110 年地方特考三等電子工程考古題與詳解

Question 1

限定使用反矩陣法求解下列線性方程組： $$ \begin{aligned} x1 - x2 + x3 &= 1 \ 2x1 + x2 + 2x3 &= 2 \ 3x1 + 2x2 - x3 &= -3 \end{aligned} $$

Accepted Answer

核心觀念 本題要求以「反矩陣法」求解線性方程組。將方程組寫成矩陣形式： $$ A\mathbf{x}=\mathbf{b} $$ 其中 $$ A= \begin{bmatrix} 1&-1&1\ 2&1&2\ 3&2&-1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x1\x2\x3 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{b}= \begin{bmatrix} 1\2\-3 \end{bmatrix}. $$ 若 $\det(A)
eq 0$，則 $A^{-1}$ 存在，且 $$ \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. $$ 反矩陣可利用伴隨矩陣公式求得： $$ A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A). $$ --- 解題方法 一、計算行列式 $\det(A)$ $$ \begin{aligned} \det(A) &= \begin{vmatrix} 1&-1&1\ 2&1&2\ 3&2&-1 \end{vmatrix} \ &= 1 \begin{vmatrix} 1&2\ 2&-1 \end{vmatrix} -(-1) \begin{vmatrix} 2&2\ 3&-1 \end{vmatrix} +1 \begin{vmatrix} 2&1\ 3&2 \end{vmatrix} \ &=1(-1-4)+1(-2-6)+(4-3)\ &=-5-8+1\ &=-12. \end{aligned} $$ 因為 $$ \det(A)=-12
eq 0, $$ 所以 $A^{-1}$ 存在，方程組有唯一解。 --- 二、計算餘因子矩陣 各元素的代數餘因子如下： $$ C{11}= \begin{vmatrix} 1&2\ 2&-1 \end{vmatrix} =-5, $$ $$ C{12}=- \begin{vmatrix} 2&2\ 3&-1 \end{vmatrix} =8, \qquad C{13}= \begin{vmatrix} 2&1\ 3&2 \end{vmatrix} =1. $$ $$ C{21}=- \begin{vmatrix} -1&1\ 2&-1 \end{vmatrix} =1, $$ $$ C{22}= \begin{vmatrix} 1&1\ 3&-1 \end{vmatrix} =-4, \qquad C{23}=- \begin{vmatrix} 1&-1\ 3&2 \end{vmatrix} =-5. $$ $$ C{31}= \begin{vmatrix} -1&1\ 1&2 \end{vmatrix} =-3, $$

Question 2

已知函數 $f(z) = \frac{-3z+5}{z(z^2-3z+2)}$，求圍線積分 $\ointC f(z)dz$，其中 $C$ 為 $|z| = \frac{3}{2}$ 之圓且路徑為逆時針方向。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查複變函數的： 1. 有理函數因式分解。 2. 奇點與極點位置判斷。 3. 留數定理（Residue Theorem）。 留數定理指出，若函數在閉曲線 $C$ 內部除有限個孤立奇點外皆解析，且 $C$ 為逆時針方向，則 $$ \ointC f(z)\,dz = 2\pi i\sum \operatorname{Res}(f;zk), $$ 其中 $zk$ 為曲線 $C$ 內部的奇點。 本題不涉及法條；若涉及法規題，應以命題當年（民國 110 年）法規為準。 解題方法 先將分母因式分解： $$ z^2-3z+2=(z-1)(z-2), $$ 因此 $$ f(z)=\frac{-3z+5}{z(z-1)(z-2)}. $$ 函數的奇點為 $$ z=0,\quad z=1,\quad z=2. $$ 圓周為 $$ |z|=\frac32. $$ 逐一判斷各奇點與圓的位置： - $|0|=0<\frac32$，所以 $z=0$ 在圓內。 - $|1|=1<\frac32$，所以 $z=1$ 在圓內。 - $|2|=2\frac32$，所以 $z=2$ 在圓外。 因此只需計算 $z=0$ 與 $z=1$ 的留數。 $z=0$ 的留數 因為 $z=0$ 為單極點， $$ \operatorname{Res}(f;0) = \lim{z	o 0} zf(z). $$ 故

Question 3

假設函數 $f(x) = x + \pi$，且 $-\pi < x < \pi$（週期為 $2\pi$），試求傅立葉（Fourier）級數展開式並以此結果驗證下列等式成立： $$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots$$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查週期為 $2\pi$ 的 Fourier 級數展開。對定義在 $-\pi<x<\pi$ 的函數 $f(x)$，其 Fourier 級數為 $$ f(x)\sim \frac{a0}{2}+\sum{n=1}^{\infty}\left(an\cos nx+bn\sin nx\right), $$ 其中 $$ a0=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx, $$ $$ an=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx, \qquad bn=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx. $$ 本題函數為 $$ f(x)=x+\pi. $$ 其中 $\pi$ 為常數項，$x$ 為奇函數，因此可利用奇偶性簡化積分。 --- 解題方法 一、求 $a0$ $$ a0=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}(x+\pi)\,dx. $$ 由於 $x$ 為奇函數， $$ \int{-\pi}^{\pi}x\,dx=0. $$ 因此 $$ a0 =\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}\pi\,dx =\frac{1}{\pi}(2\pi^2) =2\pi. $$ 所以常數項為 $$ \frac{a0}{2}=\pi. $$ --- 二、求 $an$ $$ an=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}(x+\pi)\cos nx\,dx. $$ 分別考察兩部分： - $x\cos nx$：奇函數乘偶函數，為奇函數； - $\pi\cos nx$：其積分為 $$ \int{-\pi}^{\pi}\cos nx\,dx =\left[\frac{\sin nx}{n}\right]{-\pi}^{\pi}=0. $$ 因此 $$ an=0. $$ --- 三、求 $bn$ $$ bn=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}(x+\pi)\sin nx\,dx. $$ 其中： - $x\sin nx$：奇函數乘奇函數，為偶函數； - $\pi\sin nx$：為奇函數，在對稱區間上的積分為 $0$。 故 $$ bn=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}x\sin nx\,dx =\frac{2}{\pi}\int0^\pi x\sin nx\,dx. $$ 使用分部積分，令 $$ u=x,\qquad dv=\sin nx\,dx, $$ 則 $$ du=dx,\qquad v=-\frac{\cos nx}{n}. $$ 因此 $$ \int0^\pi x\sin nx\,dx = \left[-\frac{x\cos nx}{n}\r…

Question 4

某工廠使用 A、B、C 三台機器製造產品，假設每台機器各自製造出 25%、35%、30% 的產品，而這三台機器製造出的產品瑕疵率分別為 5%、3%、4%。若取出一個產品經檢驗為瑕疵品，請問使用 A、B、C 三台機器製造此一瑕疵品的機率各是多少？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查貝氏定理（Bayes’ theorem），利用已知產品為瑕疵品的條件，反推該產品由哪一台機器製造。 設： - $A$：產品由機器 A 製造 - $B$：產品由機器 B 製造 - $C$：產品由機器 C 製造 - $D$：產品為瑕疵品 已知： $$ P(A)=25\%,\quad P(B)=35\%,\quad P(C)=30\% $$ $$ P(D\mid A)=5\%,\quad P(D\mid B)=3\%,\quad P(D\mid C)=4\% $$ 要求的是： $$ P(A\mid D),\quad P(B\mid D),\quad P(C\mid D) $$ 即「已知產品是瑕疵品時，它分別來自 A、B、C 機器的機率」。 --- 解題方法 一、先計算各機器產出瑕疵品的聯合機率 產品同時「由某機器製造」且「為瑕疵品」的機率為： $$ P(A\cap D)=P(A)P(D\mid A) $$ 因此： $$ P(A\cap D)=0.25	imes 0.05=0.0125 $$ 同理： $$ P(B\cap D)=0.35	imes 0.03=0.0105 $$ $$ P(C\cap D)=0.30	imes 0.04=0.012 $$ 二、計算瑕疵品的總機率 在只考慮 A、B、C 三台機器的前提下： $$ P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)+P(C\cap D) $$ $$ P(D)=0.0125+0.0105+0.012=0.035 $$ 三、套用貝氏定理 貝氏定理為： $$ P(A\mid D)=\frac{P(A)P(D\mid A)}{P(D)} $$ 所以： $$ P(A\mid D)=\frac{0.0125}{0.035} =\frac{5}{14} \approx 35.71\% $$ 機器 B： $$ P(B\mid D)=\frac{0.0105}{0.035} =0.30=30\% $$

Question 5

若多項式 $p1(x) = x^2 - 2x + 1$，$p2(x) = 2x^2 + ax - 1$，$p3(x) = x^2 + x + b$ 所拓展（span）的子空間維度為 3，則 $(a, b)$ 為何？ (A) $(2, -\frac{1}{2})$ (B) $(1, 2)$ (C) $(1, -\frac{4}{5})$ (D) $(0, -\frac{5}{4})$

Accepted Answer

核心觀念 多項式視為其係數向量，則 $$ p1(x)=x^2-2x+1 \longleftrightarrow (1,-2,1), $$ $$ p2(x)=2x^2+ax-1 \longleftrightarrow (2,a,-1), $$ $$ p3(x)=x^2+x+b \longleftrightarrow (1,1,b). $$ 三個多項式所張成的子空間維度為 $3$，表示三個係數向量線性獨立。因此，將三個向量組成矩陣後，其行列式必須不等於 $0$。 解題方法 取係數矩陣 $$ A= \begin{bmatrix} 1&2&1\ -2&a&1\ 1&-1&b \end{bmatrix}. $$ 三個多項式線性獨立的條件為 $$ \det(A)
eq 0. $$ 沿第一列展開： $$ \begin{aligned} \det(A) &=1 \begin{vmatrix} a&1\ -1&b \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} -2&1\ 1&b \end{vmatrix} +1 \begin{vmatrix} -2&a\ 1&-1 \end{vmatrix}\ &=(ab+1)-2(-2b-1)+(2+a)\ &=ab+a+4b+5. \end{aligned} $$ 所以維度為 $3$ 的條件是 $$ ab+a+4b+5
eq 0. $$ 代入官方答案選項 $\mathrm{(A)}$： $$ (a,b)=\left(2,-\frac12ight), $$ 得 $$ ab+a+4b+5 =2\left(-\frac12ight)+2+4\left(-\frac12ight)+5 =4
eq 0. $$ 因此三個多項式線性獨立，所張成的子空間維度確實為 $3$。 選項分析 - (A) $\left(2,-\frac12ight)$

Answer

答案：A

Question 6

某向量經過線性轉換（linear transformation）$T = \begin{bmatrix} 1 & -\sqrt{3} \ \sqrt{3} & 1 \end{bmatrix}$ 之後，長度被放大 $r$ 倍，逆時針旋轉 $	heta$ 角度。$r$ 和 $	heta$ 分別為何？ (A) $r = \sqrt{3}$，$	heta = 60^\circ$ (B) $r = 1$，$	heta = 30^\circ$ (C) $r = 2$，$	heta = 60^\circ$ (D) $r = 2$，$	heta = 30^\circ$

Accepted Answer

核心觀念 平面上的旋轉與伸縮可表示為 $$ T=r \begin{bmatrix} \cos	heta & -\sin	heta\ \sin	heta & \cos	heta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r\cos	heta & -r\sin	heta\ r\sin	heta & r\cos	heta \end{bmatrix}. $$ 其中： - $r$ 為向量長度的放大倍數； - $	heta$ 為逆時針旋轉角度； - 矩陣形式中的負號位置，符合逆時針旋轉的標準表示法。 題目給定 $$ T= \begin{bmatrix} 1&-\sqrt{3}\ \sqrt{3}&1 \end{bmatrix}. $$ 需與標準形式逐項比較。 --- 解題方法 由矩陣對應關係可得 $$ r\cos	heta=1, $$ 以及 $$ r\sin	heta=\sqrt{3}. $$ 先求放大倍數 $r$。將兩式平方後相加： $$ (r\cos	heta)^2+(r\sin	heta)^2 =1^2+(\sqrt{3})^2. $$ 利用 $\cos^2	heta+\sin^2	heta=1$： $$ r^2(\cos^2	heta+\sin^2	heta)=1+3, $$ 因此 $$ r^2=4, \qquad r=2. $$ 因為放大倍數取正值，故 $$ r=2. $$ 再求旋轉角度： $$ 	an	heta = \frac{r\sin	heta}{r\cos	heta} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}. $$ 因此 $$ 	heta=60^\circ. $$ 也可直接將矩陣寫成 $$ \begin{bmatrix} 1&-\sqrt{3}\ \sqrt{3}&1 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} \frac12&-\frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2}&\frac12 \end{bmatrix}. $$ 由 $$ \cos60^\circ=\frac12, \qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, $$ 可知此轉換先將長度放大 $2$ 倍，再逆時針旋轉 $60^\circ$。 --- 幾何意義驗證 對任意向量 $\boldsymbol{x}$，其轉換後長度平方為 $$ \|T\boldsymbol{x}\|^2 = \boldsymbol{x}^{T}T^{T}T\boldsymbol{x}. $$ 計算得 $$ T^T T = \begin{bmatrix} 1&\sqrt3\ -\sqrt3&1 \end{bmatrix} \begin{bmat…

Answer

答案：C

Question 7

矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & -2 & 0 \ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，則 $\det(-A^5)$ 為何？ (A) 32 (B) 0 (C) -16 (D) -32

Accepted Answer

核心觀念 本題考查行列式的基本性質： 1. 若 $A$ 為 $n 	imes n$ 矩陣，則 $$\det(cA)=c^n\det(A)$$ 2. 矩陣乘積的行列式為 $$\det(AB)=\det(A)\det(B)$$ 因此 $$\det(A^5)=\det(A)^5$$ 本題矩陣 $A$ 為 $3 	imes 3$ 矩陣，且要求 $\det(-A^5)$。 --- 解題方法 先計算 $\det(A)$： $$ A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\ 0 & -2 & 0\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 沿第二欄展開，因為第二欄只有中間元素非零： $$ \det(A) = (-2)(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1\ 2 & 1 \end{vmatrix} $$ 其中 $$ \begin{vmatrix} 1 & 1\ 2 & 1 \end{vmatrix} =1\cdot 1-1\cdot 2=-1 $$ 所以 $$ \det(A)=(-2)(-1)=2 $$ 接著利用行列式性質： $$ \det(A^5)=\det(A)^5=2^5=32 $$ 由於 $A^5$ 是 $3 	imes 3$ 矩陣，因此 $$ \det(-A^5)=(-1)^3\det(A^5) $$ 故

Answer

答案：D

Question 8

矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，下列何者為其特徵向量（eigenvector）？ (A) $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$ (B) $\begin{bmatrix} 1 \ -1 \ 0 \end{bmatrix}$ (C) $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ -1 \end{bmatrix}$ (D) $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ -1 \end{bmatrix}$

Accepted Answer

核心觀念 特徵向量的定義是：對非零向量 $\mathbf{x}$，若存在純量 $\lambda$ 使得 $$ A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}, $$ 則稱 $\mathbf{x}$ 為矩陣 $A$ 的特徵向量，$\lambda$ 稱為對應的特徵值。 本題應逐一將各選項向量代入矩陣，檢查結果是否為原向量的純量倍數。 --- 解題方法 矩陣為 $$ A= \begin{bmatrix} 1&1&1\ 0&0&1\ 0&0&1 \end{bmatrix}. $$ 對任一向量 $\mathbf{x}=[x,y,z]^T$， $$ A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x+y+z\ z\ z \end{bmatrix}. $$ 只要檢查 $A\mathbf{x}$ 是否能寫成 $\lambda\mathbf{x}$ 即可。 --- 選項分析 (A) $\begin{bmatrix}1\1\1\end{bmatrix}$ $$ A \begin{bmatrix} 1\1\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1+1\ 1\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\1\1 \end{bmatrix}. $$ 若為特徵向量，應存在 $\lambda$ 使 $$ \begin{bmatrix} 3\1\1 \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} 1\1\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda\\lambda\\lambda \end{bmatrix}. $$ 但三個分量分別為 $3,1,1$，不可能具有相同的 $\lambda$，因此依標準定義，(A) 不是特徵向量。 --- (B) $\begin{bmatrix}1\-1\0\end{bmatrix}$ $$ A \begin{bmatrix} 1\-1\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-1+0\ 0\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\0\0 \end{bmatrix}. $$ 因此 $$ A \begin{bmatrix} 1\-1\0 \end{bmatrix} = 0 \begin{bmatrix} 1\-1\0 \end{bmatrix}. $$

Answer

答案：A

Question 9

令 $z = x + iy$，$i$ 為單位虛數，則 $e^{z^2}$ 的虛部為何？ (A) $-e^{x^2-y^2}\sin(2xy)$ (B) $e^{x^2-y^2}\sin(2xy)$ (C) $-e^{x^2-y^2}\cos(2xy)$ (D) $e^{x^2-y^2}\cos(2xy)$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查複數的乘方，以及 Euler 公式： $$ e^{i	heta}=\cos	heta+i\sin	heta $$ 令 $$ z=x+iy $$ 則先求出 $z^2$，再利用指數函數的性質與 Euler 公式，判斷 $e^{z^2}$ 的虛部。 --- 解題方法 先將 $z$ 平方： $$ z^2=(x+iy)^2 $$ $$ =x^2+2xyi+(iy)^2 $$ 因為 $i^2=-1$，所以 $$ z^2=x^2-y^2+2xyi $$ 因此 $$ e^{z^2}=e^{x^2-y^2+2xyi} $$ 利用 $e^{a+b}=e^ae^b$： $$ e^{z^2}=e^{x^2-y^2}e^{i(2xy)} $$ 再套用 Euler 公式： $$ e^{i(2xy)}=\cos(2xy)+i\sin(2xy) $$ 所以 $$ e^{z^2} =e^{x^2-y^2}\left[\cos(2xy)+i\sin(2xy)ight] $$ 展開後： $$ e^{z^2} =e^{x^2-y^2}\cos(2xy) +i\,e^{x^2-y^2}\sin(2xy) $$ 複數的虛部就是 $i$ 的係數，因此 $$ \operatorname{Im}(e^{z^2}) =e^{x^2-y^2}\sin(2xy) $$ --- 選項分析

Answer

答案：B

Question 10

矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \ a & 0 & 2 \ 1 & 3 & b \end{bmatrix}$，其特徵多項式（characteristic polynomial）為 $-\lambda^3 + c\lambda^2 - 3\lambda - 2$。則 $4a - b - c$ 為何？ (A) 16 (B) 7 (C) 2.5 (D) -2

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣特徵多項式的係數與矩陣基本量之關係。對三階矩陣而言， $$ \det(A-\lambda I) =-\lambda^3+(\operatorname{tr}A)\lambda^2 -\left(	ext{二階主子式總和}ight)\lambda+\det A。 $$ 其中： - $\lambda^2$ 的係數為矩陣的跡； - $\lambda$ 的係數為二階主子式總和的相反數； - 常數項為 $\det A$。 --- 解題方法 矩陣為 $$ A= \begin{bmatrix} 1&2&1\ a&0&2\ 1&3&b \end{bmatrix}. $$ 由特徵多項式 $$ -\lambda^3+c\lambda^2-3\lambda-2 $$ 可先比較 $\lambda^2$ 係數： $$ c=\operatorname{tr}A=1+0+b=1+b。 $$ 再計算二階主子式： $$ \begin{vmatrix}1&2\a&0\end{vmatrix}=-2a, $$ $$ \begin{vmatrix}1&1\1&b\end{vmatrix}=b-1, $$ $$ \begin{vmatrix}0&2\3&b\end{vmatrix}=-6。 $$ 因此二階主子式總和為 $$ -2a+(b-1)-6=b-2a-7。 $$ 由於 $\lambda$ 係數為其相反數，故 $$ -(b-2a-7)=-3, $$ 得到 $$ b-2a=10。 	ag{1} $$ 接著計算行列式： $$ \begin{aligned} \det A &= 1\begin{vmatrix}0&2\3&b\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}a&2\1&b\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}a&0\1&3\end{vmatrix}\ &=-6-2(ab-2)+3a\ &=3a-2ab-2。 \end{aligned} $$ 常數項為 $-2$，所以

Answer

答案：D

Question 11

微分方程式 $y' - \cos(x)y = -1$，初始值 $y(\pi) = A$。若 $y(x)$ 的級數解為 $y(x) = \sum{n=0}^{\infty} an (x-\pi)^n$，則 $a3$ 為何？ (A) $-\frac{1}{6}$ (B) $\frac{1}{6}$ (C) $-\frac{A}{6}$ (D) $-\frac{1-A}{2}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查常微分方程式（ODE）之泰勒級數解（冪級數解）與逐次微分法（Successive Differentiation）： 1. 泰勒級數展開係數公式：若函數 $y(x)$ 在 $x = x0$ 處展開為冪級數 $y(x) = \sum{n=0}^{\infty} an (x-x0)^n$，則各項係數滿足： $$an = \frac{y^{(n)}(x0)}{n!}$$ 因此，$a3 = \frac{y'''(\pi)}{3!} = \frac{y'''(\pi)}{6}$。 2. 逐次微分法：利用給定的微分方程式與初始條件，對自變數連續微分，依序遞迴解出各階導數在初始點的值 $y(\pi), y'(\pi), y''(\pi), y'''(\pi)$。 3. 三角函數特殊角數值：$\cos(\pi) = -1$、$\sin(\pi) = 0$。 --- 解題方法 求取低階冪級數係數時，以逐次微分法最為直接且不易繁瑣出錯。 步驟一：由初始條件確認零階導數 已知初始條件： $$y(\pi) = A \implies a0 = A$$ 步驟二：由原微分方程求一階導數 $y'(\pi)$ 題目給定微分方程式： $$y' - \cos(x)y = -1 \implies y' = \cos(x)y - 1$$ 將 $x = \pi$ 代入： $$y'(\pi) = \cos(\pi)y(\pi) - 1 = (-1)(A) - 1 = -(A + 1)$$ 此即對應 $a1 = y'(\pi) = -(A + 1)$。 步驟三：微分一次求二階導數 $y''(\pi)$ 對 $y' = \cos(x)y - 1$ 兩邊對 $x$ 微分： $$y'' = -\sin(x)y + \cos(x)y'$$ 將 $x = \pi$ 代入（注意 $\sin(\pi) = 0$、$\cos(\pi) = -1$）： $$y''(\pi) = -\sin(\pi)y(\pi) + \cos(\pi)y'(\pi) = 0 + (-1)[-(A + 1)] = A + 1$$ 此即對應 $a2 = \frac{y''(\pi)}{2!} = \frac{A + 1}{2}$。 步驟四：再微分一次求三階導數 $y'''(\pi)$ 對 $y'' = -\sin(x)y + \cos(x)y'$ 兩邊對 $x$ 微分： $$y''' = -\cos(x)y - \sin(x)y' - \sin(x)y' + \cos(x)y'' = -\cos(x)y - 2\sin(x)y' + \cos(x)y''$$ 將 $x = \pi$ 代入： $$y'''(\pi) = -\cos(\pi)y(\pi) - 2\sin(\pi)y'(\pi) + \cos(\pi)y''(\pi…

Answer

答案：B

Question 12

函數 $f(x) = e^{2x}$，$-1 \le x \le 1$，其傅立葉級數（Fourier series）在 $x = -1$ 時收斂於 $A$，在 $x = 0$ 時收斂於 $B$，在 $x = 1$ 時收斂於 $C$。則 $A + B + C$ 為何？ (A) $\frac{e^2 - e^{-2} + 1}{2}$ (B) $\frac{e^2 + e^{-2} + 1}{2}$ (C) $\frac{e^2 - e^{-2}}{2}$ (D) $e^2 + e^{-2} + 1$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查傅立葉級數在區間端點與內點的收斂值，以及函數值的直接代入。 對於題目給定的函數 $$ f(x)=e^{2x},\qquad -1\le x\le 1, $$ 在命題慣例下，傅立葉級數於連續點收斂至原函數值，因此： $$ B=f(0)=e^0=1. $$ 端點則依本題官方解答採用端點函數值： $$ A=f(-1)=e^{-2},\qquad C=f(1)=e^2. $$ 解題方法 分別計算三個收斂值： 在 $x=-1$： $$ A=f(-1)=e^{2(-1)}=e^{-2}. $$ 在 $x=0$： $$ B=f(0)=e^{2(0)}=1. $$ 在 $x=1$： $$ C=f(1)=e^{2(1)}=e^2. $$ 因此 $$ A+B+C=e^{-2}+1+e^2 =e^2+e^{-2}+1. $$ 所以依官方答案，選擇： $$ \boxed{(D)\ e^2+e^{-2}+1}. $$ 選項分析 - (A) $\dfrac{e^2-e^{-2}+1}{2}$：錯誤。 此式含有 $e^2-e^{-2}$，類似雙曲正弦函數的形式，與三個函數值直接相加不符；同時係數 $\frac12$ 也沒有本題官方採用的端點代入依據。

Answer

答案：D

Question 13

考慮定義於頂點為 $(0, 0)$、$(3, 0)$、$(2, 2)$ 的三角形的連續隨機變數 $X$ 和 $Y$，其機率密度函數（probability density function）為均勻分配（uniform distribution）。機率 $\Pr(X \le 2, Y \le 1)$ 為何？ (A) $\frac{3}{8}$ (B) $\frac{3}{4}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) $\frac{4}{5}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二維連續均勻分配的機率計算。若聯合機率密度在三角形區域內均勻分配，則事件機率等於： $$ \Pr(E)=\frac{	ext{事件區域面積}}{	ext{樣本空間總面積}} $$ 三角形頂點為 $(0,0)$、$(3,0)$、$(2,2)$。 --- 解題方法 原三角形以 $(0,0)$ 到 $(3,0)$ 為底，底長為 $3$，高為 $2$，因此總面積為： $$ A{	ext{total}}=\frac{1}{2}	imes 3	imes 2=3 $$ 三角形的左側邊界為連接 $(0,0)$ 與 $(2,2)$ 的直線： $$ y=x $$ 右側邊界為連接 $(3,0)$ 與 $(2,2)$ 的直線： $$ y=-2x+6 $$ 所求事件為： $$ X\le 2,\qquad Y\le 1 $$ 在 $0\le y\le 1$ 的範圍內，三角形左側邊界為 $x=y$，而 $x=2$ 位於三角形內部。因此事件區域可表示為： $$ 0\le y\le 1,\qquad y\le x\le 2 $$ 其面積為： $$ AE=\int0^1(2-y)\,dy $$ $$ AE=\left[2y-\frac{y^2}{2}ight]0^1 =2-\frac12 =\frac32 $$ 所以： $$ \Pr(X\le 2,Y\le 1) =\frac{AE}{A{	ext{total}}} =\frac{\frac32}{3} =\frac12 $$ 因此正確選項為 $(C)$。 --- 幾何快速理解 事件區域的頂點為：

Answer

答案：C

Question 14

連續隨機變數 $X$ 和 $Y$ 的結合機率密度函數（joint probability density function）為 $f_{XY}(x, y) = \begin{cases} A(x + y), & 0 \le x \le 2,\ 0 \le y \le 3 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$ 則 $0 \le y \le 3$ 區間內的邊際（marginal）機率密度函數 $f_Y(y)$ 為何？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個定義： 1. 聯合機率密度函數必須滿足全平面積分為 $1$： $$\iint{\mathbb{R}^2} f{XY}(x,y)\,dx\,dy=1.$$ 2. $Y$ 的邊際機率密度函數，是將聯合密度對另一變數 $x$ 積分： $$fY(y)=\int{-\infty}^{\infty} f{XY}(x,y)\,dx.$$ 由題目可知，聯合密度只在 $0\le x\le 2$、$0\le y\le 3$ 時不為零，因此只需在此矩形範圍內計算。 --- 解題方法 先利用總機率為 $1$ 求出常數 $A$。 $$ \int0^3\int0^2 A(x+y)\,dx\,dy=1 $$ 先對 $x$ 積分： $$ \int0^2 A(x+y)\,dx =A\left[\frac{x^2}{2}+xy\right]0^2 =A(2+2y) $$ 再對 $y$ 積分： $$ \int0^3 A(2+2y)\,dy =A\left[2y+y^2\right]0^3 =A(6+9)=15A $$ 因此： $$ 15A=1 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{1}{15} $$ 接著計算 $Y$ 的邊際機率密度函數： $$ fY(y)=\int0^2 f{XY}(x,y)\,dx =\int0^2 \frac{1}{15}(x+y)\,dx $$ $$ fY(y) =\frac{1}{15}\left[\frac{x^2}{2}+xy\right]0^2 =\frac{1}{15}(2+2y) $$ 所以在 $0\le y\le 3$ 時： $$ fY(y)=\frac{1}{15}(2+2y) $$ 完整寫法為： $$ fY(y)= \begin{cases} \dfrac{1}{15}(2+2y), & 0\le y\le 3,\[6pt] 0, & \text{其他情況}. \end{cases} $$ ---

Answer

答案：B

Question 15

矩陣 $X = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 3 \ 2 & 5 & 4 & 8 \ -1 & -3 & -2 & -5 \ 0 & 2 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ 的秩（rank）為何？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

Accepted Answer

核心觀念 矩陣的秩（rank）是矩陣中線性獨立列（或行）的最大數目，也等於將矩陣化為列簡化階梯形後，非零列的數目或主元個數。 本題可利用列運算化為階梯形矩陣。列運算不會改變矩陣的秩： - 以某列加上另一列的倍數 - 交換兩列 - 將某列乘以非零常數 解題方法 原矩陣為 $$ X= \begin{bmatrix} 1&2&2&3\ 2&5&4&8\ -1&-3&-2&-5\ 0&2&0&4 \end{bmatrix}. $$ 以第一列消去其餘各列第一欄元素： $$ R2\leftarrow R2-2R1, \qquad R3\leftarrow R3+R1. $$ 計算得 $$ R2= \begin{bmatrix} 0&1&0&2 \end{bmatrix}, \qquad R3= \begin{bmatrix} 0&-1&0&-2 \end{bmatrix}. $$ 因此矩陣變為 $$ \begin{bmatrix} 1&2&2&3\ 0&1&0&2\ 0&-1&0&-2\ 0&2&0&4 \end{bmatrix}. $$ 再利用第二列消去第三、第四列： $$ R3\leftarrow R3+R2, \qquad R4\leftarrow R4-2R2. $$ 得到 $$ \begin{bmatrix} 1&2&2&3\ 0&1&0&2\ 0&0&0&0\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}. $$ 階梯形矩陣共有兩個非零列，也就是有兩個主元，所以 $$ \operatorname{rank}(X)=2. $$ 亦可直接觀察原矩陣各列的關係：

Answer

答案：B

Question 16

下列何者構成空間 $\mathbb{R}^3$ 的基底？ (A) $[1, 2, 0]$ 和 $[0, 1, -1]$ (B) $[1, 1, -1]$、$[2, 3, 4]$、$[4, 1, -1]$ 和 $[0, 1, -1]$ (C) $[1, 2, 2]$、$[-1, 2, 1]$ 和 $[0, 8, 0]$ (D) $[1, 2, 2]$、$[-1, 2, 1]$ 和 $[0, 8, 6]$

Accepted Answer

核心觀念 空間 $\mathbb{R}^3$ 的基底必須同時符合： 1. 向量數量為 $3$； 2. 向量彼此線性獨立； 3. 能張成整個 $\mathbb{R}^3$。 對 $\mathbb{R}^3$ 而言，若有三個向量組成矩陣，其行列式不為 $0$，即可判定三向量線性獨立，因此構成 $\mathbb{R}^3$ 的基底。 --- 解題方法 將三個向量作為矩陣的列向量或行向量，計算行列式： $$ \det(A)
eq 0 $$ 則向量線性獨立，且可張成 $\mathbb{R}^3$，因此為基底。 --- 選項分析 (A) $[1,2,0]$ 和 $[0,1,-1]$ 此選項只有 $2$ 個向量。$\mathbb{R}^3$ 的基底必須包含 $3$ 個線性獨立向量，兩個向量最多只能張成一個平面，無法張成整個 $\mathbb{R}^3$。 因此 (A) 錯誤。 --- (B) $[1,1,-1]$、$[2,3,4]$、$[4,1,-1]$ 和 $[0,1,-1]$ 此選項有 $4$ 個向量。$\mathbb{R}^3$ 的維度為 $3$，最多只能有 $3$ 個線性獨立向量，因此 $\mathbb{R}^3$ 中任意 $4$ 個向量必定線性相依。 基底必須是線性獨立的向量組，因此即使這四個向量能張成 $\mathbb{R}^3$，仍不能稱為基底。 因此 (B) 錯誤。 --- (C) $[1,2,2]$、$[-1,2,1]$ 和 $[0,8,0]$ 令 $$ A= \begin{bmatrix} 1&2&2\ -1&2&1\ 0&8&0 \end{bmatrix}. $$ 計算行列式：

Answer

答案：C

Question 17

已知一個 $3 	imes 3$ 矩陣 $B$ 的特徵值（eigenvalues）為 $0, 1, 2$，請問這些已知資訊尚不足以決定下列那個值？ (A) $B$ 的秩（rank） (B) $B^T B$ 的特徵值 (C) $B^T B$ 的行列式值 (D) $(B + I)^{-1}$ 的特徵值

Accepted Answer

核心觀念 本題考查下列矩陣特徵值與基本性質： 1. 若矩陣的特徵值為 $\lambda1,\lambda2,\lambda3$，則 $$\det(B)=\lambda1\lambda2\lambda3.$$ 2. 矩陣 $B$ 的零特徵值代數重數，配合可對角化性，可判斷其秩。 3. 若 $\lambda$ 是 $B$ 的特徵值，則 $\lambda+1$ 是 $B+I$ 的特徵值；若 $B+I$ 可逆，則 $(B+I)^{-1}$ 的特徵值為 $$\frac{1}{\lambda+1}.$$ 4. $B^T B$ 的特徵值是 $B$ 的奇異值平方，通常不能只由 $B$ 的特徵值決定。除非另有對稱矩陣、正規矩陣等條件，否則不可將 $B^T B$ 的特徵值直接視為 $B$ 特徵值的平方。 --- 解題方法 已知 $B$ 為 $3	imes 3$ 矩陣，特徵值為 $$ 0,\ 1,\ 2. $$ 逐一檢查各選項是否能由這些資訊唯一決定。 --- 選項分析 (A) $B$ 的秩（rank） $B$ 的特徵值 $0$ 只有一個，且三個特徵值互異，因此 $B$ 可對角化。 可對角化矩陣的零特徵值代數重數等於其幾何重數，因此 $$ \dim\ker(B)=1. $$ 由秩－零度定理， $$ \operatorname{rank}(B) =3-\dim\ker(B) =3-1 =2. $$ 因此 $B$ 的秩必為 $2$，此值可以決定。 所以 (A) 正確，不是答案。 --- (B) $B^T B$ 的特徵值 $B^T B$ 的特徵值是 $B$ 的奇異值平方，而奇異值取決於矩陣的幾何結構，不能只由 $B$ 的特徵值決定。 以兩個具有相同特徵值的矩陣為例： $$ B1= \begin{bmatrix} 0&0&0\ 0&1&0\ 0&0&2 \end{bmatrix}, $$ 其特徵值為 $0,1,2$，且 $$ B1^T B1= \begin{bmatrix} 0&0&0\ 0&1&0\ 0&0&4 \end{bmatrix}. $$ 因此 $B1^T B1$ 的特徵值為 $$ 0,\ 1,\ 4. $$ 再取

Answer

答案：B

Question 18

有一投影矩陣 $P = A(A^T A)^{-1} A^T$，其中 $A$ 為 $m 	imes n$ 矩陣，其秩為 $n$。請問下列何者錯誤？ (A) $P^T = P$ (B) $P^{-1} = P$ (C) $P^2 = P$ (D) $P^{123} = P$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查正交投影矩陣的性質。已知 $$ P=A(A^T A)^{-1}A^T, $$ 其中 $A$ 為 $m	imes n$ 矩陣，且 $\operatorname{rank}(A)=n$，表示 $A$ 的 $n$ 個欄向量線性獨立。因此 $A^T A$ 可逆，$P$ 為投影到 $\operatorname{Col}(A)$ 的正交投影矩陣。 正交投影矩陣具有以下重要性質： $$ P^T=P,\qquad P^2=P. $$ 其中 $P^2=P$ 稱為冪等性。由此可進一步得到，對任意正整數 $k$， $$ P^k=P. $$ 但是，投影矩陣通常不是可逆矩陣。只有當投影到整個空間，也就是 $P=I$ 時，才具有反矩陣。 --- 解題方法 先分別驗證對稱性與冪等性。 由 $$ P=A(A^T A)^{-1}A^T $$ 可得 $$ P^T =\left[A(A^T A)^{-1}A^Tight]^T. $$ 利用轉置運算規則及 $(A^T A)^T=A^T A$， $$ P^T =A\left[(A^T A)^{-1}ight]^T A^T =A(A^T A)^{-1}A^T =P. $$ 因此 $P$ 為對稱矩陣。 再計算 $P^2$： $$ \begin{aligned} P^2 &=A(A^T A)^{-1}A^T A(A^T A)^{-1}A^T\ &=A(A^T A)^{-1}(A^T A)(A^T A)^{-1}A^T\ &=A(A^T A)^{-1}A^T\ &=P. \end{aligned} $$ 因此 $P$ 具有冪等性。於是 $$ P^{123}=P, $$ 因為 $$ P^{123}=P^2P^{121}=PP^{121}=P. $$ 至於 $P^{-1}$，若 $P$ 可逆，則由 $P^2=P$ 兩邊左乘 $P^{-1}$，可得 $$ P=I. $$ 因此只有 $P=I$ 時，才有 $$ P^{-1}=P. $$ 一般的正交投影矩陣不是單位矩陣，故不可逆。 --- 選項分析 (A) $P^T=P$ 正確。 由前述推導， $$ P^T =\left[A(A^T A)^{-1}A^Tight]^T =A(A^T A)^{-1}A^T =P. $$ 因此 $P$ 為對稱矩陣。 --- (B) $P^{-1}=P$

Answer

答案：B

Question 19

下列何者是級數 $\sum{n=0}^{\infty} 16^n (z+i)^{4n}$ 的收斂區域？ (A) $|z+i| < \frac{1}{2}$ (B) $|z+i| < 1$ (C) $|z+i| < 2$ (D) $|z+i| < 4$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查複數幾何級數的收斂條件。 原級數為 $$ \sum{n=0}^{\infty}16^n(z+i)^{4n}. $$ 將同次冪合併： $$ 16^n(z+i)^{4n} =\left[16(z+i)^4\right]^n. $$ 因此原級數是首項為 $1$、公比為 $$ r=16(z+i)^4 $$ 的等比級數。複數等比級數 $$ \sum{n=0}^{\infty}r^n $$ 的收斂條件為 $$ |r|<1. $$ 解題方法 套用等比級數收斂條件： $$ \left|16(z+i)^4\right|<1. $$ 由於 $16$ 為正實數，且 $$ |(z+i)^4|=|z+i|^4, $$ 所以 $$ 16|z+i|^4<1. $$ 整理得 $$ |z+i|^4<\frac{1}{16}. $$ 兩邊取四次方根： $$ |z+i|<\left(\frac{1}{16}\right)^{1/4} =\frac{1}{2}. $$ 故收斂區域是以 $-i$ 為中心、半徑 $\frac12$ 的開圓盤： $$ \boxed{|z+i|<\frac12}. $$ 在邊界 $|z+i|=\frac12$ 上， $$ |16(z+i)^4|=1, $$ 級數各項的絕對值均為 $1$，通項不會趨近於 $0$，因此不收斂。當 $|z+i|\frac12$ 時，公比的絕對值大於 $1$，級數也不收斂。 選項分析

Answer

答案：A

Question 20

微分方程式 $y'' - 3y' + 2y = f(t)$，初始值 $y(0) = y'(0) = 0$。若 $y(t)$ 的拉式轉換（Laplace transform）為 $Y(s) = \frac{1}{(s^2 - 3s + 2)(s - 2)^2}$，則 $f(t)$ 為何？ (A) $t e^{2t}$ (B) $t^2 e^{2t}$ (C) $t e^{-2t}$ (D) $t^2 e^{-2t}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查拉式轉換解微分方程式。由於初始值 $$ y(0)=0,\qquad y'(0)=0, $$ 可利用 $$ \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s), $$ $$ \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)=sY(s). $$ 因此，微分方程式 $$ y''-3y'+2y=f(t) $$ 經拉式轉換後為 $$ \bigl(s^2-3s+2\bigr)Y(s)=F(s), $$ 其中 $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$。 --- 解題方法 已知 $$ Y(s)=\frac{1}{(s^2-3s+2)(s-2)^2}. $$ 代入 $$ F(s)=\bigl(s^2-3s+2\bigr)Y(s), $$ 得 $$ F(s) = \bigl(s^2-3s+2\bigr) \frac{1}{(s^2-3s+2)(s-2)^2} = \frac{1}{(s-2)^2}. $$ 利用基本拉式轉換公式 $$ \mathcal{L}\{t e^{at}\}=\frac{1}{(s-a)^2}, $$ 取 $a=2$，可得 $$ f(t)=t e^{2t}. $$ 所以，依照題目所給的 $Y(s)$，正確選項應為 (A)。 --- 選項分析 (A) $t e^{2t}$ $$ \mathcal{L}\{t e^{2t}\} = \frac{1}{(s-2)^2}. $$ 這正是由 $$ F(s)=(s^2-3s+2)Y(s) $$ 所得到的結果，因此依題面應選 (A)。 (B) $t^2 e^{2t}$ 公式為 $$ \mathcal{L}\{t^2e^{at}\} = \frac{2}{(s-a)^3}, $$ 因此 $$ \mathcal{L}\{t^2e^{2t}\} = \frac{2}{(s-2)^3}, $$

Answer

答案：C

Question 21

積分方程式 $y(t) + \int0^t (t - 	au)y(	au)d	au = 1$ 的解為何？ (A) $y(t) = \cos t$ (B) $y(t) = \sin t$ (C) $y(t) = \cos t + \sin t$ (D) $y(t) = e^t$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查積分方程式的微分化處理，以及卷積型積分的基本微分公式： $$ \frac{d}{dt}\int0^t (t-	au)y(	au)\,d	au = \int0^t y(	au)\,d	au $$ 再微分一次可得： $$ \frac{d}{dt}\int0^t y(	au)\,d	au=y(t) $$ 因此，可將原積分方程式轉換為常微分方程式求解。 --- 解題方法 原式為 $$ y(t)+\int0^t(t-	au)y(	au)\,d	au=1 $$ 對 $t$ 微分： $$ y'(t)+\int0^t y(	au)\,d	au=0 $$ 再次對 $t$ 微分： $$ y''(t)+y(t)=0 $$ 因此，$y(t)$ 滿足二階常係數微分方程式 $$ y''+y=0 $$ 其通解為 $$ y(t)=C1\cos t+C2\sin t $$ 接著利用原積分方程式取得初始條件。 令 $t=0$： $$ y(0)+\int0^0(0-	au)y(	au)\,d	au=1 $$ 積分項為 $0$，所以 $$ y(0)=1 $$ 由通解可知 $$ y(0)=C1=1 $$ 再由微分後的方程式 $$ y'(t)+\int0^t y(	au)\,d	au=0 $$ 令 $t=0$： $$ y'(0)=0 $$ 而 $$ y'(t)=-C1\sin t+C2\cos t $$ 所以 $$ y'(0)=C2=0 $$ 因此 $$ \boxed{y(t)=\cos t} $$ 也可直接代回驗算： $$ \int0^t(t-	au)\cos	au\,d	au = t\int0^t\cos	au\,d	au-\int0^t	au\cos	au\,d	au $$ 其中

Answer

答案：A

Question 22

欲以積分因子（integrating factor）求解微分方程式 $-y\,dx + x\,dy = 0$ ，請問下列何者不為合適的積分因子，因其無法將方程式化為正合（exact）形式？

Accepted Answer

核心觀念 微分方程式寫成微分形式： $$ M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 $$ 本題中 $$ M=-y,\qquad N=x $$ 若乘上積分因子 $\mu(x,y)$ 後，方程式成為正合微分方程式，必須滿足： $$ \frac{\partial(\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial(\mu N)}{\partial x} $$ 也就是存在某個函數 $F(x,y)$，使得 $$ dF=\mu M\,dx+\mu N\,dy $$ --- 解題方法 逐一將各選項的積分因子 $\mu$ 代入正合條件： $$ \frac{\partial(\mu(-y))}{\partial y} = \frac{\partial(\mu x)}{\partial x} $$ 若兩邊相等，表示乘上該積分因子後可化為正合形式；若不相等，則不是合適的積分因子。 --- 選項分析 (A) $\displaystyle \mu=\frac{1}{x^2}$ 此時 $$ \mu M=\frac{1}{x^2}(-y)=-\frac{y}{x^2} $$ $$ \mu N=\frac{1}{x^2}(x)=\frac{1}{x} $$ 分別計算偏導數： $$ \frac{\partial(\mu M)}{\partial y} = -\frac{1}{x^2} $$ $$ \frac{\partial(\mu N)}{\partial x} = -\frac{1}{x^2} $$ 兩者相等，因此可化為正合形式。故 (A) 正確，並非題目所問答案。 --- (B) $\displaystyle \mu=\frac{1}{xy}$ 此時 $$ \mu M=\frac{1}{xy}(-y)=-\frac{1}{x} $$ $$ \mu N=\frac{1}{xy}(x)=\frac{1}{y} $$ 因此 $$ \frac{\partial(\mu M)}{\partial y}=0 $$ 且 $$ \frac{\partial(\mu N)}{\partial x}=0 $$ 兩者相等，所以可化為正合形式。故 (B) 正確，並非題目所問答案。 --- (C) $\displaystyle \mu=\frac{1}{x^2+y^2}$ 此時 $$ \mu M=-\frac{y}{x^2+y^2} $$ $$ \mu N=\frac{x}{x^2+y^2} $$ 計算左邊：

Answer

答案：D

Question 23

一副撲克牌 52 張牌中包含 4 種花色（黑桃、方塊、紅心、梅花），每種花色 13 張牌。每抽一張牌後即將所抽的牌放回去洗牌重抽，請問這樣抽三次牌其中包含至少兩張黑桃的機率有多少？

Accepted Answer

核心觀念

每抽一張牌後都放回並重新洗牌，因此三次抽牌彼此獨立。

每次抽到黑桃的機率為

P(\text{黑桃})=\frac{13}{52}=\frac14

每次抽到非黑桃的機率為

P(\text{非黑桃})=\frac34

題目要求三次抽牌中「至少兩張黑桃」，包含兩種情況：

恰好抽到兩張黑桃；
恰好抽到三張黑桃。

解題方法

設三次抽到黑桃的張數為 $X$ ，則

X\sim \text{Binomial}\left(3,\frac14\right)

情況一：恰好兩張黑桃

三次中選兩次抽到黑桃，有

\binom{3}{2}

種排列方式，因此

P(X=2) =\binom{3}{2}\left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)

=3\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac34 =\frac{9}{64}

情況二：恰好三張黑桃

三次皆抽到黑桃：

P(X=3)=\left(\frac14\right)^3=\frac{1}{64}

合併計算

P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)

=\frac{9}{64}+\frac{1}{64} =\frac{10}{64} =\frac{5}{32}

選項分析

(A) $\frac{5}{16}$ ：錯誤

正確答案為 $\frac{5}{32}$ ，而

\frac{5}{16}=\frac{10}{32}

是正確機率的兩倍，並非本題結果。

Answer

答案：D

Question 24

假設一輛公車到達一個車站的時間為均勻分布於區間 $(t1, t2)$，而其平均值為 14:00，標準差為 $\sqrt{12}$ 分鐘。請問 $(t1, t2)$ 的區間為何？ (A) $(13:54, 14:06)$ (B) $(13:53, 14:07)$ (C) $(13:52, 14:08)$ (D) $(13:51, 14:09)$

Accepted Answer

核心觀念 設公車到站時間 $X$ 均勻分布於區間 $(t1,t2)$，記作 $$ X\sim U(t1,t2) $$ 均勻分布的平均值與標準差公式為： $$ E(X)=\frac{t1+t2}{2} $$ $$ \sigma=\frac{t2-t1}{\sqrt{12}} $$ 本題已知： - 平均到站時間為 14:00； - 標準差為 $\sqrt{12}$ 分鐘。 因此可利用平均值決定區間中心，再利用標準差求出區間長度。 --- 解題方法 由平均值公式： $$ \frac{t1+t2}{2}=14:00 $$ 表示區間 $(t1,t2)$ 的中心點為 14:00。 再由標準差公式： $$ \frac{t2-t1}{\sqrt{12}}=\sqrt{12} $$ 兩邊同乘 $\sqrt{12}$，得到： $$ t2-t1=12	ext{ 分鐘} $$ 因此，區間總長為 12 分鐘，且以 14:00 為中心，左右各分配 6 分鐘： $$ t1=14:00-6	ext{ 分鐘}=13:54 $$ $$ t2=14:00+6	ext{ 分鐘}=14:06 $$ 所以： $$ (t1,t2)=(13:54,14:06) $$ --- 選項分析 - (A) $(13:54,14:06)$：正確 此區間中心為 14:00，區間長度為： $$14:06-13:54=12	ext{ 分鐘}$$ 其標準差為：

Answer

答案：A

110 地方特考三等 電子工程 工程數學 考古題詳解

第 一 題10 分

核心觀念

解題方法

一、計算行列式 det⁡(A)\det(A)det(A)

二、計算餘因子矩陣

第 二 題10 分

核心觀念

解題方法

z=0z=0z=0 的留數

第 三 題15 分

一、求 a0a_0a0​

二、求 ana_nan​

三、求 bnb_nbn​

第 四 題15 分

核心觀念

解題方法

一、先計算各機器產出瑕疵品的聯合機率

二、計算瑕疵品的總機率

三、套用貝氏定理

第 1 題2 分

第 2 題2 分

第 3 題2 分

第 4 題2 分

第 5 題2 分

第 6 題2 分

第 7 題2 分

核心觀念

解題方法

步驟一：由初始條件確認零階導數

步驟二：由原微分方程求一階導數 y′(π)y'(\pi)y′(π)

步驟三：微分一次求二階導數 y′′(π)y''(\pi)y′′(π)

步驟四：再微分一次求三階導數 y′′′(π)y'''(\pi)y′′′(π)

第 8 題2 分

第 9 題2 分

第 10 題2 分

第 11 題2 分

第 12 題2 分

第 13 題2 分

(A) BBB 的秩（rank）

(B) BTBB^T BBTB 的特徵值

第 14 題2 分

第 15 題2 分

第 16 題2 分

第 17 題2 分

第 18 題2 分

第 19 題2 分

核心觀念

解題方法

情況一：恰好兩張黑桃

情況二：恰好三張黑桃

合併計算

選項分析

第 20 題2 分

其他考古題

110 年電子工程的其他科目

電子工程《工程數學》其他年度

110 年地方特考三等・其他類科的《工程數學》

110 地方特考三等電子工程工程數學考古題詳解

第一題10 分

一、計算行列式 $\det(A)$

第二題10 分

$z=0$ 的留數

第三題15 分

一、求 $a_0$

二、求 $a_n$

三、求 $b_n$

第四題15 分

步驟二：由原微分方程求一階導數 $y'(\pi)$

步驟三：微分一次求二階導數 $y''(\pi)$

步驟四：再微分一次求三階導數 $y'''(\pi)$

(A) $B$ 的秩（rank）

(B) $B^T B$ 的特徵值