108 地方特考三等 電力工程 電路學 考古題詳解

核心觀念

由端點 $a$、$b$ 看入的諾頓等效電路，是一個電流源 $I_N$ 與等效電阻 $R_N$ 並聯。可先求戴維寧等效，再換算成諾頓等效：

圖中兩條斜線交叉處以跨線弧形表示，兩線沒有電氣連接。左下端是電壓源負端，也與 $5\,\Omega$ 電阻左端及 $4\,\Omega$ 電阻下端相接。

解題方法

一、求開路電壓 $V_{\mathrm{Th}}=V_{ab}$

令左下端為接地，電壓源上端電位為 $10\,\mathrm{V}$。設 $1\,\Omega$、$2\,\Omega$、$3\,\Omega$ 電阻交會點電位為 $V_x$。

開路時，對端點 $a$、$b$ 分別寫節點方程：

對 $V_x$ 寫節點方程：

代入 $V_a=\frac{2}{3}V_x$、$V_b=\frac{5}{8}V_x$：

因此

二、求等效電阻 $R_{\mathrm{Th}}$

核心觀念

本題考查理想運算放大器的虛短、輸入端不取電流，以及電容在 $s$ 域的阻抗 $1/(sC)$。依圖中接法，非反相端接地，因此在線性負回授下，反相端為虛地，且運算放大器輸入電流為零。

令 $V_x$ 為 $R_1$、$R_2$、$C_1$、$C_2$ 相接的節點電壓，反相端電壓為 $0$。

解題方法

先對反相端列 KCL。流經 $C_2$ 與 $R_3$ 的電流代數和為零：

整理得：

再對 $V_x$ 節點列 KCL。流向各支路的電流總和為零：

將 $V_o=-R_3sC_2V_x$ 代入：

整理後：

核心觀念

求含受控源電路的等效電阻時，需在端點 $c$ 與地之間加上測試電壓 $V_t$，並計算流入電路的測試電流 $I_t$：

受控電流源 $g_m v_\pi$ 必須保留。圖中 $r_\pi$ 與 $R_E$ 都接在射極與地之間；基極接地，因此依圖示極性，$v_\pi=-V_E$。

解題方法

令端點 $c$ 的電壓為 $V_t$，射極電壓為 $V_E$。在射極節點列 KCL。受控源箭頭由 $c$ 指向射極，而其電流為 $g_m v_\pi=-g_m V_E$，故由射極流向 $c$ 的電流為 $g_m V_E$：

整理得

端點 $c$ 的測試電流包含流經 $r_\mu$、$r_o$ 及受控電流源的電流：

核心觀念

本題考三級 RC 梯形網路的相量轉移函數。各電容接地，阻抗為 $1/(j\omega C)$；令 $x=j\omega RC$，即可用節點電壓法求出輸出與輸入的比值。題目要求輸出與輸入相差 $180^\circ$ 時的電壓增益。

解題方法

設三個電容上端的節點電壓依序為 $V_1、V_2、V_o$。依圖中電路寫節點方程：

解此聯立方程，得到轉移函數：

令 $x=j\omega RC$，並設 $y=\omega RC$，則

要使輸出與輸入相差 $180^\circ$，轉移函數的分母須為負實數，因此虛部為零：

核心觀念

此題考查電感的電壓電流關係 $v_L(t)=L\,\dfrac{di_L}{dt}$、節點電流定律，以及脈衝輸入造成的電感電流瞬間變化。電路初始靜止，故 $i_L(0^-)=0$；對電感的微分方程在 $t=0$ 積分，可求出脈衝作用後的初始電流。

解題方法

依序將三個電感的電流記為 $i_1(t)$、$i_2(t)$、$i_3(t)$，方向均由左向右。三個電阻皆為 $1\,\Omega$，所以各節點電壓可由節點電流定律表示為

輸入端的 $1\,\Omega$ 電阻與第一個 $1\,\mathrm H$ 電感串聯。依電感關係與迴路電壓定律，三個電流滿足

對第一式在 $t=0$ 前後積分，脈衝電壓使第一個電感電流增加 $1\,\mathrm A$；其餘兩式沒有脈衝項，電流在 $t=0$ 不跳變。因此

對 $t>0$，輸入脈衝已結束，電流依齊次狀態方程衰減。其特徵方程為