110 年地方特考三等電力工程考古題與詳解

Question 1

磁路結構示意如圖所示。鐵心的截面積為 $9\ \mathrm{cm^2}$、平均長度為 $50\ \mathrm{cm}$、相對導磁係數為 $200$。線圈編號 1 的匝數 $N1$ 為 100 匝，線圈編號 2 的匝數 $N2$ 為 200 匝。忽略線圈的漏磁及鐵心磁飽和。 圖示為兩個線圈繞於同一鐵心上，線圈編號 1 端電壓為 $v1$、電流為 $i1$，線圈編號 2 端電壓為 $v2$；兩線圈的電壓正端均位於上方。 (一) 計算線圈編號 1 及編號 2 的自感及互感。 (二) 若線圈編號 1 的電流為 $i1=2\sin(2000t)\ \mathrm{A}$，計算線圈編號 2 的開路端電壓 $v2$ 時間函數。 註：真空的導磁係數為 $\mu0=4\pi	imes10^{-7}\ \mathrm{H/m}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查同一鐵心上兩線圈的： - 磁路磁阻 - 線圈自感 - 兩線圈互感 - 法拉第電磁感應定律 鐵心磁阻為 $$ \mathcal{R}=\frac{\ell}{\mu A} $$ 其中 $$ \mu=\mu0\mur $$ 線圈自感與互感分別為 $$ L1=\frac{N1^2}{\mathcal{R}},\qquad L2=\frac{N2^2}{\mathcal{R}} $$ $$ M=\frac{N1N2}{\mathcal{R}} $$ 因題目忽略漏磁，耦合係數為 $1$，故可直接使用上述公式。 --- 解題方法 已知 $$ A=9\ \mathrm{cm^2}=9	imes10^{-4}\ \mathrm{m^2} $$ $$ \ell=50\ \mathrm{cm}=0.5\ \mathrm{m} $$ $$ \mu=\mu0\mur =(4\pi	imes10^{-7})(200) =8\pi	imes10^{-5}\ \mathrm{H/m} $$ 因此鐵心磁阻為 $$ \mathcal{R} =\frac{0.5}{(8\pi	imes10^{-5})(9	imes10^{-4})} =\frac{6.9444	imes10^6}{\pi} \ \mathrm{A/Wb} $$ （一）計算自感及互感 線圈 1 的自感 $$ L1=\frac{N1^2}{\mathcal{R}} =\frac{100^2}{\mathcal{R}} $$ 亦可寫成 $$ L1=\frac{N1^2\mu A}{\ell} $$ 代入得 $$ L1 =\frac{(100)^2(8\pi	imes10^{-5})(9	imes10^{-4})}{0.5} $$ $$ \boxed{L1=1.44\pi	imes10^{-3}\ \mathrm{H}} $$ $$ \boxed{L1\approx4.524\ \mathrm{mH}} $$ 線圈 2 的自感 $$ L2=\frac{N2^2}{\mathcal{R}} =\frac{200^2}{\mathcal{R}} $$ $$ L2 =\frac{(200)^2(8\pi	imes10^{-5})(9	imes10^{-4})}{0.5} $$ $$ \boxed{L2=5.76\pi	imes10^{-3}\ \mathrm{H}} $$ $$ \boxed{L2\approx18.096\ \mathrm{mH}} $$ 線圈 1 與線圈 2 的互感 由於兩線圈完全耦合，

Question 2

某台三相、Y 接、6 極、60 Hz、線電壓為 440 V 的感應電動機，其每相等效至定子側的電路及參數如圖所示。圖中 $s$ 表示滑差率， $\hat{V}_1$ 、 $\hat{I}_1$ 分別表示電壓及電流相量。

每相等效電路包含定子電阻 $0.24\ \Omega$ 、定子漏電抗 $j1.2\ \Omega$ 、激磁電抗 $j24\ \Omega$ 、轉子漏電抗 $j2\ \Omega$ ，以及轉子等效電阻 $\frac{R_2}{s}$ 。

(一) 在額定電壓及頻率下，最大電磁轉矩（崩潰轉矩）發生時，對應的轉速為 1120 轉／分，計算圖中的電阻 $R_2$ 。

(二) 在與(一)相同條件下，計算最大電磁轉矩發生時的電動機輸入相電流、最大電磁轉矩及輸入總實功率。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三相感應電動機的： - 同步轉速與滑差率 - 每相等效電路的戴維寧等效 - 最大電磁轉矩條件 - 空氣隙功率與電磁轉矩的關係 六極、$60\ 	ext{Hz}$ 電動機的同步轉速為 $$ ns=\frac{120f}{P} =\frac{120(60)}{6} =1200\ 	ext{轉／分} $$ 額定轉速為 $1120\ 	ext{轉／分}$，因此滑差率 $$ s=\frac{ns-n}{ns} =\frac{1200-1120}{1200} =\frac{1}{15} =0.06667 $$ --- 解題方法 將定子側電路左端的定子阻抗與激磁電抗作戴維寧等效。 定子阻抗為 $$ Z1=0.24+j1.2\ \Omega $$ 激磁阻抗為 $$ Zm=j24\ \Omega $$ 故戴維寧等效阻抗 $$ Z{	ext{th}} =Z1\parallel Zm =\frac{(0.24+j1.2)(j24)}{0.24+j25.2} $$ 計算得 $$ Z{	ext{th}} =0.2177+j1.1449\ \Omega $$ 因此 $$ R{	ext{th}}=0.2177\ \Omega $$ $$ X{	ext{th}}=1.1449\ \Omega $$ 轉子支路阻抗為 $$ Z2=\frac{R2}{s}+j2 $$ 感應電動機發生最大電磁轉矩時，需滿足 $$ \frac{R2}{s} = \sqrt{R{	ext{th}}^2+(X{	ext{th}}+X2)^2} $$ 其中 $X2=2\ \Omega$。 --- （一）計算轉子電阻 $R2$ $$ \frac{R2}{s} = \sqrt{(0.2177)^2+(1.1449+2)^2} $$ $$ \frac{R2}{s} = 3.1525\ \Omega $$ 由於 $s=1/15$， $$ R2=s(3.1525) =\frac{1}{15}(3.1525) $$ 所以 $$ \boxed{R2\approx 0.210\ \Omega} $$ --- （二）最大電磁轉矩時的輸入相電流、最大電磁轉矩及輸入總實功率 1. 戴維寧等效電壓 線電壓為 $440\ 	ext{V}$，Y 接時每相電壓為 $$ V1=\frac{440}{\sqrt{3}} =254.0\ 	ext{V} $$ 戴維寧電壓為 $$ V{	ext{th}} =V1\frac{j24}{0.24+j25.2} $$ 其大小為 $$ |V{	ext{th}}| = 254.0\frac{24}{\sqrt{0.24^2+25.2^2}} \approx 241.9\ 	ext{V} $$ 最大轉矩時， $$ \frac{R2}{s}=3.1525\ \Omega $$…

Question 3

永磁式有刷直流電動機驅動永磁式有刷直流發電機，其轉軸直接連結，如圖所示。

電動機的電樞電阻為 $1.0\ \Omega$ ，在轉速為 1200 轉／分時，其反電動勢為 $120\ \mathrm{V}$ ；發電機的電樞電阻為 $2.0\ \Omega$ ，在轉速為 1200 轉／分時，其反電動勢為 $240\ \mathrm{V}$ 。

若發電機供給直流負載，其端電壓為 $400\ \mathrm{V}$ ，直流負載的消耗總功率為 $4\ \mathrm{kW}$ ，忽略電動機及發電機的鐵心損失及旋轉損失，計算穩態時永磁式有刷直流電動機的：

(一) 轉速。

(二) 電磁轉矩。

(三) 輸入端電壓 $V_{aM}$ 。

(四) 電樞電流 $I_{aM}$ 。

圖示為永磁式有刷直流電動機與永磁式有刷直流發電機以轉軸直接連結。電動機輸入端電壓為 $V_{aM}$ 、電樞電流為 $I_{aM}$ ；發電機輸出端電壓為 $V_{aG}$ 、電樞電流為 $I_{aG}$ ，並供電予直流負載。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查永磁式有刷直流電動機與發電機的基本關係： 1. 永磁式直流機磁通為定值，因此反電動勢與轉速成正比： $$Ea \propto n$$ 2. 發電機端電壓方程式： $$V{aG}=E{aG}-I{aG}R{aG}$$ 3. 電動機端電壓方程式： $$V{aM}=E{aM}+I{aM}R{aM}$$ 4. 忽略鐵心損失與旋轉損失，且兩機直接連結、穩態運轉時，電動機電磁轉矩等於發電機電磁轉矩。 假設電刷壓降忽略不計。 --- 解題方法與計算 （一）轉速 直流負載端電壓為 $400\ \mathrm{V}$，消耗功率為 $4\ \mathrm{kW}$，因此發電機電樞電流為 $$ I{aG}=\frac{PL}{V{aG}} =\frac{4000}{400} =10\ \mathrm{A} $$ 發電機電樞電阻為 $2\ \Omega$，故其反電動勢為 $$ E{aG}=V{aG}+I{aG}R{aG} $$ $$ E{aG}=400+10(2)=420\ \mathrm{V} $$ 已知發電機在 $1200$ 轉／分時，反電動勢為 $240\ \mathrm{V}$。因為磁通固定： $$ \frac{E{aG}}{240} = \frac{n}{1200} $$ 因此 $$ n=1200\left(\frac{420}{240}ight) =2100\ 	ext{轉／分} $$ --- （二）電磁轉矩 發電機的電磁轉換功率為 $$ P{\mathrm{em,G}}=E{aG}I{aG} $$ $$ P{\mathrm{em,G}}=420(10)=4200\ \mathrm{W} $$ 轉子角速度為 $$ \omegam=\frac{2\pi n}{60} =\frac{2\pi(2100)}{60} =70\pi\ \mathrm{rad/s} $$ 因此發電機電磁轉矩為 $$ T{\mathrm{em,G}} = \frac{P{\mathrm{em,G}}}{\omegam} = \frac{4200}{70\pi} = \frac{60}{\pi} \approx 19.1\ \mathrm{N\cdot m} $$ 穩態且忽略機械損失時，電動機與發電機的電磁轉矩大小相等，因此 $$ T{\mathrm{em,M}} = T{\mathrm{em,G}} \approx 19.1\ \mathrm{N\cdot m} $$ 方向上，電動機轉矩為驅動轉矩，發電機電磁轉矩為阻轉矩。 --- （三）電動機輸入端電壓 $V{aM}$ 電動機在 $1200$ 轉／分時反電動勢為 $120\ \mathrm{V}$，在 $2100$ 轉／分時：

Question 4

某台 $150\ \mathrm{kVA}$、$4200\ \mathrm{V}:420\ \mathrm{V}$、Y-Y 接線的三相變壓器，在三相平衡電源下進行開路及短路實驗。 開路實驗時，高壓側開路，低壓側量測其三相總功率為 $540\ \mathrm{W}$、線電壓為 $420\ \mathrm{V}$、線電流為 $5.4\ \mathrm{A}$。 短路實驗時，低壓側短路，高壓側量測其三相總功率為 $1860\ \mathrm{W}$、線電壓為 $85\ \mathrm{V}$、線電流為 $20.6\ \mathrm{A}$。 若低壓側接三相負載，其負載的電壓及電流為三相變壓器的額定值，功率因數為 $0.85$ 落後，計算此三相變壓器的效率及電壓調整率。 註：計算電壓調整率時可忽略鐵心損失。

Accepted Answer

核心觀念 本題利用三相變壓器的開路試驗與短路試驗，求得： 1. 鐵心損失； 2. 額定負載時的銅損； 3. 額定負載效率； 4. 等效串聯電阻與電抗，進而求電壓調整率。 三相變壓器的額定容量為 $$ SN=150\ \mathrm{kVA} $$ 低壓側額定線電壓為 $420\ \mathrm{V}$，高壓側額定線電壓為 $4200\ \mathrm{V}$，匝數比為 $$ a=\frac{4200}{420}=10 $$ 兩側皆為 Y 接線，因此線電壓與相電壓關係為 $$ VL=\sqrt{3}V\phi $$ 且 Y 接線中線電流等於相電流。 --- 開路試驗：求鐵心損失 開路試驗時，低壓側施加額定電壓 $420\ \mathrm{V}$，高壓側開路。此時鐵心磁通達額定值，且空載電流很小，空載銅損可忽略，因此瓦特計讀值可視為鐵心損失： $$ P{\mathrm{core}}\approx P{\mathrm{OC}}=540\ \mathrm{W} $$ 所以變壓器在額定電壓下的鐵心損失為 $$ \boxed{P{\mathrm{core}}=540\ \mathrm{W}} $$ 開路電流 $5.4\ \mathrm{A}$ 主要用於分析激磁支路，本題求效率與電壓調整率時不必使用。 --- 短路試驗：求額定銅損與等效阻抗 短路試驗時，低壓側短路，高壓側施加較低電壓，使高壓側流過額定電流。此時鐵心磁通很小，鐵心損失可忽略，因此瓦特計讀值可視為額定銅損： $$ P{\mathrm{cu},N}\approx P{\mathrm{SC}}=1860\ \mathrm{W} $$ 高壓側額定線電流為 $$ I{H,N}=\frac{SN}{\sqrt{3}VH} =\frac{150000}{\sqrt{3}	imes4200} \approx20.62\ \mathrm{A} $$ 題目短路試驗所得 $20.6\ \mathrm{A}$ 即為額定電流。 1. 高壓側每相等效電阻 三相銅損為 $$ P{\mathrm{cu}}=3I^2R{\mathrm{eq}} $$ 因此 $$ R{\mathrm{eq},H} =\frac{1860}{3(20.6)^2} \approx1.46\ \Omega $$ 2. 高壓側每相等效阻抗 短路試驗高壓側線電壓為 $85\ \mathrm{V}$，其相電壓為 $$ V{\mathrm{SC},\phi} =\frac{85}{\sqrt{3}} \approx49.07\ \mathrm{V} $$ 所以每相等效阻抗為 $$ Z{\mathrm{eq},H} =\frac{V{\mathrm{SC},\phi}}{IH} =\frac{85/\sqrt{3}}{20.6} \approx2.38\ \Omega $…

Question 5

某台三相、Y 接、60 Hz、8 極、線電壓為 440 V 的圓筒型同步電動機，每相的同步電抗為 $j2.5\ \Omega$ ，忽略電樞電阻、鐵心損失及旋轉損失。

在額定電壓及頻率下操作，且反電動勢與額定電壓相同時，其輸出轉矩為 $400\ \mathrm{N\cdot m}$ 。計算此電動機的：

(一) 轉速。

(二) 輸入相電流。

(三) 功率角。

(四) 功率因數角。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三相圓筒型同步電動機的： - 同步轉速 - 三相功率與機械輸出轉矩的關係 - 同步電抗下的功率角 - 輸入相電流與功率因數角 已知忽略電樞電阻、鐵心損失及旋轉損失，因此電動機輸入功率等於機械輸出功率。 同步電動機的功率角公式為 $$ P=\frac{3VE}{Xs}\sin\delta $$ 其中 $V$、$E$ 均為每相電壓，$\delta$ 為功率角。對同步電動機而言，反電動勢 $E$ 落後端電壓 $V$ 角度 $\delta$。 --- 解題方法 （一）轉速 同步轉速為 $$ ns=\frac{120f}{P} $$ 其中極數 $P=8$，頻率 $f=60\ \mathrm{Hz}$，因此 $$ ns=\frac{120(60)}{8}=900\ \mathrm{rpm} $$ 機械角速度為 $$ \omegam=\frac{2\pi ns}{60} =\frac{2\pi(900)}{60} =30\pi\ \mathrm{rad/s} $$ --- （二）輸入相電流 1. 求輸出功率 由輸出轉矩與機械角速度的關係： $$ P{	ext{out}}=T\omegam $$ 代入 $T=400\ \mathrm{N\cdot m}$： $$ P{	ext{out}} =400(30\pi) =12000\pi \approx 37699\ \mathrm{W} $$ 因為各項損失均忽略， $$ P{	ext{in}}=P{	ext{out}}\approx 37699\ \mathrm{W} $$ 2. 換算每相電壓 電動機為 Y 接，因此每相端電壓為 $$ V=\frac{VL}{\sqrt{3}} =\frac{440}{\sqrt{3}} \approx 254.03\ \mathrm{V} $$ 題目表示反電動勢與額定電壓相同，因此 $$ E=V\approx254.03\ \mathrm{V} $$ 3. 求功率角 由同步電動機功率公式： $$ P{	ext{in}}=\frac{3VE}{Xs}\sin\delta $$ 因為 $E=V$，所以 $$ \sin\delta =\frac{P{	ext{in}}Xs}{3V^2} $$ 也可直接利用 $3V^2=VL^2$： $$ \sin\delta =\frac{(12000\pi)(2.5)}{440^2} \approx0.4868 $$ 因此 $$ \delta=\sin^{-1}(0.4868) \approx29.13^\circ $$ 4. 求輸入相電流 以端電壓 $V$ 為相位基準： $$ \underline{V}=V\angle0^\circ $$ 同步電動機的相量方程式為 $$ \underline{V}=\underline{E}+jXs…

110 地方特考三等電力工程電機機械考古題詳解

第一題20 分

核心觀念

解題方法

（一）計算自感及互感

線圈 1 的自感

線圈 2 的自感

線圈 1 與線圈 2 的互感

第二題20 分

核心觀念

解題方法

（一）計算轉子電阻 $R_2$

（二）最大電磁轉矩時的輸入相電流、最大電磁轉矩及輸入總實功率

1. 戴維寧等效電壓

2. 輸入相電流

第三題20 分

（一）轉速

（二）電磁轉矩

（三）電動機輸入端電壓 $V_{aM}$

第四題20 分

核心觀念

開路試驗：求鐵心損失

短路試驗：求額定銅損與等效阻抗

1. 高壓側每相等效電阻

2. 高壓側每相等效阻抗

3. 高壓側每相等效電抗

效率

第五題20 分

核心觀念

解題方法

（一）轉速

（二）輸入相電流

1. 求輸出功率

2. 換算每相電壓

3. 求功率角

4. 求輸入相電流

其他考古題

110 年電力工程的其他科目

電力工程《電機機械》其他年度

110 地方特考三等 電力工程 電機機械 考古題詳解

第 一 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）計算自感及互感

線圈 1 的自感

線圈 2 的自感

線圈 1 與線圈 2 的互感

第 二 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）計算轉子電阻 R2R_2R2​

（二）最大電磁轉矩時的輸入相電流、最大電磁轉矩及輸入總實功率

1. 戴維寧等效電壓

2. 輸入相電流

第 三 題20 分

（一）轉速

（二）電磁轉矩

（三）電動機輸入端電壓 VaMV_{aM}VaM​

第 四 題20 分

核心觀念

開路試驗：求鐵心損失

短路試驗：求額定銅損與等效阻抗

1. 高壓側每相等效電阻

2. 高壓側每相等效阻抗

3. 高壓側每相等效電抗

效率

第 五 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）轉速

（二）輸入相電流

1. 求輸出功率

2. 換算每相電壓

3. 求功率角

4. 求輸入相電流

其他考古題

110 年電力工程的其他科目

電力工程《電機機械》其他年度

110 地方特考三等電力工程電機機械考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

（一）計算轉子電阻 $R_2$

第三題20 分

（三）電動機輸入端電壓 $V_{aM}$

第四題20 分

第五題20 分