113 地方特考三等 電力工程 電機機械 考古題詳解

113 年・地方特考・三等・電力工程
試題代碼 電機機械

第 一 題20 分

磁路結構示意如下圖，鐵心的截面積為 0.8 cm20.8\ \mathrm{cm^2}、平均長度為 10 cm10\ \mathrm{cm}、導磁係數為 100μ0100\mu_0，μ0=4π×10−7 H/m\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}，線圈 #1 匝數為 200 匝，線圈 #2 匝數為 100 匝，電流 i1(t)=4.0sin⁡(1000t) Ai_1(t)=4.0\sin(1000t)\ \mathrm{A}，忽略鐵心的磁飽和及磁滯現象。

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計算線圈 #2 穩態開路電壓 v2(t)v_2(t) 的有效值。

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核心觀念

本題考查磁路的磁阻、磁通量及法拉第電磁感應定律。

磁路磁阻為

R=ℓμA\mathcal{R}=\frac{\ell}{\mu A}

由安培定律，線圈 #1 所建立的磁通量為

Φ(t)=N1i1(t)R\Phi(t)=\frac{N_1 i_1(t)}{\mathcal{R}}

線圈 #2 開路時，感應電壓由法拉第定律決定：

v2(t)=N2dΦ(t)dtv_2(t)=N_2\frac{d\Phi(t)}{dt}

電壓極性只會影響正負號，不影響有效值。

解題方法

先將單位換算為 SI 制：

A=0.8 cm2=0.8×10−4=8.0×10−5 m2A=0.8\ \mathrm{cm^2}=0.8\times10^{-4} =8.0\times10^{-5}\ \mathrm{m^2} ℓ=10 cm=0.1 m\ell=10\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{m} μ=100μ0=100(4π×10−7)=4π×10−5 H/m\mu=100\mu_0 =100(4\pi\times10^{-7}) =4\pi\times10^{-5}\ \mathrm{H/m}

因此鐵心磁阻為

R=0.1(4π×10−5)(8.0×10−5)=9.947×106 A/Wb\mathcal{R} =\frac{0.1}{(4\pi\times10^{-5})(8.0\times10^{-5})} =9.947\times10^6\ \mathrm{A/Wb}

線圈 #1 電流為

i1(t)=4sin⁡(1000t) Ai_1(t)=4\sin(1000t)\ \mathrm{A}

故磁通量為

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第 二 題20 分

某台單相變壓器額定為 150 kVA150\ \mathrm{kVA}、2.4 kV:240 V2.4\ \mathrm{kV}:240\ \mathrm{V}，等效電路如下圖。參數單位以變壓器額定為基值的標么（per unit）表示：

Req=0.02R_{eq}=0.02、jXeq=j0.04jX_{eq}=j0.04、RC=60R_C=60、jXm=j40jX_m=j40。

負載端電壓為 220 V220\ \mathrm{V}、實功率（平均功率）為 100 kW100\ \mathrm{kW}、功率因數為 0.800.80 落後。計算此變壓器高壓側電壓 V^H\hat{V}_H 及變壓器效率。

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核心觀念

本題使用變壓器標么制分析，主要觀念如下：

  1. 以變壓器額定容量及額定電壓建立基值。
  2. 由負載端電壓、實功率及功率因數求負載電流。
  3. 利用等效串聯阻抗計算高壓側串聯壓降。
  4. 由激磁支路之 RCR_C 計算鐵損，由 ReqR_{eq} 計算銅損。
  5. 變壓器效率為輸出實功率除以輸入實功率。

一、建立基值

高壓側基值：

VB,H=2.4 kV,SB=150 kVAV_{B,H}=2.4\ \text{kV},\qquad S_B=150\ \text{kVA}

高壓側基準電流：

IB,H=SBVB,H=1500002400=62.5 AI_{B,H}=\frac{S_B}{V_{B,H}} =\frac{150000}{2400} =62.5\ \text{A}

低壓側負載電壓為 220 V220\ \text{V}，換算成標么值：

V^L=220240=0.9167∠0∘ pu\hat V_L=\frac{220}{240} =0.9167\angle 0^\circ\ \text{pu}

負載功率因數為 0.80.8 落後，因此

cos⁡ϕ=0.8,sin⁡ϕ=0.6\cos\phi=0.8,\qquad \sin\phi=0.6 ϕ=36.87∘\phi=36.87^\circ

二、求負載電流

負載視在功率為

SL=PLpf=1000.8=125 kVAS_L=\frac{P_L}{\text{pf}} =\frac{100}{0.8} =125\ \text{kVA}

負載電流標么值：

I^L=SL/SBV^L=125/150220/240=0.9091∠−36.87∘ pu\hat I_L =\frac{S_L/S_B}{\hat V_L} =\frac{125/150}{220/240} =0.9091\angle -36.87^\circ\ \text{pu}

化為直角座標：

I^L=0.9091(0.8−j0.6)=0.7273−j0.5455 pu\hat I_L =0.9091(0.8-j0.6) =0.7273-j0.5455\ \text{pu}

三、求高壓側電壓

等效串聯阻抗為

Z^eq=Req+jXeq=0.02+j0.04 pu\hat Z_{eq}=R_{eq}+jX_{eq} =0.02+j0.04\ \text{pu}

串聯壓降：

V^drop=Z^eqI^L=(0.02+j0.04)(0.7273−j0.5455)\hat V_{drop} =\hat Z_{eq}\hat I_L =(0.02+j0.04)(0.7273-j0.5455) V^drop=0.03636+j0.01818 pu\hat V_{drop} =0.03636+j0.01818\ \text{pu}

因此高壓側電壓為

V^H=V^L+V^drop\hat V_H =\hat V_L+\hat V_{drop} V^H=(0.9167+j0)+(0.03636+j0.01818)\hat V_H =(0.9167+j0)+(0.03636+j0.01818) V^H=0.9530+j0.01818 pu\boxed{\hat V_H=0.9530+j0.01818\ \text{pu}}

其大小與相角為

∣V^H∣=0.95302+0.018182=0.9532 pu|\hat V_H| =\sqrt{0.9530^2+0.01818^2} =0.9532\ \text{pu}
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第 三 題20 分

某台三相、Y 接、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、4 極、線電壓為 380 V380\ \mathrm{V}、120 kVA120\ \mathrm{kVA} 的圓筒型同步發電機，短路比（short-circuit ratio）SCR=1.25SCR=1.25，忽略電樞電阻及損失。

在額定電壓、頻率操作，且其反電動勢與額定電壓相等，此發電機輸出總實功率為 100 kW100\ \mathrm{kW}，計算發電機的轉速、輸出的總視在功率、總虛功率。

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核心觀念

本題考同步發電機的同步轉速、短路比與同步電抗，以及忽略電樞電阻時的相量關係。三相 Y 接發電機的相電壓為線電壓除以 3\sqrt{3}；忽略電樞電阻時，每相電壓方程為

E‾=V‾+jXsI‾\underline{E}=\underline{V}+jX_s\underline{I}

其中 E‾\underline{E} 為內部感應電勢，V‾\underline{V} 為端電壓，XsX_s 為同步電抗。發電機輸出複功率為

S‾=P+jQ=3V‾I‾∗\underline{S}=P+jQ=3\underline{V}\underline{I}^{*}

解題方法

一、計算同步轉速

同步轉速由頻率與極數決定：

ns=120fP極數=120×604=1800 rpmn_s=\frac{120f}{P_{\text{極數}}} =\frac{120\times 60}{4} =1800\ \mathrm{rpm}

二、由短路比求同步電抗

短路比與同步電抗標么值互為倒數：

SCR=1Xs（標么值）SCR=\frac{1}{X_s\text{（標么值）}}

因此

Xs（標么值）=11.25=0.8 puX_s\text{（標么值）}=\frac{1}{1.25}=0.8\ \mathrm{pu}

以額定容量 120 kVA120\ \mathrm{kVA}、額定線電壓 380 V380\ \mathrm{V} 為基準，三相阻抗基準為

Zbase=VLL,base2Sbase=3802120 000=1.2033 ΩZ_{\text{base}}=\frac{V_{LL,\text{base}}^2}{S_{\text{base}}} =\frac{380^2}{120\,000} =1.2033\ \Omega

故每相同步電抗為

Xs=0.8Zbase=0.9627 ΩX_s=0.8Z_{\text{base}}=0.9627\ \Omega

相電壓為

V=3803=219.39 VV=\frac{380}{\sqrt{3}}=219.39\ \mathrm{V}

題目給定反電動勢與額定端電壓相等，因此 E=VE=V。令端電壓為相量參考，設電流角為 ϕ\phi，則

I‾=I∠ϕ,E‾=V‾+jXsI‾\underline{I}=I\angle\phi,\qquad \underline{E}=\underline{V}+jX_s\underline{I}

由 ∣E∣=∣V∣|E|=|V| 得

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第 四 題20 分

某台三相、Y 接、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、線電壓為 380 V380\ \mathrm{V}、6 極的感應電動機，等效至定子側的每相等效電路如下圖，參數為：

R1=0.12 ΩR_1=0.12\ \Omega、R2=0.15 ΩR_2=0.15\ \Omega、jX1=jX2=j0.8 ΩjX_1=jX_2=j0.8\ \Omega、jXm=j20 ΩjX_m=j20\ \Omega。

採用降壓起動方法，起動時其電源頻率為 60 Hz60\ \mathrm{Hz}、線電壓為 100 V100\ \mathrm{V}，計算起動時電動機的線電流、起動轉矩。

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核心觀念

本題考查三相感應電動機起動時：

  • 起動時滑差 s=1s=1。
  • Y 接時，相電壓為 Vϕ=VL3V_\phi=\frac{V_L}{\sqrt{3}}
  • 線電流等於相電流。
  • 起動轉矩由氣隙功率計算： Tst=PagωsT_{\mathrm{st}}=\frac{P_{\mathrm{ag}}}{\omega_s} 其中 Pag=3I22R2sP_{\mathrm{ag}}=3I_2^2\frac{R_2}{s}

起動時轉子尚未轉動，故 s=1s=1。

解題方法

1. 起動時每相電壓

起動線電壓為 100 V100\ \mathrm{V}，因此

Vϕ=1003=57.735 VV_\phi=\frac{100}{\sqrt{3}} =57.735\ \mathrm{V}

起動時 s=1s=1，故轉子支路阻抗為

Z2=R2s+jX2=0.15+j0.8 ΩZ_2=\frac{R_2}{s}+jX_2 =0.15+j0.8\ \Omega

勵磁支路阻抗為

Zm=j20 ΩZ_m=j20\ \Omega

2. 計算輸入阻抗與線電流

定子串聯阻抗為

Z1=R1+jX1=0.12+j0.8 ΩZ_1=R_1+jX_1=0.12+j0.8\ \Omega

勵磁支路與轉子支路並聯：

Zp=Zm∥Z2=(j20)(0.15+j0.8)j20+0.15+j0.8Z_p=Z_m\parallel Z_2 =\frac{(j20)(0.15+j0.8)} {j20+0.15+j0.8}

計算得

Zp=0.1387+j0.7702 ΩZ_p=0.1387+j0.7702\ \Omega

所以每相輸入阻抗為

Zin=Z1+Zp=0.2587+j1.5702 ΩZ_{\mathrm{in}} =Z_1+Z_p =0.2587+j1.5702\ \Omega

其大小為

∣Zin∣=0.25872+1.57022=1.5914 Ω|Z_{\mathrm{in}}| =\sqrt{0.2587^2+1.5702^2} =1.5914\ \Omega

因此相電流為

I1=VϕZinI_1=\frac{V_\phi}{Z_{\mathrm{in}}}

其大小為

∣I1∣=57.7351.5914=36.28 A|I_1| =\frac{57.735}{1.5914} =36.28\ \mathrm{A}

Y 接時線電流等於相電流，因此

IL=36.28 A\boxed{I_L=36.28\ \mathrm{A}}

若表示相位，則

IL≈36.28∠−80.65∘ AI_L\approx36.28\angle -80.65^\circ\ \mathrm{A}

3. 計算轉子電流

並聯部分電壓大小為

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第 五 題20 分

某台並激式（shunt）直流電動機，電樞電阻為 0.5 Ω0.5\ \Omega，激磁場電阻為 60 Ω60\ \Omega。

輸入電壓為 120 V120\ \mathrm{V}，輸入電流（含電樞電流及激磁場電流）為 20 A20\ \mathrm{A}，轉速為 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm}，忽略鐵心及機械損失，且不考慮電樞反應。

若輸入電壓調整為 60 V60\ \mathrm{V}，其輸出轉矩為 6 N⋅m6\ \mathrm{N\cdot m}，計算此電動機的輸入電流、反電動勢、轉速。

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核心觀念

並激式直流電動機的激磁場與電樞並聯，因此：

  • 激磁電流：If=VRfI_f=\dfrac{V}{R_f}
  • 電樞電流：Ia=Iin−IfI_a=I_{\text{in}}-I_f
  • 電動機電壓方程式：V=Eb+IaRaV=E_b+I_aR_a
  • 忽略鐵心及機械損失時，電磁轉換功率等於輸出功率：Pout=EbIa=TωP_{\text{out}}=E_bI_a=T\omega
  • 不考慮電樞反應時，磁通與激磁電流成正比：Φ∝If\Phi\propto I_f
  • 轉速關係：Eb=kΦωE_b=k\Phi\omega，其中 kk 為機器常數。

先由 120 V120\ \mathrm{V} 的運轉資料求出機器常數，再利用新負載轉矩求出新工作點。

解題方法

初始激磁電流為

If1=12060=2 AI_{f1}=\frac{120}{60}=2\ \mathrm{A}

因此初始電樞電流為

Ia1=20−2=18 AI_{a1}=20-2=18\ \mathrm{A}

初始反電動勢為

Eb1=120−(18)(0.5)=111 VE_{b1}=120-(18)(0.5)=111\ \mathrm{V}

初始角速度為

ω1=1200(2π60)=40π rad/s\omega_1=1200\left(\frac{2\pi}{60}\right)=40\pi\ \mathrm{rad/s}

由 Eb=kΦωE_b=k\Phi\omega 得

kΦ1=Eb1ω1=11140πk\Phi_1=\frac{E_{b1}}{\omega_1} =\frac{111}{40\pi}

調整後端電壓為 60 V60\ \mathrm{V}，激磁電流變為

If2=6060=1 AI_{f2}=\frac{60}{60}=1\ \mathrm{A}

因磁通與激磁電流成正比，

Φ2=12Φ1\Phi_2=\frac{1}{2}\Phi_1

輸出轉矩為 6 N⋅m6\ \mathrm{N\cdot m}。忽略損失時，電磁轉矩滿足 T=kΦIaT=k\Phi I_a，所以

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