113 年地方特考三等化學工程考古題與詳解

Question 1

某批次反應器體積為 $V$，內部進行二級不可逆反應 $Aightarrow B$，且反應速率為 $$ -rA=kCA^2。 $$ 已知初始反應物濃度為 $C{A0}$，轉化率為 $X$。 （一）求反應時間 $t$ 與轉化率 $X$ 間的關係式。（10 分） （二）若反應為一級不可逆反應且 $k=10^{-4}\,	ext{s}^{-1}$，當轉化率達 $90\%$ 時，操作時間約多少秒？（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 批次反應器中，反應物沒有連續進出，定容操作下的物料衡算為 $$ -\frac{dCA}{dt}=-rA。 $$ 轉化率定義為 $$ X=\frac{C{A0}-CA}{C{A0}}, \qquad CA=C{A0}(1-X)。 $$ 本題第一小題為二級反應，需將速率式代入批次反應器物料衡算並積分；第二小題則改為一級反應，使用其批次反應器積分式。 解題方法 （一）二級不可逆反應的時間－轉化率關係 由物料衡算及速率式： $$ -\frac{dCA}{dt}=kCA^2。 $$ 分離變數，並由 $t=0$ 時 $CA=C{A0}$ 積分至時間 $t$ 時的 $CA$： $$ \int{C{A0}}^{CA}\frac{dCA}{CA^2} =-k\int0^t dt。 $$ 積分得 $$ \frac{1}{CA}-\frac{1}{C{A0}}=kt。 $$ 代入 $CA=C{A0}(1-X)$： $$ t=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{C{A0}(1-X)}-\frac{1}{C{A0}}\right) =\boxed{\frac{X}{kC{A0}(1-X)}}。 $$

Question 2

某塞流反應器（Plug flow reactor），入料莫耳流率為 $F{A0}$，空間時間（space time）為 $	au$，初始反應物濃度為 $C{A0}$，轉化率為 $X$。 （一）試求 Damköhler number（$Da$）。（5 分） （二）若均為液相反應 $Aightarrow B$，且反應速率為 $$ -rA=kCA^2， $$ 試以 $Da$ 描述此反應器內轉化率 $X$。（5 分） （三）若均為氣相反應 $Aightarrow B+C$，且反應速率為 $$ -rA=kCA， $$ 求反應器體積 $V$ 與轉化率 $X$ 間的關係式。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 塞流反應器（PFR）的設計方程式為 $$ \frac{dV}{dX}=\frac{F{A0}}{-rA} $$ 若體積流率恆定，空間時間定義為 $	au=V/
u0$，且 $F{A0}=
u0C{A0}$，則可將反應器設計式改寫成以空間時間表示的形式。Damköhler number（$Da$）用來比較反應速率與流動停留時間的相對大小；其定義會隨反應級數採用相應的速率常數尺度。 解題方法 （一）求 Damköhler number 以初始濃度 $C{A0}$ 為基準，$n$ 級反應的速率式寫為 $$ -rA=kCA^n $$ 對應的無因次 Damköhler number 定義為 $$ Da=kC{A0}^{\,n-1}	au $$ 其中 $kC{A0}^{\,n-1}$ 的單位為時間的倒數，因此 $Da$ 為無因次數。特別地，一級反應有 $Da=k	au$；二級反應有 $Da=kC{A0}	au$。 （二）液相 $Aightarrow B$、二級反應 液相反應視為定體積流率，故 $$ CA=C{A0}(1-X) $$ 將二級速率式代入 PFR 設計式： $$ \frac{dV}{dX} =\frac{F{A0}}{kCA^2} =\frac{
u0C{A0}}{kC{A0}^2(1-X)^2} $$ 兩側由 $X=0$ 積分至轉化率 $X$，並使用 $	au=V/
u0$： $$ 	au=\frac{1}{kC{A0}}\int0^X\frac{dX}{(1-X)^2} =\frac{1}{kC{A0}}\left(\frac{1}{1-X}-1ight) =\frac{X}{kC{A0}(1-X)} $$ 由二級反應的 $Da=kC{A0}	au$，可得 $$ Da=\frac{X}{1-X} $$ 因此 $$ X=\frac{Da}{1+Da} $$ （三）氣相 $Aightarrow B+C$、一級反應 氣相反應的總莫耳數由 1 莫耳變為 2 莫耳。假設為理想氣體、等溫等壓操作，定義化學計量膨脹係數

Question 3

某反應物 $A$ 在連續攪拌反應器內同時進行三個平行反應，生成三個產物 $X$、$B$ 與 $Y$。已知 $B$ 為主產物，其對應反應速率式如下： $$ A\xrightarrow{k1}X，\qquad -r{A1}=k1=0.0002； $$ $$ A\xrightarrow{k2}B，\qquad -r{A2}=k2CA=0.0015CA； $$ $$ A\xrightarrow{k3}Y，\qquad -r{A3}=k3CA^2=0.005CA^2。 $$ 求反應器在操作反應物 $A$ 於那一個濃度值（$	ext{kmol}/	ext{m}^3$）下，對應產物 $B$ 的選擇性（selectivity）達最大。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

平行反應的產物瞬時選擇性，定義為目標產物生成速率與副產物生成速率的比值。題目未指定副產物的個別比較方式，因此採用常見定義： $B$ 的生成速率除以其他產物 $X$ 、 $Y$ 的總生成速率。

由化學計量關係，各反應每消耗 1 mol 的 $A$ 生成 1 mol 對應產物，故：

S_B=\frac{r_B}{r_X+r_Y} =\frac{-r_{A2}}{(-r_{A1})+(-r_{A3})}

解題方法

代入題目所給速率式：

S_B(C_A) =\frac{0.0015C_A}{0.0002+0.005C_A^2}

求使選擇性最大的操作濃度，對 $C_A$ 微分並令導數為零：

\frac{dS_B}{dC_A} =\frac{0.0015(0.0002+0.005C_A^2) -(0.0015C_A)(0.01C_A)} {(0.0002+0.005C_A^2)^2}

整理分子：

Question 4

【此處有附圖，請對照原卷】 如圖一所述，開始時連續式攪拌槽含有 $500\ 	ext{kg}$ 的 $10\%$ 鹽水。當入料於（1）位置以 $10\ 	ext{kg}/	ext{h}$ 的 $20\%$ 鹽水注入，均勻攪拌後在（2）位置以 $5\ 	ext{kg}/	ext{h}$ 流出。（鹽水濃度皆為重量百分率。） （一）寫出槽內總量 $M$（kg）與時間 $t$ 間的關係式。（5 分） （二）寫出（2）位置鹽水濃度 $w(\%)$ 與時間 $t$ 間的關係式。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查連續式攪拌槽的總量平衡與鹽分（溶質）平衡： $$ 	ext{累積量}=	ext{流入量}-	ext{流出量} $$ 因槽內均勻攪拌，所以出口鹽水濃度等於槽內瞬時濃度： $$ w(t)=\frac{S(t)}{M(t)} $$ 其中： - $M(t)$：槽內鹽水總質量，單位為 $	ext{kg}$ - $S(t)$：槽內鹽分質量，單位為 $	ext{kg}$ - $w(t)$：鹽水重量百分濃度 --- （一）槽內總量 $M$ 與時間 $t$ 的關係 流入總量為 $10\ 	ext{kg/h}$，流出總量為 $5\ 	ext{kg/h}$，因此： $$ \frac{dM}{dt}=10-5=5 $$ 初始時槽內有： $$ M(0)=500\ 	ext{kg} $$ 積分得： $$ M(t)=500+5t $$ 其中 $t$ 的單位為小時。 --- （二）出口鹽水濃度 $w$ 與時間 $t$ 的關係 1. 建立鹽分平衡 初始鹽分為： $$ S(0)=500(0.10)=50\ 	ext{kg} $$ 流入鹽分速率： $$ 10(0.20)=2\ 	ext{kg/h} $$ 槽內鹽水濃度為 $S/M$，故流出鹽分速率為： $$ 5\frac{S}{M} $$ 鹽分平衡式為： $$ \frac{dS}{dt}=2-5\frac{S}{M} $$ 代入 $M=500+5t=5(t+100)$： $$ \frac{dS}{dt} =2-\frac{S}{t+100} $$ 整理為一階線性微分方程： $$ \frac{dS}{dt}+\frac{1}{t+100}S=2 $$ 2. 解微分方程 積分因子為： $$ \mu(t)=e^{\int \frac{1}{t+100}\,dt}=t+100 $$ 方程式乘以積分因子：

Question 5

【題組共用題幹】 如圖二所述，（1）位置密度 $\rho1$ 流體以速度 $v1$ 進入截面積 $A1$ 水平噴嘴，密度 $\rho2$ 流體於（2）位置其截面積 $A2$ 以速度 $v2$ 噴出。若為層流（laminar flow），則定義動量速度因子 $$ \beta=\frac{(v{\mathrm{av}})^2}{(v^2){\mathrm{av}}}， $$ 其中 $$ (v^2){\mathrm{av}}=\frac{1}{A}\iintA v^2\,dA， $$ 且 $v{\mathrm{av}}$ 為平均速度。 【此處有附圖，請對照原卷】 （一）寫出流體在截面積 $A=\pi R^2$ 管內的層流速度 $v$ 與位置 $r$ 及 $v{\mathrm{av}}$ 間的關係式。（5 分） （二）求 $\beta$ 值。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查圓管內充分發展層流的速度分布，以及動量速度因子 $\beta$ 的定義：

\beta=\frac{(v_{\mathrm{av}})^2}{(v^2)_{\mathrm{av}}}

其中

(v^2)_{\mathrm{av}}=\frac{1}{A}\iint_A v^2\,dA

圓管層流的速度分布為拋物線型，管壁處速度為零，中心軸線處速度最大。

（一）層流速度分布

對半徑為 $R$ 的圓管，距離中心軸線 $r$ 處的軸向速度為

v(r)=v_{\max}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)

圓管層流中，中心最大速度與平均速度的關係為

v_{\max}=2v_{\mathrm{av}}

因此速度與 $r$ 、 $v_{\mathrm{av}}$ 的關係式為

\boxed{v(r)=2v_{\mathrm{av}}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)}

其中：

$r=0$ 時， $v=v_{\max}=2v_{\mathrm{av}}$
$r=R$ 時， $v=0$

這也符合管壁無滑動條件。

（二）求動量速度因子 $\beta$

1. 求 $(v^2)_{\mathrm{av}}$

圓管截面上的面積微元為

dA=2\pi r\,dr

管截面積為

A=\pi R^2

由速度分布式：

v=2v_{\mathrm{av}}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)

所以

v^2=4v_{\mathrm{av}}^2 \left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)^2

代入面積平均定義：

(v^2)_{\mathrm{av}} =\frac{1}{\pi R^2} \int_0^R 4v_{\mathrm{av}}^2 \left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)^2 (2\pi r\,dr)

整理得

Question 6

【此處有附圖，請對照原卷】 如圖三所述，長度 $L=0.964\ 	ext{m}$ 的冷凝管，已知 $r1=5\ 	ext{mm}$ 與 $r2=20\ 	ext{mm}$，熱傳導係數為 $$ k=0.151\ 	ext{W}/(	ext{m}\cdot	ext{K})。 $$ （一）若內外管壁溫度分別為 $274.9\ 	ext{K}$ 與 $297.1\ 	ext{K}$，求移除多少熱流量（W）。（5 分） （二）若管外包覆厚度 $20\ 	ext{mm}$ 絕熱材質，其熱傳導係數為 $$ k=0.0692\ 	ext{W}/(	ext{m}\cdot	ext{K})， $$ 置於環境溫度為 $285.1\ 	ext{K}$ 且熱傳係數（heat transfer coefficient） $$ h=34\ 	ext{W}/(	ext{m}^2\cdot	ext{K}) $$ 之流體中。求散失熱流量（W）與臨界半徑（critical radius）。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查圓筒壁的穩態一維徑向熱傳導，以及圓筒保溫層與外部對流的串聯熱阻。

圓筒壁導熱熱阻為

R_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi kL}

外表面對流熱阻為

R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h(2\pi r_oL)}

熱流量則由

\dot Q=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{total}}}

求得。

（一）圓筒壁導熱熱流量

已知

r_1=0.005\ \mathrm{m},\qquad r_2=0.020\ \mathrm{m}

L=0.964\ \mathrm{m},\qquad k=0.151\ \mathrm{W/(m\cdot K)}

內、外管壁溫度分別為

T_1=274.9\ \mathrm{K},\qquad T_2=297.1\ \mathrm{K}

圓筒壁的熱傳導熱阻為

R_{\mathrm{cond}} =\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi kL}

因此

\dot Q = \frac{2\pi kL(T_2-T_1)} {\ln(r_2/r_1)}

代入數值：

\dot Q = \frac{2\pi(0.151)(0.964)(297.1-274.9)} {\ln(0.020/0.005)}

= \frac{2\pi(0.151)(0.964)(22.2)} {\ln 4}

\boxed{\dot Q=14.65\ \mathrm{W}}

熱量由外管壁 $297.1\ \mathrm{K}$ 傳向內管壁 $274.9\ \mathrm{K}$ ，所以移除熱量為約

\boxed{14.6\ \mathrm{W}}

（二）包覆絕熱材料後的散失熱流量

本小題沿用（一）所給的內管壁溫度

T_1=274.9\ \mathrm{K}

絕熱層厚度為 $20\ \mathrm{mm}$ ，故其外半徑為

r_3=r_2+0.020=0.040\ \mathrm{m}

環境溫度及對流係數為

T_\infty=285.1\ \mathrm{K},\qquad h=34\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}

熱量由環境流體經過外部對流、絕熱層導熱及管壁導熱，最後傳至內管壁。因此總熱阻為三者串聯：

R_{\mathrm{total}} = R_{\mathrm{pipe}} + R_{\mathrm{ins}} + R_{\mathrm{conv}}

1. 管壁導熱熱阻

R_{\mathrm{pipe}} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k_{\mathrm{pipe}}L}

R_{\mathrm{pipe}} = \frac{\ln(0.020/0.005)} {2\pi(0.151)(0.964)} = 1.516\ \mathrm{K/W}

2. 絕熱層導熱熱阻

絕熱材料熱傳導係數為

Question 7

某純氮氣平行通過面積 $0.6\ 	ext{m}^2$ 的丙酮液體表面。若丙酮液體溫度為 $290\ 	ext{K}$，其蒸氣壓為 $$ 2.148	imes10^4\ 	ext{Pa}， $$ 且丙酮擴散至氮氣的質傳係數為 $0.0324\ 	ext{m}/	ext{s}$，求丙酮擴散至氮氣中的流量（$	ext{kmol}/	ext{s}$）？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查氣體中丙酮的對流質傳。以氣相質傳係數 $kc$ 表示時，丙酮莫耳通量可寫為 $$ NA=kc(C{A,s}-C{A,b}), $$ 其中 $C{A,s}$ 是液面處丙酮在氣相中的莫耳濃度，$C{A,b}$ 是主流氣體中的丙酮莫耳濃度。純氮氣流過液面，因此主流中不含丙酮，$C{A,b}=0$。 解題方法 假設氣體為理想氣體，且液面處氣相與液態丙酮達氣液平衡，則液面處丙酮分壓等於其蒸氣壓 $pA^=2.148	imes10^4\ 	ext{Pa}$。由理想氣體關係式， $$ C{A,s}=\frac{pA^}{RT}. $$ 代入 $R=8.314\ 	ext{Pa}\cdot	ext{m}^3/(	ext{kmol}\cdot	ext{K})$、$T=290\ 	ext{K}$：

113 地方特考三等化學工程反應工程及單元操作考古題詳解

第一題10 分

核心觀念

解題方法

（一）二級不可逆反應的時間－轉化率關係

第二題5 分

核心觀念

解題方法

（一）求 Damköhler number

（二）液相 $A\rightarrow B$ 、二級反應

（三）氣相 $A\rightarrow B+C$ 、一級反應

第三題10 分

核心觀念

解題方法

第四題5 分

核心觀念

（一）槽內總量 $M$ 與時間 $t$ 的關係

（二）出口鹽水濃度 $w$ 與時間 $t$ 的關係

1. 建立鹽分平衡

2. 解微分方程

第五題5 分

核心觀念

（一）層流速度分布

（二）求動量速度因子 $\beta$

1. 求 $(v^2)_{\mathrm{av}}$

第六題5 分

核心觀念

（一）圓筒壁導熱熱流量

（二）包覆絕熱材料後的散失熱流量

1. 管壁導熱熱阻

2. 絕熱層導熱熱阻

第七題10 分

其他考古題

113 年化學工程的其他科目

113 地方特考三等 化學工程 反應工程及單元操作 考古題詳解

第 一 題10 分

核心觀念

解題方法

（一）二級不可逆反應的時間－轉化率關係

第 二 題5 分

核心觀念

解題方法

（一）求 Damköhler number

（二）液相 A→BA\rightarrow BA→B、二級反應

（三）氣相 A→B+CA\rightarrow B+CA→B+C、一級反應

第 三 題10 分

核心觀念

解題方法

第 四 題5 分

核心觀念

（一）槽內總量 MMM 與時間 ttt 的關係

（二）出口鹽水濃度 www 與時間 ttt 的關係

1. 建立鹽分平衡

2. 解微分方程

第 五 題5 分

核心觀念

（一）層流速度分布

（二）求動量速度因子 β\betaβ

1. 求 (v2)av(v^2)_{\mathrm{av}}(v2)av​

第 六 題5 分

核心觀念

（一）圓筒壁導熱熱流量

（二）包覆絕熱材料後的散失熱流量

1. 管壁導熱熱阻

2. 絕熱層導熱熱阻

第 七 題10 分

其他考古題

113 年化學工程的其他科目

113 地方特考三等化學工程反應工程及單元操作考古題詳解

第一題10 分

第二題5 分

（二）液相 $A\rightarrow B$ 、二級反應

（三）氣相 $A\rightarrow B+C$ 、一級反應

第三題10 分

第四題5 分

（一）槽內總量 $M$ 與時間 $t$ 的關係

（二）出口鹽水濃度 $w$ 與時間 $t$ 的關係

第五題5 分

（二）求動量速度因子 $\beta$

1. 求 $(v^2)_{\mathrm{av}}$

第六題5 分

第七題10 分