113 地方特考三等 漁業技術 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題比較三種網目大小下的平均漁獲量，且各組樣本來自常態母體、變異數相同，因此使用「單因子變異數分析」（one-way ANOVA）。

設三種網目大小的母體平均漁獲量分別為 $\mu_1,\mu_3,\mu_5$：

檢定統計量為：

其中：

• $MS_B$：組間均方，反映網目大小造成的平均數差異。
• $MS_W$：組內均方，反映同一網目大小內的隨機誤差。

解題方法與計算

三組資料如下：

• $1$ 公分：$106,120,110,100,115$
• $3$ 公分：$100,94,118,122,110$
• $5$ 公分：$87,82,85,90,88$

每組樣本數均為 $n_i=5$，總樣本數為 $N=15$。

各組平均數為：

總平均數為：

一、計算組間平方和

組間自由度：

因此：

二、計算組內平方和

第一組：

第二組：

第三組：

因此：

組內自由度：

核心觀念

本題考驗兩獨立樣本平均數差異的檢定。兩組樣本來自常態母體，且母體變異數相同，因此使用「合併變異數的獨立樣本 $t$ 檢定」（pooled two-sample $t$ test）。

令 $\mu_A$、$\mu_B$ 分別為兩種飼料下香魚體重平均增加量。題目問「是否有差異」，採雙尾檢定：

顯著水準為 $\alpha=0.01$。兩組樣本數皆為 $11$，自由度為 $n_A+n_B-2=20$。

解題方法

先計算兩組樣本平均數：

樣本平均差為：

兩組樣本變異數（分母為 $n-1$）為：

核心觀念

本題是比較「藥物種類」與「治療結果」是否具有關聯，資料為 $2\times 2$ 列聯表，因此使用 Pearson 卡方獨立性檢定（亦可稱同質性檢定）。

• $H_0$：新、舊藥物的治療效果相同，藥物種類與治療結果相互獨立。
• $H_1$：兩種藥物的治療效果不同，藥物種類與治療結果不獨立。
• 顯著水準：$\alpha=0.05$
• 自由度：

解題方法

先計算列總和、欄總和及總人數：

在 $H_0$ 成立下，各格期望次數為：

因此：

計算 Pearson 卡方統計量：

核心觀念

本題以年齡 $x$ 為自變數、體長 $y$ 為依變數，計算簡單線性迴歸式

其中斜率 $b_1$ 表示年齡每增加 1 年時，預測體長平均增加多少；截距 $b_0$ 是 $x=0$ 時的預測體長。決定係數 $r^2$ 表示體長變異中可由年齡的線性關係解釋的比例。

檢定迴歸是否成立，等同檢定斜率是否為 0：

在簡單線性迴歸的常態誤差假設下，斜率檢定統計量為

自由度為 $n-2$。

解題方法與計算

令 $x$ 為年齡、$y$ 為體長，資料數 $n=8$。先計算各項總和：

因此

計算校正平方和與交叉乘積和：

1. 斜率與截距

最小平方法的斜率與截距為

核心觀念

本題考查列聯表卡方檢定的連續性校正、假設檢定的拒絕域，以及迴歸分析與假設檢定中的基本名詞。作答時應清楚說明各名詞的定義、適用情境及其與相關統計量的關係。

解題方法

（一）葉氏校正（Yate’s correction）

葉氏校正又稱連續性校正，用於以連續的卡方分配近似離散的列聯表資料，常見於 $2\times2$ 列聯表的 Pearson 卡方檢定。計算觀察值與期望值的差異時，將絕對差減去 $0.5$，以改善近似效果：

其中 $O$ 為觀察次數，$E$ 為期望次數。校正通常會使卡方統計量變小、$p$ 值變大，使檢定較保守。當期望次數很小時，仍須留意卡方近似是否適當，必要時可採用 Fisher 精確檢定。

（二）拒絕域（Rejection region）

拒絕域是檢定統計量落入時，依預先設定的顯著水準 $\alpha$ 而拒絕虛無假設 $H_0$ 的數值範圍。拒絕域由檢定方向、檢定統計量的虛無分配及顯著水準共同決定。

例如，標準常態母體平均數的右尾檢定，在顯著水準 $\alpha$ 下，若檢定統計量 $Z>z_{1-\alpha}$，即落入拒絕域；左尾檢定則以左側臨界值判定，雙尾檢定則將 $\alpha$ 分配至兩尾。檢定統計量未落入拒絕域時，稱為不拒絕 $H_0$，不代表已證明 $H_0$ 為真。

（三）簡單線性迴歸（Simple linear regression）

簡單線性迴歸用來描述或估計一個應變數 $Y$ 與一個自變數 $X$ 之間的線性關係。母體迴歸模型通常寫作：

其中 $\beta_0$ 為截距，$\beta_1$ 為迴歸斜率，$\varepsilon_i$ 為隨機誤差。以樣本估計後，迴歸線為：