114 原住民特考四等 機械工程類科 機械力學概要 考古題詳解

114 年・原住民特考・四等・機械工程類科
試題代碼 機械力學概要

第 一 題30 分

有 2 顆球 AA、BB，大小一樣，但質量不同，碰撞前後之速度如圖所示。假設為光滑地面，求：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 兩球間之恢復係數為何？（10 分）

(二) 球 AA 質量與球 BB 質量之比值為何？（10 分）

(三) 碰撞前後能量損失為何？（10 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考一維碰撞的恢復係數、動量守恆與動能損失。取向右為正，依圖可讀出：

  • 碰撞前：vA1=+6 m/sv_{A1}=+6\ \text{m/s}、vB1=−4 m/sv_{B1}=-4\ \text{m/s}
  • 碰撞後：vA2=−1 m/sv_{A2}=-1\ \text{m/s}、vB2=+9 m/sv_{B2}=+9\ \text{m/s}

光滑水平面上，水平方向沒有外力衝量，因此碰撞前後總動量守恆。恢復係數為碰撞後分離相對速度除以碰撞前接近相對速度。

解題方法

（一）恢復係數

碰撞前接近相對速度大小為

vA1−vB1=6−(−4)=10 m/sv_{A1}-v_{B1}=6-(-4)=10\ \text{m/s}

碰撞後分離相對速度大小為

vB2−vA2=9−(−1)=10 m/sv_{B2}-v_{A2}=9-(-1)=10\ \text{m/s}

因此

e=vB2−vA2vA1−vB1=1010=1e=\frac{v_{B2}-v_{A2}}{v_{A1}-v_{B1}} =\frac{10}{10}=1

（二）球 AA 與球 BB 的質量比

令兩球質量為 mAm_A、mBm_B。由動量守恆：

mA(6)+mB(−4)=mA(−1)+mB(9)m_A(6)+m_B(-4)=m_A(-1)+m_B(9)

整理得

7mA=13mB⟹mAmB=1377m_A=13m_B \quad\Longrightarrow\quad \frac{m_A}{m_B}=\frac{13}{7}
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第 二 題15 分

如圖所示，木箱質量 100 kg100\ \mathrm{kg}。初始狀態 s=0s=0 時，木箱為靜止；若木箱被提升至 s=3 ms=3\ \mathrm{m} 時，馬達 MM 對纜繩施加的拉力為 250 N250\ \mathrm{N}，求此時木箱速度為何？

忽略繩索和滑輪的質量及其之間之摩擦。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念

本題考查理想滑輪組的機械利益與功－能原理。繩索、滑輪皆視為無質量且無摩擦，因此整條繩上的張力相同，等於馬達施力 T=250 NT=250\ \mathrm{N}。

依圖，下方與木箱相連的活動滑輪由 4 段繩索支承，因此木箱受到的總向上拉力為 4T4T。木箱上升 ss 時，馬達收繩長度為 4s4s。

解題方法

採用功－能原理，計算繩索對木箱系統所做的功，扣除重力位能增加後，即為木箱動能增加。依題意將馬達拉力視為提升過程中維持 250 N250\ \mathrm{N}。

木箱上升 3 m3\ \mathrm{m} 時，馬達收繩長度為

Δℓ=4s=4(3)=12 m\Delta \ell = 4s = 4(3)=12\ \mathrm{m}

馬達對繩索所做的功為

W馬達=TΔℓ=250(12)=3000 JW_{\text{馬達}}=T\Delta \ell =250(12)=3000\ \mathrm{J}

木箱重力位能增加為

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第 三 題30 分

有一均勻剛性桿件 ACBACB，總重 WW，AA 點簡支撐，並用一繩鎖於中間 CC 點，繩的另一端鎖固於 DD 點，繩與桿件夾角為 30∘30^\circ，整個剛性桿件與地面呈水平。忽略繩的質量，求：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 繩的張力為何？（12 分）

(二) AA 點之水平及垂直方向之反作用力為何？（18 分）

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核心觀念

將桿件視為平面剛體，利用靜力平衡條件：

∑MA=0,∑Fx=0,∑Fy=0\sum M_A=0,\qquad \sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0

均勻桿件的重力作用於其中點。圖中 AC=1 mAC=1\,\text{m}、CB=1 mCB=1\,\text{m}，所以桿長為 2 m2\,\text{m}，重心位於 CC 點，距 AA 點 1 m1\,\text{m}。繩在 CC 點施力，方向由 CC 指向 DD，與水平桿夾角為 30∘30^\circ。

解題方法

令繩張力為 TT，將其分解為水平與垂直分力：

Tx=Tcos⁡30∘（向左）,Ty=Tsin⁡30∘（向上）T_x=T\cos30^\circ\quad\text{（向左）},\qquad T_y=T\sin30^\circ\quad\text{（向上）}

以 AA 點取力矩，可消去 AA 點的反作用力。張力的垂直分力使桿件逆時針轉動，重力 WW 使桿件順時針轉動，兩者力臂皆為 1 m1\,\text{m}：

∑MA=0:(Tsin⁡30∘)(1)−(W)(1)=0\sum M_A=0: \quad (T\sin30^\circ)(1)-(W)(1)=0
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第 四 題25 分

有一個質量未知的平台由 4 根相同勁度（Spring Stiffness）kk 的彈簧支撐。當平台上沒有任何物體時，量得其垂直振動週期為 2.35 s2.35\ \mathrm{s}；若在平台上放置一個 3 kg3\ \mathrm{kg} 的方塊時，振動週期則為 5.23 s5.23\ \mathrm{s}。當平台上放置某一未知質量的方塊時，使得平台之垂直振動週期為 5.62 s5.62\ \mathrm{s}，求：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 此方塊的質量為何？（15 分）

(二) 每根彈簧的勁度為何？（10 分）

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核心觀念

四根相同彈簧共同支撐平台，對垂直振動而言是並聯，因此等效勁度為 4k4k。簡諧振動週期為

T=2πm總4kT=2\pi\sqrt{\frac{m_{\text{總}}}{4k}}

其中 m總m_{\text{總}} 包含平台本身與平台上的方塊。平台質量固定，因此比較不同載重下的週期，可以先消去彈簧勁度，求出平台質量。

解題方法

設平台質量為 MM。空載週期為 T0=2.35 sT_0=2.35\ \mathrm{s}；放上 3 kg3\ \mathrm{kg} 方塊後，週期為 T1=5.23 sT_1=5.23\ \mathrm{s}。由週期公式取平方並相除：

(T1T0)2=M+3M\left(\frac{T_1}{T_0}\right)^2=\frac{M+3}{M}

因此

M=3(5.232.35)2−1≈0.7589 kgM=\frac{3}{\left(\frac{5.23}{2.35}\right)^2-1} \approx 0.7589\ \mathrm{kg}

設未知方塊質量為 mm，其週期為 T2=5.62 sT_2=5.62\ \mathrm{s}。與空載狀態比較：

(T2T0)2=M+mM\left(\frac{T_2}{T_0}\right)^2=\frac{M+m}{M}

整理得

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