110 地方特考三等 電力工程 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 電阻橋式電路的等效電阻。
2. 電阻並聯公式。
3. 歐姆定律 $I=V/R$。
4. 橋式電路中兩個中間節點電壓不相等，因此不能直接將 $12.5\Omega$ 與 $10\Omega$、$15\Omega$ 與 $20\Omega$ 分別串並聯化簡。

右側 $30\Omega$ 電阻直接跨接於 $a,b$ 兩端，與中間的橋式網路並聯。

解題方法：先求橋式網路等效電阻

先對橋式網路施加測試電壓 $V_{ab}=1\text{ V}$，令下端 $b$ 為接地。

設左、右兩個中間節點電壓分別為 $V_1,V_2$。

1. 列節點電壓方程式

對左中間節點：

整理得：

對右中間節點：

整理得：

聯立解得：

2. 求橋式網路輸入電流

由上端 $a$ 流入橋式網路的電流為：

代入 $V_1,V_2$：

因此橋式網路的等效電阻為：

3. 與 $30\Omega$ 電阻並聯

因此：

核心觀念

本題考查一階 RC 暫態電路，使用：

1. 電容電壓連續性 $v_0(0^+)=v_0(0^-)\,.$

2. 一階電路自然響應形式 $v_0(t)=v_0(\infty)+\left[v_0(0^+)-v_0(\infty)\right]e^{-t/\tau}\,.$

3. 時間常數 $\tau=R_{\text{th}}C\,.$

一、求初始電壓 $v_0(0^-)$

開關在 OFF 位置已經很久，電路達到直流穩態，電容視為開路，因此左側 $6\,\text{k}\Omega$ 中沒有電流。

左側節點電壓由 $8\,\text{mA}$ 電流全部流經 $10\,\text{k}\Omega$ 電阻所決定：

由電容電壓不可瞬間改變：

二、求最終值 $v_0(\infty)$

開關切換至 ON 且經過很久後，電容再次視為開路。

令依電路圖：

• 受控電壓源左端電壓為 $v_0$
• 受控電壓源右端節點電壓為 $v_x$
• $i_\Delta$ 方向由左向右流經 $20\,\text{k}\Omega$

因為 $v_x$ 僅經 $80\,\text{k}\Omega$ 與 $20\,\text{k}\Omega$ 連接至電路，其節點方程式為：

乘以 $80\,\text{k}\Omega$：

又

受控電壓源的極性為左正右負，因此：

代入數值：

所以：

三、求時間常數 $\tau$

核心觀念

本題考查：

• 電荷由電流對時間積分求得：

$q=\int i(t)\,dt$

• 電路吸收的能量由瞬時功率對時間積分求得：

$w=\int p(t)\,dt=\int v(t)i(t)\,dt$

圖中時間單位為 $\mathrm{ks}$，因此計算結果若以 $\mathrm{A\cdot ks}$ 表示，須乘以 $1000$ 才能換算為庫侖；若以 $\mathrm{W\cdot ks}$ 表示，則為 $\mathrm{kJ}$。

解題方法

1. 電壓與電流函數

在 $0\leq t\leq 15\ \mathrm{ks}$ 間，電壓由 $9\ \mathrm{V}$ 線性上升至 $12\ \mathrm{V}$，故

電流分為三段：

$0\leq t\leq 4$

由 $15\ \mathrm{A}$ 降至 $10\ \mathrm{A}$：

$4\leq t\leq 12$

由 $10\ \mathrm{A}$ 降至 $6\ \mathrm{A}$：

$12\leq t\leq 15$

由 $6\ \mathrm{A}$ 降至 $0\ \mathrm{A}$：

（一）傳送至電路的總電荷

以各段電流－時間圖形面積求取：

因為

所以

（二）傳送至電路的總能量

由

分三段計算。

核心觀念

本題考查：

• 正弦穩態相量分析。
• 耦合電感的互感項與點標記法。
• 耦合係數 $k=\frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}$
• 耦合線圈瞬時儲能 $w(t)=\frac12L_1i_g^2+\frac12L_2i_L^2+Mi_gi_L$
• 最大平均功率轉移。

圖中兩個電流皆流入各自線圈的點端，因此互感項取正號。

(一) 求 $i_g$ 與 $i_L$ 的穩態表示式

已知

因此

且

相量阻抗為

令電流相量為 $\underline I_g$、$\underline I_L$，由網孔方程式：

由第二式得

代入第一式：

因為 $(j5)^2=-25$，所以

因此

其大小與相角為

所以

故

數值表示為

再由

可得

因此

故