111 年地方特考三等電子工程考古題與詳解

Question 1

考慮雙變數函數 $$f(x,y)=(x^2+2y)e^{-(x^2+y^2)}.$$ 令 $P0$ 代表 $x$-$y$ 平面上的點 $(1,-1)$。 (一) 請計算 $f(x,y)$ 在 $P0$ 的梯度（gradient）。 (二) 請計算 $f(x,y)$ 在 $P0$ 沿著 $(1,0)$ 方向的方向導數（directional derivative）。

Accepted Answer

核心觀念 1. 多元函數的偏導數與連鎖律（Partial Derivatives & Chain Rule） 若函數 $f(x,y) = u(x,y)v(x,y)$，由乘積法則與指數函數連鎖律： $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x}v + u\frac{\partial v}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y}v + u\frac{\partial v}{\partial y}$$ 2. 梯度（Gradient） 雙變數可微純量場 $f(x,y)$ 的梯度向量定義為各變數之一階偏導數組成的向量： $$
abla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} ight) = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}$$ 3. 方向導數（Directional Derivative） $f(x,y)$ 在點 $P0$ 沿向量 $\mathbf{v}$ 方向的方向導數，必須以單位方向向量 $\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}$ 計算： $$D{\mathbf{u}}f(P0) = 
abla f(P0) \cdot \mathbf{u}$$ --- 解題方法 給定函數為： $$f(x,y) = (x^2+2y)e^{-(x^2+y^2)}$$ 代入目標點 $P0(1,-1)$ 時，指數項指數為 $-(1^2+(-1)^2) = -2$。 (一) 計算 $f(x,y)$ 在 $P0$ 的梯度 $
abla f(P0)$ 1. 對 $x$ 偏微分： 利用乘積法則與連鎖律： $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2+2y) \cdot e^{-(x^2+y^2)} + (x^2+2y) \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-(x^2+y^2)}ight)$$ $$= (2x)e^{-(x^2+y^2)} + (x^2+2y)(-2x)e^{-(x^2+y^2)}$$ 提出公因式 $2xe^{-(x^2+y^2)}$： $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x\left[ 1 - (x^2+2y)…

Question 2

有一個微分方程式如下（僅考慮 $x0$）： $$\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y=x^3,\qquad x0.$$ 初始條件為 $y(1)=3$。 (一) 此為一階線性微分方程（first-order linear differential equation），可以使用積分因子（integrating factor）求解。試求此微分方程之積分因子。 (二) 請求解 $y(x)$。

Accepted Answer

核心觀念 本題評量一階線性常微分方程（First-order Linear Ordinary Differential Equation）的標準解法與初值問題（Initial Value Problem, IVP）。 1. 一階線性微分方程標準式： $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$ 2. 積分因子（Integrating Factor, $I(x)$ 或 $\mu(x)$）： $$I(x) = \exp\left(\int P(x)\,dx\right) = e^{\int P(x)\,dx}$$ 其構造目的在於使方程式左式同乘 $I(x)$ 後，能依據乘積微分法則化簡為全微分形式： $$I(x)\frac{dy}{dx} + I(x)P(x)y = \frac{d}{dx}\left[I(x)y\right]$$ 3. 通解公式： $$y(x) = \frac{1}{I(x)}\left[\int I(x)Q(x)\,dx + C\right]$$ 其中 $C$ 為任意積分常數。 4. 特解（Particular Solution）： 將給定的初始條件（Initial Condition）代入通解，即可決定待定常數 $C$。 --- 解題方法 (一) 求積分因子 原微分方程式為： $$\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}y = x^3,\qquad x0$$ 比對一階線性微分方程標準式 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，可得： $$P(x) = \frac{3}{x},\qquad Q(x) = x^3$$ 計算積分因子 $I(x)$： $$I(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int \frac{3}{x}\,dx}$$ 由於題目指定 $x 0$，故 $\int \frac{3}{x}\,dx = 3\ln x = \ln(x^3)$，代入得： $$I(x) = e^{\ln(x^3)} = x^3$$ --- (二) 求解 $y(x)$ 將原微分方程式兩端同乘以積分因子 $I(x) = x^3$： $$x^3\frac{dy}{dx} + 3x^2 y = x^3 \cdot x^3$$ 左式利用乘積微分逆運算寫成全微分，右式整理指數： $$\frac{d}{dx}\left[x^3 y\right] = x^6$$ 兩端對 $x$ 進行不定積分： $$\int \frac{d}{dx}\left[x^3 y\right]\,dx = \int x^6\,dx$$ $$x^3 y = \frac{1}{7}x^7 + C$$

Question 3

有一個 $3	imes 3$ 矩陣 $$A=\begin{bmatrix}0&0&-2\1&2&1\1&0&3\end{bmatrix}.$$ 已知此矩陣的特徵值（eigen-value）為 $2、2$（重根）及 $1$。 (一) 請寫出 $A$ 矩陣的所有特徵向量（eigen-vector）的一般形式。 (二) 令 $B=A^8$。請寫出 $B$ 矩陣的所有特徵向量的一般形式。

Accepted Answer

核心觀念 1. 特徵值與特徵向量之定義： 設 $A$ 為 $n	imes n$ 矩陣，若存在純量 $\lambda$ 與非零向量 $v 
eq 0$，使得 $Av = \lambda v$，則 $\lambda$ 稱為 $A$ 之特徵值，$v$ 稱為對應之特徵向量。其本質為求齊次線性方程組 $(A - \lambda I)v = 0$ 之非零解空間（即零核空間 $	ext{Null}(A - \lambda I)$ 或稱特徵空間 $E\lambda$）。 2. 重根特徵值的幾何重數（Geometric Multiplicity）： 當特徵值出現重根時（本題 $\lambda = 2$ 代數重數為 $2$），其線性獨立特徵向量個數等於其幾何重數，即： $$	ext{nullity}(A - \lambda I) = n - 	ext{rank}(A - \lambda I)$$ 若幾何重數等於代數重數，則該矩陣可對角化。 3. 矩陣冪次之特徵值與特徵空間性質： 若 $Av = \lambda v$，則對任意正整數 $k$，有 $A^k v = \lambda^k v$。若矩陣 $A$ 的不同特徵值 $\lambdai, \lambdaj$ 在取 $k$ 次方後滿足 $\lambdai^k 
eq \lambdaj^k$，則矩陣 $B = A^k$ 的各個特徵空間彼此獨立且不合併，因此 $B$ 的所有特徵向量與 $A$ 的特徵向量集合完全相同。 --- 解題方法 (一) 求矩陣 $A$ 的所有特徵向量一般形式 設特徵向量為 $v = \begin{bmatrix} x1 \ x2 \ x3 \end{bmatrix} 
eq \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$。 1. 對應特徵值 $\lambda = 2$（重根）： 求解齊次方程組 $(A - 2I)v = 0$： $$A - 2I = \begin{bmatrix} 0-2 & 0 & -2 \ 1 & 2-2 & 1 \ 1 & 0 & 3-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 & -2 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ 對係數矩陣進行列運算（Gauss-Jordan 消去法）： $$\begin{bmatrix} -2 & 0 & -2 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R1 \div (-2)} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R2 - R1,…

Question 4

有一個半徑為 $1$ 的圓形標靶。對著標靶亂射飛鏢，完全不瞄準，因此彈著點（即飛鏢在標靶上的落點）會在某一區域的機率大小，與標靶上的位置無關，只與該區域的面積大小成正比。

若只考慮有射中標靶的飛鏢，直接忽略沒有射中標靶的飛鏢。令 $X$ 代表彈著點到靶心（即標靶正中心）的距離，是一個隨機變數（random variable），並定義另一個隨機變數： $Y\triangleq X^2.$

(一) 令 $f_X(x)$ 代表 $X$ 的機率密度函數（probability density function），則 $f_X(x)=\underline{\hspace{1cm}}$ 。

(二) 令 $f_Y(x)$ 代表 $Y$ 的機率密度函數，則 $f_Y(x)=\underline{\hspace{1cm}}$ 。

Accepted Answer

核心觀念 本題評量連續型隨機變數之幾何機率與單隨機變數之函數變換（Functions of a Random Variable）： 1. 二維均勻幾何機率：飛鏢落點在半徑為 $1$ 的圓盤內部服從均勻分布（Uniform Distribution），其落入某區域的機率等於該區域面積除以標靶總面積。 2. 累積分布函數法（CDF Technique）：求連續隨機變數 $X$ 的機率密度函數（PDF），先求其累積分布函數 $FX(x) = P(X \le x)$，再對 $x$ 微分： $$fX(x) = \frac{d}{dx}FX(x)$$ 3. 隨機變數變換（Transformation of Variables）：若 $Y = g(X)$ 且 $g$ 為單調可微函數，可利用 CDF 法或變數變換公式求得 $Y$ 的機率密度函數： $$fY(y) = fX(x) \left| \frac{dx}{dy} ight|$$ --- 解題方法 (一) 求 $X$ 的機率密度函數 $fX(x)$ 1. 定義域與總面積： 標靶為半徑 $R = 1$ 的圓盤，標靶總面積為： $$A{	ext{total}} = \pi \cdot 1^2 = \pi$$ 彈著點到靶心的距離 $X$ 其可能取值範圍為 $0 \le X \le 1$。 2. 求 $X$ 的累積分布函數（CDF）$FX(x)$： 依題意，落點機率與面積成正比： - 當 $x < 0$ 時，$FX(x) = P(X \le x) = 0$。 - 當 $0 \le x \le 1$ 時，$X \le x$ 代表落點位於以靶心為圓心、半徑為 $x$ 的同心圓盤內，該區域面積為 $\pi x^2$。因此： $$FX(x) = P(X \le x) = \frac{\pi x^2}{A{	ext{total}}} = \frac{\pi x^2}{\pi} = x^2$$ - 當 $x 1$ 時，$FX(x) = 1$。 3. 求機率密度函數 $fX(x)$： 將 $FX(x)$ 對 $x$ 微分： $$fX(x) = \frac{d}{dx}FX(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x, \quad 0 \le x \le 1$$ 在其他範圍則為 $0$。 --- (二) 求 $Y = X^2$ 的機率密度函數 $fY(x)$ 題目定義隨機變數 $Y 	riangleq X^2$。因 $0 \le X \le 1$，故 $Y$ 的取值範圍同樣為 $0 \le Y \le 1$。 題目以虛擬變數（dummy variable）$x$ 作為 $fY(\cdot)$ 的引數，即求 $fY(x)$。 方法一：累積分布函數法（推薦） 1. 求 $Y$ 的累積分布函數 $FY(y)$（其中 $0 \l…

Question 5

有一個複變函數 $$f(z)=\frac{z^2}{z+4}.$$ (一) 考慮曲線 $C1:|z|=3$，即以複數平面原點為中心、半徑為 $3$ 的圓，從 $z=3+0\cdot i$（$i=\sqrt{-1}$）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問 $$\oint{C1}f(z)\,dz=\underline{\hspace{1cm}}.$$ (二) 考慮曲線 $C2:|z-i|=2$，即以 $0+1\cdot i$ 為中心、半徑為 $2$ 的圓，從 $z=0+(-1)\cdot i$（$i=\sqrt{-1}$）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問 $$\oint{C2}f(z)\,dz=\underline{\hspace{1cm}}.$$

Accepted Answer

核心觀念 本題評量複變函數論中「封閉路徑線積分」的核心定理與奇異點位置判定： 1. 奇異點（Singularity）之判定： 有理函數 $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$ 的奇異點落在分母為零之處（$Q(z)=0$）。 2. 柯西－古薩定理（Cauchy-Goursat Theorem）： 若複變函數 $f(z)$ 在簡單封閉曲線 $C$ 及其所圍成的單連通區域內部處處解析（analytic），則沿該曲線的封閉積分值必為零： $$\ointC f(z)\,dz = 0$$ 3. 複數平面上點與圓的幾何關係： 圓的方程式為 $|z - z0| = R$（以 $z0$ 為圓心、半徑為 $R$）。若奇異點 $zp$ 滿足 $|zp - z0| R$，則該點位於圓外；若 $|zp - z0| < R$，則位於圓內。 --- 解題方法 步驟一：求出被積函數之奇異點 給定被積函數： $$f(z)=\frac{z^2}{z+4}$$ 令分母為零： $$z+4=0 \implies z=-4$$ 因此，$f(z)$ 在複數平面上僅有一處一階極點（Simple Pole）位於 $z = -4$；在除 $z = -4$ 以外的整個複數平面上，$f(z)$ 處處解析。 --- 步驟二：求解第 (一) 小題 路徑 $C1$ 為圓 $|z| = 3$，其圓心為原點 $z0 = 0$，半徑為 $R1 = 3$。 檢驗奇異點 $z = -4$ 到圓心的距離： $$|-4 - 0| = |-4| = 4$$ 因為 $4 3$（距離大於半徑），所以奇異點 $z = -4$ 落在封閉曲線 $C1$ 的外部。 函數 $f(z)$ 在曲線 $C1$ 上及其所包圍的內部區域處處解析，由柯西－古薩定理可得： $$\oint{C1} f(z)\,dz = 0$$ --- 步驟三：求解第 (二) 小題 路徑 $C2$ 為圓 $|z - i| = 2$，其圓心為 $z0 = i$，半徑為 $R2 = 2$。

Question 6

我們準備對 $(1,-1,3)$ 以及 $(2,0,-4)$ 這兩個向量做外積（cross product）。如果將答案寫成 $(1,-1,3)\times(2,0,-4)=(a,b,c),$ 那麼 $a\times b\times c=$ ？

Accepted Answer

核心觀念 三維向量外積可用行列式計算。若 $\mathbf{u}=(u1,u2,u3)$、$\mathbf{v}=(v1,v2,v3)$，則 $$ \mathbf{u}	imes\mathbf{v} = (u2v3-u3v2,\ u3v1-u1v3,\ u1v2-u2v1). $$ 本題先求外積分量 $(a,b,c)$，再計算這三個分量的乘積 $a	imes b	imes c$；後者的「$	imes$」是純量乘法。 解題方法 令 $\mathbf{u}=(1,-1,3)$、$\mathbf{v}=(2,0,-4)$。逐分量計算： $$ \begin{aligned} a&=(-1)(-4)-3(0)=4,\ b&=3(2)-1(-4)=10,\ c&=1(0)-(-1)(2)=2. \end{aligned} $$ 因此

Answer

答案：B

Question 7

考慮一線性方程組 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，$A$ 為 $m	imes n$ 矩陣，$mn$。下列敘述何者錯誤？ (A) 該方程組可能無解。 (B) 該方程組可能只有一解。 (C) 該方程組不可能有無窮多解。 (D) 矩陣 $A$ 的列階梯形矩陣（row echelon form）一定有「零」列（row of all zeros）。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查線性方程組 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解數，關鍵在於係數矩陣 $A$ 的秩與未知數個數 $n$ 的關係。增廣矩陣為 $[A\mid\mathbf b]$： - 若 $\operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid\mathbf b])$，方程組無解。 - 若兩者秩相等且 $\operatorname{rank}(A)=n$，方程組有唯一解。 - 若兩者秩相等且 $\operatorname{rank}(A)<n$，方程組有無窮多解。 解題方法 因為 $A$ 有 $m$ 列、$n$ 欄，且 $mn$，所以秩滿足 $$ \operatorname{rank}(A)\leq \min(m,n)=n. $$ 但 $mn$ 並不表示 $\operatorname{rank}(A)$ 必定等於 $n$。因此，方程組可能無解、可能有唯一解，也可能在相容且秩小於 $n$ 時有無窮多解。至於列階梯形矩陣是否有零列，則取決於秩是否小於列數 $m$。 選項分析 (A) 該方程組可能無解。正確。 若增廣矩陣的秩大於 $A$ 的秩，便會出現矛盾列，例如化簡後有 $[0\ \cdots\ 0\mid c]$，其中 $c
e 0$，因此無解。$mn$ 不會排除這種情形。

Answer

答案：C

Question 8

如果用 $\phi$ 代表 $(1,3,2)$ 與 $(0,-1,4)$ 這兩個向量之夾角，那麼 $\sin^2\phi=$？請選出最接近的數值。 (A) $0.9$ (B) $0.7$ (C) $0.5$ (D) $0.3$

Accepted Answer

核心觀念 兩個非零向量 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 的夾角 $\phi$ 滿足 $$ \cos\phi=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}. $$ 再利用恆等式 $\sin^2\phi=1-\cos^2\phi$，即可由內積與向量長度求出 $\sin^2\phi$。 解題方法 令 $\mathbf{a}=(1,3,2)$、$\mathbf{b}=(0,-1,4)$。先計算內積： $$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =1(0)+3(-1)+2(4)=5. $$ 兩向量長度平方分別為 $$ \|\mathbf{a}\|^2=1^2+3^2+2^2=14,\qquad \|\mathbf{b}\|^2=0^2+(-1)^2+4^2=17. $$ 因此 $$ \cos^2\phi =\frac{(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2} {\|\mathbf{a}\|^2\|\mathbf{b}\|^2} =\frac{25}{14\cdot17} =\frac{25}{238}, $$

Answer

答案：A

Question 9

假設我們已知 $(1,2,3)$、$(1,0,-1)$ 以及 $(3,1,\alpha)$ 這三個向量無法構成 $$\mathbb{R}^3=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\}$$ 的基底（basis）。那麼 $\alpha=$？ (A) $-\frac{1}{2}$ (B) $-\frac{1}{3}$ (C) $-1$ (D) $\frac{1}{2}$

Accepted Answer

核心觀念 在 $\mathbb{R}^3$ 中，三個向量能構成一組基底，當且僅當它們線性獨立。將三個向量排成矩陣的列（或行），若行列式為 $0$，表示向量線性相依，無法構成基底。 解題方法 以三個向量作為矩陣的列，計算行列式： $$ \det \begin{pmatrix} 1&2&3\ 1&0&-1\ 3&1&\alpha \end{pmatrix} = 1\begin{vmatrix}0&-1\1&\alpha\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}1&-1\3&\alpha\end{vmatrix} +3\begin{vmatrix}1&0\3&1\end{vmatrix}. $$ $$ =\alpha-2(\alpha+3)+3 =-\alpha-3. $$ 題目已知三個向量無法構成基底，因此行列式必須為 $0$： $$ -\alpha-3=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=-3. $$

Answer

答案：C

Question 10

考慮矩陣 $$A=\begin{bmatrix}1&3\-2&1\end{bmatrix}.$$ 下列敘述何者正確？ (A) $A$ 為可逆（invertible）的矩陣。 (B) $A$ 為既約列梯形（reduced row echelon form）的矩陣。 (C) $A$ 為單位矩陣（identity matrix）。 (D) $A$ 為對稱（symmetric）的矩陣。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 $2	imes 2$ 矩陣的可逆性，以及既約列梯形、單位矩陣與對稱矩陣的定義。對方陣而言，行列式不為 $0$ 是可逆的判準： $$ A 	ext{ 可逆} \iff \det(A)
e 0. $$ 解題方法 對題目中的矩陣計算行列式： $$ \det(A) =\begin{vmatrix}1&3\-2&1\end{vmatrix} =(1)(1)-(3)(-2) =1+6 =7. $$ 因為 $\det(A)=7
e 0$，所以 $A$ 為可逆矩陣。 選項分析 - (A) 正確。 行列式為 $7
e 0$，故 $A$ 可逆。也可直接求得 $$ A^{-1}=\frac{1}{7}\begin{bmatrix}1&-3\2&1\end{bmatrix}, $$ 可驗證其反矩陣存在。

Answer

答案：A

Question 11

如下所示之選項中，何者為矩陣 $$\begin{bmatrix}2&-3&1\1&-2&1\1&-3&2\end{bmatrix}$$ 的特徵向量（characteristic vector，亦稱 eigenvector）？ 選項中的符號 $T$ 代表矩陣轉置（transpose）的動作。提示：建議直接套用特徵向量的定義進行檢測。 (A) $\begin{bmatrix}0&1&1\end{bmatrix}^{T}$ (B) $\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}^{T}$ (C) $\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}^{T}$ (D) $\begin{bmatrix}-1&0&1\end{bmatrix}^{T}$

Accepted Answer

核心觀念 非零向量 $\mathbf{x}$ 是矩陣 $A$ 的特徵向量，必須存在純量 $\lambda$，使得 $$ A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}. $$ 也就是矩陣乘上該向量後，結果須與原向量成比例。以下將每個選項代入檢驗。 解題方法 令 $$ A=\begin{bmatrix}2&-3&1\1&-2&1\1&-3&2\end{bmatrix}. $$ 若 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x1&x2&x3\end{bmatrix}^{T}$，則 $$ A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2x1-3x2+x3\ x1-2x2+x3\ x1-3x2+2x3 \end{bmatrix}. $$ 逐一計算各選項的 $A\mathbf{x}$，並檢查結果是否為原向量的純量倍數。 選項分析 - (A) $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}0&1&1\end{bmatrix}^{T}$： $$ A\mathbf{x} =\begin{bmatrix}-2\-1\-1\end{bmatrix}. $$ 若為特徵向量，因原向量第一分量為 $0$，乘積第一分量也必須為 $0$；但此處為 $-2$，故不是特徵向量。

Answer

答案：D

Question 12

考慮一馬可夫過程（Markov process）： $$\mathbf{x}(k+1)=\begin{bmatrix}0.8&0.3\0.2&0.7\end{bmatrix}\mathbf{x}(k),$$ 其狀態向量 $\mathbf{x}$ 之初值為 $$\mathbf{x}(0)=\begin{bmatrix}100\0\end{bmatrix}.$$ 請問 $$\lim{k	o\infty}\mathbf{x}(k)$$ 為何？ (A) $\begin{bmatrix}80\20\end{bmatrix}$ (B) $\begin{bmatrix}30\70\end{bmatrix}$ (C) $\begin{bmatrix}60\40\end{bmatrix}$ (D) $\begin{bmatrix}50\50\end{bmatrix}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考馬可夫狀態轉移矩陣的長期穩態。令 $$ A=\begin{bmatrix}0.8&0.3\0.2&0.7\end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x}(k+1)=A\mathbf{x}(k). $$ 矩陣每一欄的元素和皆為 $1$，因此總狀態量保持不變。若反覆轉移後收斂至穩態 $\mathbf{x}\infty$，則必須滿足 $$ A\mathbf{x}\infty=\mathbf{x}\infty. $$ 也就是求特徵值 $1$ 對應的穩態向量，再依初值的總量決定其大小。 解題方法 設穩態向量為 $\mathbf{x}\infty=\begin{bmatrix}x1\x2\end{bmatrix}$。由 $A\mathbf{x}\infty=\mathbf{x}\infty$ 得 $$ \begin{bmatrix}0.8&0.3\0.2&0.7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x1\x2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x1\x2\end{bmatrix}. $$ 取第一列方程： $$ 0.8x1+0.3x2=x1 \quad\Longrightarrow\quad 0.2x1=0.3x2 \quad\Longrightarrow\quad x1:x2=3:2. $$ 初始總量為 $100+0=100$，而轉移矩陣每欄和為 $1$，所以總量維持 $100$。令 $x1=3c,\ x2=2c$，則

Answer

答案：C

Question 13

在下列四個選項所顯示的複變函數（complex function）中，其中有三個是可解析的（analytic，亦稱 differentiable，即可微分的），有一個是不可解析的（not analytic）。請指出不可解析者。

Accepted Answer

核心觀念 複變函數 $f(z)$ 在某區域內可解析，意指它在該區域每一點皆複可微。可用柯西－黎曼方程檢驗：令 $z=x+iy$，並寫成 $$ f(z)=u(x,y)+iv(x,y), $$ 若 $u,v$ 的一階偏導數連續，且滿足 $$ ux=vy,\qquad uy=-vx, $$ 則 $f$ 在該區域可解析。 解題方法 前三個選項都是常見的整函數：$e^z$、$z^3$ 與 $z$ 在整個複平面皆可解析。共軛函數 $\overline z$ 可寫成 $x-iy$，其實部與虛部分別為 $u=x$、$v=-y$。因此 $$ ux=1,\qquad vy=-1, $$ 不滿足柯西－黎曼方程的 $ux=vy$，故 $\overline z$ 不可解析。 也可直接以複導數定義驗證。固定 $z0$，令增量 $h$ 沿實軸趨近 $0$，則 $$ \frac{\overline{z0+h}-\overline{z0}}{h} =\frac{\overline h}{h}=1. $$ 若令 $h=it$（$t$ 為實數）沿虛軸趨近 $0$，則

Answer

答案：D

Question 14

考慮複變函數 $$f(z)=\frac{6+i}{z^3}+\frac{-7+5i}{z^2}+\frac{1-2i}{z}+(5-i)z^2+z^3,\qquad i=\sqrt{-1}.$$ 如果將該函數在 $z=0$（即複數平面上的原點）的留數（residue）寫成 $a+b\cdot i$ 的形式，那麼 $a+b=$？ (A) $-2$ (B) $0$ (C) $3$ (D) $2\pi$

Accepted Answer

核心觀念 函數在 $z=0$ 的留數，是其 Laurent 展開中 $z^{-1}$ 項的係數。若函數已寫成各次冪的和，就直接讀取 $1/z$ 項的係數。 解題方法 題目給定 $$ f(z)=\frac{6+i}{z^3}+\frac{-7+5i}{z^2}+\frac{1-2i}{z}+(5-i)z^2+z^3. $$ 其中只有第三項含有 $z^{-1}$，因此 $$ \operatorname{Res}(f,0)=1-2i. $$ 寫成 $a+bi$ 的形式，可得 $a=1$、$b=-2$，所以 $$ a+b=1+(-2)=-1. $$ 選項分析

Answer

答案：C

Question 15

本題考慮複變函數的線積分（line integral）。

複數平面上的點可以寫成 $z=x+i\cdot y,\qquad i=\sqrt{-1}.$

令 $\Gamma$ 代表 $y=x^2$ 這條曲線，其起點為 $(x,y)=(0,0)$ ，終點為 $(x,y)=(1,1)$ 。請計算 $\int_{\Gamma}z^2\,dz$ 並將結果寫成 $a+b\cdot i$ 的形式。此時 $a\cdot b$ 的數值與下列選項何者最為接近？

Accepted Answer

核心觀念 複變線積分可沿曲線參數化計算：若 $z=z(t)$，則 $$ \int\Gamma f(z)\,dz=\int{t0}^{t1} f\bigl(z(t)\bigr)z'(t)\,dt. $$ 本題曲線為 $y=x^2$，起點到終點對應 $x:0	o1$。此外，$z^2$ 是整函數，原函數為 $z^3/3$，因此也可用端點直接計算。 解題方法 令 $x=t$，則 $y=t^2$，且 $$ z(t)=t+it^2,\qquad dz=(1+2it)\,dt,\qquad 0\le t\le1. $$ 代入線積分： $$ \begin{aligned} \int\Gamma z^2\,dz &=\int0^1 (t+it^2)^2(1+2it)\,dt\ &=\int0^1 \left(t^2-5t^4+i(4t^3-2t^5)ight)\,dt\ &=\left(\frac13-1ight)+i\left(1-\frac13ight)\ &=-\frac23+\frac23i. \end{aligned} $$ 因此 $a=-\frac23$、$b=\frac23$，所以

Answer

答案：B

Question 16

令 $$g(z)=\ointC\frac{s^2-s+2}{(s-z)^2}\,ds,$$ 其中路徑積分之路徑 $C$ 為以 $\pm2,\ \pm2i$ 為頂點之正方形的邊界，行進方向為正。請問 $g(1)$ 之值為何？ (A) $2\pi i$ (B) $1$ (C) $0$ (D) $4\pi i$

Accepted Answer

核心觀念 本題考複變函數的 柯西積分公式導數形式。若 $f(s)$ 在正向簡單閉曲線 $C$ 及其內部解析，且 $z$ 位於 $C$ 內，則 $$ \ointC \frac{f(s)}{(s-z)^2}\,ds=2\pi i\,f'(z). $$ 正方形頂點為 $\pm2,\pm2i$，原點在其內部；點 $z=1$ 也在正方形內。被積函數的分子是多項式，因此可直接套用公式。 解題方法 令 $$ f(s)=s^2-s+2, \qquad f'(s)=2s-1. $$ 由柯西積分公式導數形式， $$ g(1)=\ointC\frac{s^2-s+2}{(s-1)^2}\,ds =2\pi i\,f'(1). $$ 計算 $$ f'(1)=2(1)-1=1, $$ 因此 $$ g(1)=2\pi i. $$

Answer

答案：A

Question 17

有一個雙變數函數 $$f(x,y)=x^2\sin(xy).$$ 請問 $f(x,y)$ 在 $(1,\pi)$ 的梯度（gradient）為何？ (A) $(1,\pi)$ (B) $(\pi,1)$ (C) $(-\pi,-1)$ (D) $(1,-\pi)$

Accepted Answer

核心觀念 二變數函數 $f(x,y)$ 的梯度定義為兩個一階偏導數所組成的向量： $$ 
abla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}ight). $$ 計算偏導數時，對其中一個變數微分，另一個變數視為常數。 解題方法 題目給定 $$ f(x,y)=x^2\sin(xy). $$ 先分別計算兩個偏導數，再代入 $(x,y)=(1,\pi)$。 對 $x$ 偏微分時，使用乘法法則，並對 $\sin(xy)$ 使用鏈鎖律： $$ \frac{\partial f}{\partial x} =2x\sin(xy)+x^2\cos(xy)\frac{\partial (xy)}{\partial x} =2x\sin(xy)+x^2y\cos(xy). $$ 對 $y$ 偏微分時，$x^2$ 視為常數： $$ \frac{\partial f}{\partial y} =x^2\cos(xy)\frac{\partial (xy)}{\partial y} =x^3\cos(xy). $$ 在 $(1,\pi)$ 處，$xy=\pi$，且 $\sin\pi=0$、$\cos\pi=-1$，因此

Answer

答案：C

Question 18

考慮微分方程式 $$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)+y(t)=\sin\omega t,\qquad t\geq0,$$ 其中 $\ddot{y}$ 與 $\dot{y}$ 分別代表 $y$ 對變數 $t$ 做二次與一次微分。請問下列敘述何者正確？ (A) 對於某些 $(\dot{y}(0),y(0))$ 初值，方程式的解會收斂到零。 (B) 對於任何非零之 $(\dot{y}(0),y(0))$ 初值，方程式的解是一個頻率為 $\omega$ 之週期函數。 (C) 對於任何非零之 $(\dot{y}(0),y(0))$ 初值，方程式的解之振幅不會隨輸入函數之頻率 $\omega$ 產生變化。 (D) 對於任何非零之 $(\dot{y}(0),y(0))$ 初值，方程式的解會隨時間增大而收斂到一個週期函數。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二階常係數線性微分方程的暫態解與穩態解。若齊次解隨時間衰減，總解便會逐漸趨近由外力所造成的穩態週期解。 解題方法 先解齊次方程 $$ \ddot y+\dot y+y=0. $$ 其特徵方程為 $$ r^2+r+1=0, $$ 根為 $r=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$，因此齊次解為 $$ yh(t)=e^{-t/2}\left(C1\cos\frac{\sqrt3}{2}t+C2\sin\frac{\sqrt3}{2}tight). $$ 因為 $e^{-t/2}	o0$，不論初值為何，齊次解都會衰減至零。 對正弦輸入，設穩態特解為 $$ yp(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t. $$ 代入方程，整理 $\sin\omega t$ 與 $\cos\omega t$ 的係數，得 $$ (1-\omega^2)a-\omega b=1,\qquad \omega a+(1-\omega^2)b=0. $$ 令 $D=(1-\omega^2)^2+\omega^2$，解得 $$ a=\frac{1-\omega^2}{D},\qquad b=-\frac{\omega}{D}. $$ 故總解為 $y(t)=yh(t)+yp(t)$。當 $\omega
e0$ 時，$yp(t)$ 是頻率為 $\omega$ 的週期函數，而 $yh(t)$ 隨時間衰減，因此

Answer

答案：D

Question 19

考慮初始值問題（initial-value problem）微分方程： $$y''(x)+x\cdot y'(x)+e^x\cdot y(x)=x^2+1,$$ 初始條件為 $$y(0)=2,\qquad y'(0)=-1.$$ 如果將本問題的解答 $y(x)$ 寫成冪級數（power series）形式 $$y(x)=\sum{n=0}^{\infty}anx^n,$$ 那麼 $a2=$？（提示：可以嘗試用泰勒級數（Taylor series）的形式思考，直接將 $a2$ 與 $y''(0)$ 做連結。） (A) $-1$ (B) $-\frac{1}{2}$ (C) $0$ (D) $\frac{1}{3}$

Accepted Answer

核心觀念 冪級數 $$ y(x)=\sum{n=0}^{\infty}anx^n $$ 是以 $x=0$ 為展開中心的泰勒級數，因此 $$ an=\frac{y^{(n)}(0)}{n!}. $$ 特別是 $a2=\dfrac{y''(0)}{2}$。利用微分方程在初始點 $x=0$ 的值，即可直接求得 $y''(0)$。 解題方法 將 $x=0$、$y(0)=2$、$y'(0)=-1$ 代入微分方程 $$ y''(x)+x y'(x)+e^x y(x)=x^2+1. $$ 得到 $$ y''(0)+0\cdot y'(0)+e^0y(0)=0^2+1. $$ 由 $e^0=1$，可得 $$ y''(0)+2=1, \qquad y''(0)=-1. $$ 因此

Answer

答案：B

Question 20

下列關於拉普拉斯轉換（Laplace transformation） $$L(f):=\int0^\infty f(t)e^{-st}\,dt$$ 之敘述，何者錯誤？ (A) $L(f+g)=L(f)+L(g)$。 (B) $L^{-1}(f+g)=L^{-1}(f)+L^{-1}(g)$，其中 $L^{-1}$ 為 $L$ 之逆轉換。 (C) $L(fg)=L(f)L(g)$。 (D) $L(f')=s\cdot L(f)$，其中 $f'$ 為 $f$ 之導函數，且 $f(0)=0$。

Accepted Answer

核心觀念

本題考拉普拉斯轉換的線性性，以及函數相乘與拉普拉斯轉換之間的關係。依定義，

L(f)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt.

拉普拉斯轉換具有線性性，但一般而言，函數乘積的拉普拉斯轉換不等於各自拉普拉斯轉換的乘積。另有導數公式

L(f')=sL(f)-f(0).

解題方法

逐項比對選項與拉普拉斯轉換的基本性質。判斷選項 (C) 時，可用簡單函數代入檢驗：若等式是普遍成立的，代入任何適用的函數都應成立。

選項分析

(A) 正確。 由積分的線性性，

\begin{aligned} L(f+g) &=\int_0^\infty [f(t)+g(t)]e^{-st}\,dt\\ &=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt +\int_0^\infty g(t)e^{-st}\,dt\\ &=L(f)+L(g). \end{aligned}

(B) 正確。 在逆拉普拉斯轉換存在且相關函數可逆的條件下，逆轉換也具有線性性：

Answer

答案：C

Question 21

考慮以下函數： $$ f(t)= \begin{cases} 1,&0\leq t\leq2,\ 0,&t\leq0	ext{ 或 }t\geq2. \end{cases} $$ 下列敘述何者正確？ (A) 函數 $f(t)$ 之傅立葉轉換（Fourier transform）為 $$F(\omega)=\frac{2e^{-j\omega}\sin(\omega)}{\omega}.$$ (B) 函數 $g(t):=f(t+1)$ 之傅立葉轉換為 $$G(\omega)=\frac{\cos(\omega)}{\omega}.$$ (C) 函數 $h(t):=\cos(\omega0t)f(t)$ 之傅立葉轉換為 $$H(\omega)=\frac{2\sin(\omega-\omega0)}{\omega-\omega0}.$$ (D) 函數 $m(t):=f(-t)$ 之傅立葉轉換為 $$M(\omega)=-\frac{\sin(\omega)}{\omega}.$$

Accepted Answer

核心觀念 本題考傅立葉轉換的定義，以及時間平移、頻率平移、時間反轉等性質。採用角頻率形式： $$ F(\omega)=\int{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,dt. $$ 函數在 $0\leq t\leq2$ 為 $1$，其他區間為 $0$；單點端點的取值不影響積分，因此 $$ F(\omega)=\int0^2 e^{-j\omega t}\,dt. $$ 解題方法 對 $\omega
eq0$，直接積分： $$ \begin{aligned} F(\omega) &=\left[\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega}ight]0^2\ &=\frac{1-e^{-j2\omega}}{j\omega}\ &=\frac{2e^{-j\omega}\sin\omega}{\omega}. \end{aligned} $$ 其中使用 $1-e^{-j2\omega}=2je^{-j\omega}\sin\omega$。在 $\omega=0$ 時，取極限可得 $F(0)=2$，也符合原函數的積分面積。故 (A) 正確。 選項分析 - (A) 正確。 其式子正是由傅立葉轉換定義積分所得；在 $\omega=0$ 處以連續延拓定義為 $2$。 - (B) 錯誤。 $g(t)=f(t+1)$ 是將 $f(t)$ 向左平移 $1$，故其傅立葉轉換為

Answer

答案：A

Question 22

考慮一隨機變數 $x$，其機率密度函數具有下列形式： $$ f(x)= \begin{cases} 1-x,&x\leq1,\ 0,&x1. \end{cases} $$ 請問 $x$ 之變異數（variance）為何？ (A) $\frac{1}{6}$ (B) $\frac{2}{3}$ (C) $\frac{1}{6}$ (D) $\frac{2}{3}$

Accepted Answer

核心觀念 連續型隨機變數的變異數定義為 $$ \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2. $$ 計算前須確認機率密度函數非負且總積分為 $1$。本題給定的 $f(x)=1-x$ 在 $x\leq 1$ 時，當 $x1$ 才為 $0$；但當 $x<1$ 時，$1-x\geq 0$，其總積分為 $$ \int{-\infty}^{1}(1-x)\,dx=\infty. $$ 因此題目所列函數不是合法的機率密度函數，無法據此定義期望值或變異數。 解題方法 依官方答案選項 C 的數值 $\frac{1}{6}$，可推得命題預期的密度函數應為 $f(x)=x$（$0\leq x\leq 1$），其餘範圍為 $0$。在此合理假設下： $$ E[X]=\int0^1 x\cdot x\,dx=\int0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3}, $$ $$ E[X^2]=\int0^1 x^2\cdot x\,dx=\int0^1 x^3\,dx=\frac{1}{4}. $$ 故 $$ \operatorname{Var}(X)=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{3}\right)^2 =\frac{1}{4}-\frac{1}{9} =\frac{5}{36}. $$ 此結果並非選項 C。

Answer

答案：C

Question 23

有兩個連續的隨機變數 $X$ 與 $Y$，其聯合機率密度函數（joint probability density function）為 $$ f{X,Y}(x,y)= \begin{cases} A\cdot x\cdot y^2,&0<x<1	ext{ 且 }0<y<1,\ 0,&	ext{otherwise}. \end{cases} $$ 其中 $A$ 為常數。請問隨機變數 $X$ 的期望值（expectation）為下列何者？ (A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{2}{3}$ (C) $\frac{3}{4}$ (D) $\frac{4}{5}$

Accepted Answer

核心觀念 連續型隨機變數的聯合機率密度函數，其全域積分必須等於 $1$。期望值則由機率密度加權積分求得： $$ E[X]=\iint{\mathbb R^2}x f{X,Y}(x,y)\,dx\,dy. $$ 本題先用正規化條件求出常數 $A$，再計算 $X$ 的期望值。 解題方法 由題目給定的範圍 $0<x<1$、$0<y<1$，正規化條件為 $$ \int0^1\int0^1 Axy^2\,dy\,dx=1. $$ 分別積分可得 $$ A\left(\int0^1x\,dx\right)\left(\int0^1y^2\,dy\right) =A\left(\frac12\right)\left(\frac13\right)=1, $$ 因此 $A=6$。 接著計算 $X$ 的期望值：

Answer

答案：B

Question 24

假設有一個不公平（unfair）的銅板，在每次投擲中出現正面的機率為 $0.4$ ，出現反面的機率為 $0.6$ 。如果丟擲此銅板 $5$ 次，結果出現正面比出現反面還多次的機率為何？請在下列選項中選出最接近答案的數值。

Accepted Answer

核心觀念 每次投擲正面機率為 $0.4$，反面機率為 $0.6$，且各次投擲相互獨立。正面次數 $X$ 服從二項分配： $$ X\sim\operatorname{Binomial}(5,0.4) $$ 投擲 $5$ 次時，正面比反面多，等同於正面至少 $3$ 次，也就是 $X\ge 3$。 解題方法 依二項分配公式，正面恰好出現 $k$ 次的機率為 $$ P(X=k)=\binom{5}{k}(0.4)^k(0.6)^{5-k} $$ 因此：

Answer

答案：C

Question 25

請問 $i^{2i}$ 的主值（principal value）為何？ (A) $0$ (B) $-i$ (C) $e^{i\pi}$ (D) $e^{-\pi}$

Accepted Answer

核心觀念 複數的複數次方以複數對數定義。主值採用複數對數的主值 $$ \operatorname{Log} z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z,\qquad -\pi<\operatorname{Arg}z\le \pi, $$ 因此 $$ z^w{	ext{主值}}=\exp\!\bigl(w\operatorname{Log}z\bigr). $$ 解題方法 將 $i$ 寫成極式： $$ i=e^{i\pi/2},\qquad \operatorname{Log}i=\ln 1+i\frac{\pi}{2}=i\frac{\pi}{2}. $$ 代入 $i^{2i}$ 的主值定義：

Answer

答案：D

111 地方特考三等 電子工程 工程數學 考古題詳解

第 一 題10 分

核心觀念

解題方法

(一) 計算 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在 P0P_0P0​ 的梯度 ∇f(P0)\nabla f(P_0)∇f(P0​)

第 二 題10 分

核心觀念

解題方法

(一) 求積分因子

(二) 求解 y(x)y(x)y(x)

第 三 題10 分

核心觀念

解題方法

(一) 求矩陣 AAA 的所有特徵向量一般形式

(二) 求矩陣 B=A8B = A^8B=A8 的所有特徵向量一般形式

第 四 題10 分

核心觀念

解題方法

(一) 求 XXX 的機率密度函數 fX(x)f_X(x)fX​(x)

(二) 求 Y=X2Y = X^2Y=X2 的機率密度函數 fY(x)f_Y(x)fY​(x)

方法一：累積分布函數法（推薦）

第 五 題10 分

核心觀念

解題方法

步驟一：求出被積函數之奇異點

步驟二：求解第 (一) 小題

步驟三：求解第 (二) 小題

第 1 題2 分

核心觀念

解題方法

第 2 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 3 題2 分

第 4 題2 分

第 5 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 6 題2 分

第 7 題2 分

核心觀念

解題方法

第 8 題2 分

第 9 題2 分

第 10 題2 分

第 11 題2 分

核心觀念

解題方法

第 12 題2 分

第 13 題2 分

第 14 題2 分

核心觀念

解題方法

第 15 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 16 題2 分

第 17 題2 分

第 18 題2 分

第 19 題2 分

第 20 題2 分

其他考古題

111 年電子工程的其他科目

電子工程《工程數學》其他年度

111 年地方特考三等・其他類科的《工程數學》

111 地方特考三等電子工程工程數學考古題詳解

第一題10 分

(一) 計算 $f(x,y)$ 在 $P_0$ 的梯度 $\nabla f(P_0)$

第二題10 分

(二) 求解 $y(x)$

第三題10 分

(一) 求矩陣 $A$ 的所有特徵向量一般形式

(二) 求矩陣 $B = A^8$ 的所有特徵向量一般形式

第四題10 分

(一) 求 $X$ 的機率密度函數 $f_X(x)$

(二) 求 $Y = X^2$ 的機率密度函數 $f_Y(x)$

第五題10 分