xˉ)2(X_i-\bar X)^2(Yi−Yˉ)2(Y_i-\bar Y)^2(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)
120.840.641.6
244.81623.0419.2
3-3-3.2910.249.6
40-0.200.040
5-3-2.294.846.6
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