110 司法特考三等 心理測驗員 心理及教育統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸分析中的變異分解：

$$SSt=SS_{\text{reg}}+SS_{\text{res}}$$

其中：

• $SSt$：表現分數的總離均差平方和
• $SS_{\text{reg}}$：迴歸平方和，表示動機對表現所能解釋的變異
• $SS_{\text{res}}$：殘差平方和，表示迴歸模型未能解釋的變異
• $S_{Y\cdot X}$：估計標準誤，又稱迴歸估計標準誤

簡單線性迴歸的相關公式為：

$$SSt=\sum(Y_i-\bar Y)^2$$ $$SS_{\text{reg}}=\frac{S_{XY}^2}{S_{XX}}$$ $$SS_{\text{res}}=SSt-SS_{\text{reg}}$$ $$S_{Y\cdot X}=\sqrt{\frac{SS_{\text{res}}}{n-2}}$$

本題樣本數為 $n=4$，因此殘差自由度為 $n-2=2$。

解題方法

一、計算平均數

動機平均數：

$$\bar X=\frac{11+10+6+5}{4}=8$$

表現平均數：

$$\bar Y=\frac{12+9+9+7}{4}=9.25$$

整理各觀察值的離均差如下：

學生	$X$	$Y$	$X-\bar X$	$Y-\bar Y$
1	11	12	3	2.75
2	10	9	2	$-0.25$
3	6	9	$-2$	$-0.25$
4	5	7	$-3$	$-2.25$

二、計算 $SSt$

$$SSt=\sum(Y_i-\bar Y)^2$$ $$=(2.75)^2+(-0.25)^2+(-0.25)^2+(-2.25)^2$$ $$=7.5625+0.0625+0.0625+5.0625$$ $$\boxed{SSt=12.75}$$

三、計算 $S_{XX}$ 與 $S_{XY}$

先計算：

$$S_{XX}=\sum(X_i-\bar X)^2$$ $$=3^2+2^2+(-2)^2+(-3)^2$$ $$=9+4+4+9=26$$

因此：

$$S_{XX}=26$$

再計算：

$$S_{XY}=\sum(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$$ $$=(3)(2.75)+(2)(-0.25)+(-2)(-0.25)+(-3)(-2.25)$$ $$=8.25-0.5+0.5+6.75=15$$

因此：

$$S_{XY}=15$$

四、計算 $SS_{\text{reg}}$

簡單線性迴歸的迴歸平方和為：

核心觀念

本題比較的是「同一批受試者」在黃光與綠光下的反應時間，因此兩種條件的觀察值彼此相關，應採用「相依樣本 $t$ 考驗」（paired-samples $t$ test），而非獨立樣本 $t$ 考驗。

令每位受試者的差異分數為：

$$D_i=\text{綠光反應時間}-\text{黃光反應時間}$$

檢定假設為：

• 虛無假設：$H_0:\mu_D=0$，兩種光線的平均反應時間沒有差異。
• 對立假設：$H_1:\mu_D\neq 0$，兩種光線的平均反應時間有差異。

因題目問「是否有顯著差異」，屬於雙尾檢定，顯著水準為 $\alpha=0.05$。

---

解題方法

一、計算各受試者的差異分數

受試者	黃光	綠光	$D=\text{綠光}-\text{黃光}$
1	11	14	3
2	8	8	0
3	7	11	4

因此：

$$D_1=3,\qquad D_2=0,\qquad D_3=4$$

差異分數平均數為：

$$\bar D=\frac{3+0+4}{3}=\frac{7}{3}=2.333$$

表示樣本中綠光的平均反應時間比黃光多 $2.333$ 個時間單位。

二、計算差異分數的樣本標準差

先計算各差異分數與平均數的離差平方：

$$\sum(D_i-\bar D)^2 = \left(3-\frac73\right)^2+ \left(0-\frac73\right)^2+ \left(4-\frac73\right)^2$$ $$= \left(\frac23\right)^2+ \left(-\frac73\right)^2+ \left(\frac53\right)^2 = \frac{4+49+25}{9} = \frac{26}{3}$$

差異分數的樣本變異數為：

$$s_D^2=\frac{\sum(D_i-\bar D)^2}{n-1} =\frac{26/3}{2} =\frac{13}{3}$$

故樣本標準差為：

$$s_D=\sqrt{\frac{13}{3}}$$

三、計算相依樣本 $t$ 值

相依樣本 $t$ 考驗統計量為：

$$t=\frac{\bar D-\mu_{D0}}{s_D/\sqrt n}$$

其中 $\mu_{D0}=0$、$n=3$，所以：

核心觀念

本題考驗兩個類別變項是否相互獨立：

• 變項一：性別（男、女）
• 變項二：打疫苗意願（願意、不願意）

適用「卡方獨立性考驗」。其假設為：

$$H_0：\text{性別與打疫苗意願相互獨立}$$ $$H_1：\text{性別與打疫苗意願不相互獨立}$$

期望次數公式為：

$$E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{總人數}$$

卡方統計量為：

$$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

本題為 $2\times2$ 列聯表，自由度為：

$$df=(2-1)(2-1)=1$$

---

解題方法與計算

觀察次數及邊際合計如下：

	願意打疫苗	不願打疫苗	合計
男	52	22	74
女	36	20	56
合計	88	42	130

在性別與打疫苗意願獨立的假設下，各格期望次數為：

$$E_{\text{男、願意}}=\frac{74\times88}{130}=50.09$$ $$E_{\text{男、不願意}}=\frac{74\times42}{130}=23.91$$ $$E_{\text{女、願意}}=\frac{56\times88}{130}=37.91$$ $$E_{\text{女、不願意}}=\frac{56\times42}{130}=18.09$$

因此：

$$\begin{aligned} \chi^2 &=\frac{(52-50.09)^2}{50.09} +\frac{(22-23.91)^2}{23.91}\\ &\quad+\frac{(36-37.91)^2}{37.91} +\frac{(20-18.09)^2}{18.09}\\ &\approx 0.522 \end{aligned}$$

在 $\alpha=0.05$、$df=1$ 下，卡方臨界值為：

$$\chi^2_{.05,1}=3.841$$

比較結果：

$$0.522<3.841$$

因此不拒絕 $H_0$。以 $p$ 值表示時，$p\approx0.47>0.05$，結論相同。

核心觀念

本題是 $2\times 3$ 獨立樣本二因子變異數分析：

• 因子 A：壓力，2 個水準（高壓力、低壓力）
• 因子 B：教法，3 個水準（教法 1、2、3）
• 每一細格有 $n=4$ 人，共 $N=24$ 人

須檢定：

1. 壓力主要效果
2. 教法主要效果
3. 壓力與教法的交互作用

因為交互作用若顯著，代表教法效果會隨壓力條件而改變，此時不可只解釋整體主要效果，應進一步做單純主要效果分析。

---

解題方法：先求各組平均數

壓力 × 教法	總和	平均數
高壓力、教法 1	9	2.25
高壓力、教法 2	16	4.00
高壓力、教法 3	32	8.00
低壓力、教法 1	28	7.00
低壓力、教法 2	16	4.00
低壓力、教法 3	10	2.50

壓力邊際平均數：

$$\bar X_{\text{高壓}}=\frac{57}{12}=4.75,\qquad \bar X_{\text{低壓}}=\frac{54}{12}=4.50$$

教法邊際平均數：

$$\bar X_{1}=\frac{37}{8}=4.625,\quad \bar X_{2}=\frac{32}{8}=4.000,\quad \bar X_{3}=\frac{42}{8}=5.250$$

總平均數：

$$\bar X=\frac{111}{24}=4.625$$

---

計算各種平方和

總平方和：

$$SS_T=\sum X^2-\frac{G^2}{N}$$

資料平方和為：

$$\sum X^2=705$$

因此：

$$SS_T=705-\frac{111^2}{24} =705-513.375 =191.625$$

誤差平方和可由各細格內平方和計算：

$$\begin{aligned} SS_E &=\left(23-\frac{9^2}{4}\right) +\left(76-\frac{16^2}{4}\right) +\left(270-\frac{32^2}{4}\right)\\ &\quad+\left(200-\frac{28^2}{4}\right) +\left(102-\frac{16^2}{4}\right) +\left(34-\frac{10^2}{4}\right)\\ &=2.75+12+14+4+38+9\\ &=79.75 \end{aligned}$$

壓力主要效果平方和：

$$SS_A =3(4)(4.75^2+4.50^2)-\frac{111^2}{24} =0.375$$

教法主要效果平方和：

$$\begin{aligned} SS_B &=4(2)(4.625^2+4^2+5.25^2)-\frac{111^2}{24}\\ &=25 \end{aligned}$$

交互作用平方和：

$$SS_{AB}=SS_T-SS_A-SS_B-SS_E$$ $$SS_{AB}=191.625-0.375-25-79.75=86.50$$

---

二因子變異數分析表

自由度：

$df_A=2-1=1$

$df_B=3-1=2$

$df_{AB}=(2-1)(3-1)=2$

$df_E=ab(n-1)=2(3)(3)=18$

$df_T=N-1=23$

均方誤差：

$$MS_E=\frac{79.75}{18}=4.4306$$

變異來源	$SS$	$df$	$MS$	$F$
壓力 A	0.375	1	0.375	0.085
教法 B	25.000	2	12.500	2.821
$A\times B$	86.500	2	43.250	9.762
誤差	79.750	18	4.431
總和	191.625	23

在 $\alpha=0.05$ 下：

• $F_{.05}(1,18)\approx 4.41$
• $F_{.05}(2,18)\approx 3.55$

---

整體假設檢定

壓力主要效果：

$$F_A=\frac{0.375}{4.4306}=0.085<4.41$$

不拒絕虛無假設。整體而言，高、低壓力的數學成績沒有顯著差異。

教法主要效果：

$$F_B=\frac{12.5}{4.4306}=2.821<3.55$$

不拒絕虛無假設。整體而言，三種教法的平均成績沒有顯著差異。

交互作用：

$$F_{AB}=\frac{43.25}{4.4306}=9.762>3.55$$

拒絕虛無假設。壓力與教法之間有顯著交互作用，表示教法效果會因壓力條件不同而改變。

因此，本題應繼續做單純主要效果分析，而不宜直接根據整體教法主要效果進行解釋。

---

單純主要效果分析一：分別檢定各壓力下的教法效果

共同誤差均方仍使用：

$$MS_E=4.4306,\qquad df_E=18$$

高壓力下的教法效果

高壓力三組平均數為：

$$2.25,\quad 4.00,\quad 8.00$$

高壓力下教法間平方和：