115 原住民特考四等 經建行政類科 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 全機率定理：將「測試陽性」依患者與非患者兩種情況分解。
2. 貝氏定理：已知測試結果為陽性，反推其實為非患者的機率。

設：

• $D$：市民罹患 COVID-19
• $D^c$：市民未罹患 COVID-19
• $+$：測試呈陽性

題目給定：

其中 $P(+\mid D^c)=3\%$ 是非患者的偽陽性率。

解題方法

（一）任一市民測試為陽性的機率

依全機率定理：

代入題目數據：

因此：

（二）測試呈陽性者未罹患 COVID-19 的機率

本題要求的是：

依貝氏定理：

由第（一）小題得 $P(+)=0.078$，因此：

核心觀念

本題考查中央極限定理、樣本平均數的期望值與變異數，以及兩個獨立樣本平均數之差的分配。

若母體平均數為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$，樣本數為 $n$，則由中央極限定理：

若兩個樣本彼此獨立，則：

其中：

• 甲生產線：$\mu_A=5.2$，$\sigma_A=4$，$n_A=400$
• 乙生產線：$\mu_B=5$，$\sigma_B=4$，$n_B=100$

甲生產線雖為均勻分配，乙生產線雖為指數分配，但因樣本數分別為 $400$ 與 $100$，皆足以使用中央極限定理近似樣本平均數的分配。

（一）乙生產線產品平均壽命至少為 $5.3$ 個月的機率

解題方法

令乙生產線產品壽命為 $Y$，其樣本平均壽命為 $\bar Y$。

由中央極限定理：

因此：

其標準差為：

所求機率為：

標準化：

所以：

由標準常態分配表：

因此：

約為 $22.66\%$。

（二）甲生產線產品比乙生產線產品樣本平均壽命長 $0.1$ 個月的機率

解題方法

令甲、乙兩生產線的樣本平均壽命分別為 $\bar X$、$\bar Y$，考慮差值：

由獨立性：

而：

核心觀念

本題考查「母體平均數的單一母體假設檢定」。

已知母體標準差 $\sigma=36$，且樣本數 $n=100$，因此採用單一母體平均數的 $Z$ 檢定。題目問「母體平均數是否變大」，屬於右尾檢定。

設定：

• 原母體平均數：$\mu_0=500$
• 母體標準差：$\sigma=36$
• 樣本數：$n=100$
• 樣本平均數：$\bar{x}=510$
• 顯著水準：$\alpha=0.05$

（一）假設檢定

1. 建立假設

因為題目檢定母體平均數是否「變大」，故採右尾檢定：

在計算檢定統計量時，以虛無假設邊界值 $\mu_0=500$ 代入。

2. 檢定統計量

母體標準差已知，使用 $Z$ 統計量：

代入題目資料：

因為：

所以標準誤為：

因此：

3. 拒絕域

右尾檢定且 $\alpha=0.05$，標準常態分配的臨界值為：

因此拒絕域為：

本題計算得：

故落入拒絕域。

4. 檢定結果與結論

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，拒絕虛無假設 $H_0$。

因此可認為有充分統計證據顯示：

也就是說，電子產品的母體平均壽命已顯著高於 $500$ 天。

若以 $p$ 值表示，右尾 $p$ 值為：

因為：

所得結論相同。

（二）臨界值

「臨界值」可分為標準化統計量的臨界值，以及換算回樣本平均數尺度的臨界值。

1. $Z$ 統計量的臨界值

本題為右尾檢定，且：

因此右尾臨界值為：

拒絕域為：

2. 樣本平均數的臨界值

核心觀念

本題考查複迴歸分析的 ANOVA 表、決定係數 $R^2$，以及整體迴歸模式的 $F$ 檢定。

已知：

• 自變數個數：$k=5$
• 總自由度：$35$
• 不可解釋變異平方和：$SSE=180$
• 總平方和：$SST=210$

複迴歸 ANOVA 的基本關係為：

其中：

• $SSR$：可解釋變異平方和
• $SSE$：不可解釋變異平方和
• $SST$：總平方和

自由度為：

解題方法

（一）完成 ANOVA 表

先計算可解釋變異平方和：

再計算均方和：

$F$ 統計量為：

因此 ANOVA 表如下：

總計列的均方和與 $F$ 值通常不填寫；若計算總均方，則為：

（二）計算 $R^2$

決定係數公式為：

代入數值：

因此：

表示五個自變數合計可以解釋應變數總變異的約 $14.29\%$，其餘約 $85.71\%$ 為模型未能解釋的變異。

（三）複迴歸模式的整體 $F$ 檢定

1. 假設

虛無假設：