111 地方特考三等 漁業技術 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗母體參數估計、標準誤（Standard Error, SE）與標準差（Standard Deviation, SD）之數學關係，以及中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）之抽樣分配應用。

主要涉及的定義與公式如下：

1. 標準誤與標準差之關係： 對於樣本數為 $n$ 的抽樣，樣本平均數的標準誤 $SE$ 與樣本標準差 $s$ 之關係為： $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} \implies s = SE \times \sqrt{n}$ 本題利用全國大樣本（$n_0 = 933$）之數據，可視為母體參數之不偏估計：

• 母體平均數 $\mu \approx \bar{X}_0 = 1579.71\text{ 大卡}$
• 母體標準差 $\sigma \approx s = SE_0 \times \sqrt{n_0}$

2. 中央極限定理（CLT）： 當新樣本的樣本數 $n = 49 \ge 30$ 時，不論母體原本分配為何，樣本平均數 $\bar{X}$ 之抽樣分配皆近似於常態分配： $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ 新樣本平均數的標準誤為： $SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
3. 標準常態化轉換（$Z$ 分數）： $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{SE(\bar{X})} = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

解題方法

步驟一：由全國調查推估母體參數（平均數與標準差）

依據 2017–2020 年國民營養調查之大樣本資料（$n_0 = 933$）：

• 母體平均數估計值： $\mu = 1579.71\text{ 大卡}$
• 全國樣本之標準誤 $SE_0 = 39.61\text{ 大卡}$，推算母體標準差 $\sigma$： $\sigma \approx s = SE_0 \times \sqrt{n_0} = 39.61 \times \sqrt{933} \approx 39.61 \times 30.545 \approx 1209.89\text{ 大卡}$

步驟二：計算社區樣本平均數的抽樣分配與標準誤

社區抽取 75 歲及以上長者樣本數 $n = 49$：

• 依據中央極限定理，$n = 49 \ge 30$，樣本平均數 $\bar{X}$ 服從常態分配： $\bar{X} \sim N\left(\mu, \sigma_{\bar{X}}^2\right)$
• 社區樣本平均數的標準誤 $SE(\bar{X})$ 為：

核心觀念

本題旨在檢定兩個獨立母體平均數是否具有顯著差異，屬於獨立雙樣本平均數檢定（Independent Two-Sample Test for Means）。

1. 統計假說設定：

• 虛無假說（$H_0$）：$\mu_1 = \mu_2$（31–44 歲男性與女性之血漿維生素 B6 平均值無顯著差異，即 $\mu_1 - \mu_2 = 0$）
• 對立假說（$H_1$）：$\mu_1 \neq \mu_2$（31–44 歲男性與女性之血漿維生素 B6 平均值有顯著差異，雙尾檢定）

2. 檢定方法選用： 兩組樣本數均為 $n_1 = n_2 = 36 \ge 30$，屬於大樣本。母體變異數未知，在生物統計學常態假設與等變異數前提下，採用獨立雙樣本 $t$ 檢定；亦可根據中央極限定理（CLT）採用大樣本 $Z$ 檢定近似，兩者推論結果一致。

3. 關鍵公式：

• 合併變異數（Pooled Variance）： $s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$
• 檢定統計量（$t$ 統計量）： $t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - 0}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$ 自由度 $df = n_1 + n_2 - 2$。

解題方法

步驟一：整理題目已知條件

• 第 1 組（男性）：樣本數 $n_1 = 36$，樣本平均值 $\bar{x}_1 = 20.1\text{ nM}$，樣本標準差 $s_1 = 10.86\text{ nM}$
• 第 2 組（女性）：樣本數 $n_2 = 36$，樣本平均值 $\bar{x}_2 = 18.6\text{ nM}$，樣本標準差 $s_2 = 10.02\text{ nM}$
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$

步驟二：計算合併變異數與標準誤

因兩組樣本數相等（$n_1 = n_2 = 36$），合併變異數為兩組樣本變異數的簡單算術平均： $s_p^2 = \frac{(36 - 1)(10.86)^2 + (36 - 1)(10.02)^2}{36 + 36 - 2} = \frac{10.86^2 + 10.02^2}{2}$ $s_1^2 = 10.86^2 = 117.9396$ $s_2^2 = 10.02^2 = 100.4004$ $s_p^2 = \frac{117.9396 + 100.4004}{2} = \frac{218.34}{2} = 109.17$

兩組平均值差之標準誤（Standard Error, $SE$）：

核心觀念

本題評量二項母體比例的點估計與區間估計，以及大樣本下的常態近似法（Wald 漸進信賴區間）。

1. 母體比例之點估計（Point Estimation）： 設隨機樣本數為 $n$，具備特定屬性的個數為 $X$（此處 $X \sim \text{Binomial}(n, p)$），則母體發生率 $p$ 的不偏估計量為樣本比例 $\hat{p}$： $\hat{p} = \frac{X}{n}$

2. 抽樣分配與中央極限定理（Central Limit Theorem）： 當樣本數充分大，且同時滿足大樣本檢驗條件 $n\hat{p} \ge 5$ 與 $n(1-\hat{p}) \ge 5$（部分教科書採用 $\ge 10$）時，樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分配漸進服從常態分配： $\hat{p} \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

3. 母體比例之 $95\%$ 信賴區間（Confidence Interval, CI）公式： 在 $1-\alpha = 0.95$（即顯著水準 $\alpha = 0.05$）下，雙尾臨界值為標準常態分配之 $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。 母體比例 $p$ 之 $95\%$ 信賴區間公式為： $\hat{p} \pm z_{0.025} \times SE(\hat{p}) = \hat{p} \pm 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ 其中 $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ 為樣本比例之標準誤（Standard Error）。

解題方法

步驟一：整理已知數據

• 樣本總人數 $n = 3600$
• 自述有性行為人數 $X = 432$
• 信賴水準 $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$，$z_{0.025} = 1.96$

步驟二：計算發生性行為率（點估計值） $\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{432}{3600} = 0.12 = 12\%$

步驟三：檢驗常態近似條件

• $n\hat{p} = 3600 \times 0.12 = 432 \ge 5$
• $n(1-\hat{p}) = 3600 \times (1 - 0.12) = 3168 \ge 5$

兩者皆遠大於 5，常態近似成立。

步驟四：計算估計式之標準誤（$SE$） $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.12 \times 0.88}{3600}} = \sqrt{\frac{0.1056}{3600}}$ 拆解開根號： $SE(\hat{p}) = \frac{\sqrt{0.1056}}{60} \approx \frac{0.32496}{60} \approx 0.005416$

步驟五：計算誤差界限（Margin of Error, $ME$） $ME = z_{0.025} \times SE(\hat{p}) = 1.96 \times 0.005416 \approx 0.010615 \approx 0.0106$

核心觀念

本題考簡單線性迴歸的變異數分析、決定係數及迴歸係數。依題目第（四）小題，令 $X=\text{coping}$、$Y=\text{stress}$，迴歸式為

$Y=a+bX+\varepsilon$

變異數分析的平方和分解為：

$SST=SSR+SSE$

其中 $SSR$ 是迴歸模型平方和，$SSE$ 是誤差平方和，$SST$ 是校正總平方和。決定係數為 $R^2=SSR/SST$。

（一）填寫變異數分析表及解釋

樣本數 $n=398$，簡單線性迴歸有一個斜率參數，因此：

• 模型自由度：$(1)=1$
• 誤差自由度：$(4)=n-2=396$
• 校正總自由度：$(7)=n-1=397$

由平方和分解：

$SSE=SST-SSR=230.28-6.68=223.60$

因此 $(5)=223.60$。均方為平方和除以自由度：

填妥如下：

$F=11.83$ 且 $p<0.01$，表示在顯著水準 $0.01$ 下，迴歸模型與實習壓力有統計上顯著的線性關係；但顯著不代表模型解釋力一定很高。

（二）模型對實習壓力的解釋能力

以決定係數表示：