109 司法特考三等 心理測驗員 心理及教育統計學 考古題詳解

核心觀念

離散量數用來描述資料分散、異質或變異的程度。離散程度越大，觀察值彼此差異通常越大。選用何種離散量數，須配合資料的量尺與分配特性：全距與四分位差著重位置範圍；變異量與標準差則以各觀察值相對於平均數的偏離為基礎。

解題方法與四種離散量數

先將資料由小到大排列，再依序說明各量數的算法、意義與限制。

一、全距（range）

以最大值減最小值：

$$R=X_{\max}-X_{\min}$$

全距表示資料兩端的跨度，計算簡單，適合快速掌握資料範圍。但它只使用最大值和最小值，容易受極端值影響，也未反映中間觀察值的分布情形；樣本數相同的兩組資料即使全距相同，內部排列仍可能差異很大。

二、四分位差（interquartile range）

第一四分位數 $Q_1$ 是第 25 百分位數，第三四分位數 $Q_3$ 是第 75 百分位數。四分位距為：

$$IQR=Q_3-Q_1$$

它表示中間 50% 資料的跨度，較不受極端值影響，適合偏態分配或含離群值的資料。四分位差有時也指半四分位距：

$$QD=\frac{Q_3-Q_1}{2}$$

因此作答時應交代採用的是四分位距 $IQR$，還是半四分位距 $QD$。此量數不使用中央 50% 以外的資料，未能呈現尾端資料的分散情形；四分位數的具體算法也可能因教材採用的分位數定義不同而略有差異。

三、變異量（variance）

變異量是各觀察值與平均數之差的平方，取平均所得。母群體變異量為：

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{N}(X_i-\mu)^2}{N}$$

若資料是由母群體抽出的樣本，常用樣本變異量：

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}{n-1}$$

核心觀念

本題考查常態分配的圖形與數值特徵，以及如何判斷一組資料是否近似常態分配。常態分配是以平均數 $\mu$ 與標準差 $\sigma$ 描述的連續機率分配，其機率密度函數為：

$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right], \qquad -\infty<x<\infty,\ \sigma>0$$

解題方法：常態分配的型態特徵

題目要求說明「兩個」型態特徵，可從圖形外觀與位置、離散程度來回答：

1. 對稱的鐘形曲線：常態曲線以平均數 $\mu$ 為中心左右對稱，平均數、中位數與眾數相等；曲線兩端逐漸接近但不碰到水平軸，且曲線下的總面積為 $1$。
2. 平均數與標準差決定位置及寬窄：$\mu$ 決定曲線中心位置；$\sigma$ 越大，曲線越寬、越平，$\sigma$ 越小，曲線越窄、越高。常態分配亦符合經驗法則：距平均數 $1\sigma$、$2\sigma$、$3\sigma$ 範圍內，約分別涵蓋 $68\%$、$95\%$、$99.7\%$ 的觀察值。

解題方法：檢測常態性的三種方法

1. 直方圖或密度圖 將資料繪成直方圖，觀察是否大致呈單峰、鐘形且左右對稱。這種方法直觀，但受樣本數與分組方式影響；小樣本時，圖形較難判讀。

核心觀念

假設考驗是利用樣本資料，在預先設定的錯誤風險下，判斷資料是否足以反對某個母群體假設。本題重點在於說明假設考驗的標準程序，以及其背後的反證邏輯。

假設考驗通常涉及兩個互斥的假設：

• 虛無假設 $H_0$：研究者暫時採納的基準主張，常表示「無差異」、「無效果」或「無關聯」。
• 對立假設 $H_1$（或 $H_a$）：與 $H_0$ 相對的研究主張，表示存在差異、效果或關聯。

顯著水準 $\alpha$ 是在 $H_0$ 為真時，錯誤拒絕 $H_0$ 的容許機率；$p$ 值則是在 $H_0$ 為真及模型假設成立的前提下，取得目前樣本結果或更極端結果的機率。當 $p \leq \alpha$ 時，拒絕 $H_0$；當 $p > \alpha$ 時，不拒絕 $H_0$。

解題方法：假設考驗的主要步驟

1. 提出研究問題並設定假設 先明確界定要檢驗的母群體參數或研究主張，再寫出 $H_0$ 與 $H_1$。例如，檢驗兩群平均數是否不同，可設 $H_0:\mu_1=\mu_2$，對立假設則依研究問題設為 $\mu_1\ne\mu_2$、$\mu_1>\mu_2$ 或 $\mu_1<\mu_2$。

2. 選定顯著水準 $\alpha$ 在分析樣本結果前，決定可接受的第一類錯誤風險，常用水準為 $0.05$ 或 $0.01$。顯著水準也決定拒絕域的範圍；採雙尾或單尾考驗，須配合對立假設事先決定。

3. 選擇適當的檢定方法與抽樣分配 依研究設計、資料尺度、樣本數、母群體分配及相關統計假設，選擇合適的檢定統計量，例如 $z$ 檢定、$t$ 檢定、卡方檢定或變異數分析，並確認所需假設條件。

4. 訂定決策規則 依 $\alpha$ 與對立假設，決定臨界值及拒絕域；也可採用 $p$ 值法，預先以 $p \leq \alpha$ 作為拒絕 $H_0$ 的標準。

核心觀念

卡方獨立性考驗用於檢驗兩個類別變項是否彼此獨立。其核心邏輯是：若兩變項獨立，各組合類別的觀察次數 $O_{ij}$ 應接近「獨立假設成立時」的期望次數 $E_{ij}$；偏差越大，越不支持獨立假設。

以列變項 $A$ 有 $r$ 類、欄變項 $B$ 有 $c$ 類的交叉表為例：

• 虛無假設 $H_0$：$A$ 與 $B$ 獨立。
• 對立假設 $H_1$：$A$ 與 $B$ 不獨立。
• 第 $i$ 列、第 $j$ 欄的期望次數為

$$E_{ij} = \frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{N}$$

• 卡方統計量為

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$$

在 $H_0$ 成立且抽樣條件適當時，統計量近似服從自由度

$$df=(r-1)(c-1)$$

的卡方分配。卡方值越大，代表觀察次數與獨立假設下的期望次數差異越大。

解題方法與計算步驟

假設調查 100 人的性別與是否支持某政策，得到下表：

	支持	不支持	合計
男性	30	20	50
女性	20	30	50
合計	50	50	100

第一步：設定假設與顯著水準

令性別為列變項、支持態度為欄變項，設定 $H_0$ 為性別與支持態度獨立，$H_1$ 為兩者不獨立。假設採用 $\alpha=.05$。

第二步：計算各格期望次數

例如男性且支持的期望次數為

$$E_{11}=\frac{50\times 50}{100}=25$$

其餘三格依同一公式計算，期望次數皆為 25。因此期望次數表為：

	支持	不支持
男性	25	25
女性	25	25

第三步：計算卡方統計量