111 地方特考三等 電力工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

本題評量單相變壓器於忽略激磁支路（鐵損與激磁電抗）條件下的簡化等效電路分析，涉及以下核心觀念與公式：

1. 變壓器簡化等效電路與克希荷夫電壓定律（KVL）： 題目指定忽略鐵心損失及激磁電抗（$R_c \to \infty,\ X_m \to \infty$），因此激磁支路開路。此時變壓器等效電路為一次側端電壓 $\mathbf{V}_1$、串聯等效阻抗 $\mathbf{Z}_{eq1}$ 與一次側感應電壓 $\mathbf{E}_1$ 構成的串聯電路。 依據輸入側 KVL 相量關係： $\mathbf{V}_1 = \mathbf{E}_1 + \mathbf{I}_1 \mathbf{Z}_{eq1} \implies \mathbf{E}_1 = \mathbf{V}_1 - \mathbf{I}_1 \mathbf{Z}_{eq1}$ 其中等效阻抗為： $\mathbf{Z}_{eq1} = R_{eq1} + jX_{eq1} = 0.75 + j1.5\ \Omega$

2. 匝數比與感應電壓關係： 變壓器匝數比 $a$ 定義為額定電壓比值： $a = \frac{N_1}{N_2} = \frac{V_{1,\text{rated}}}{V_{2,\text{rated}}} = \frac{E_1}{E_2}$ 理想耦合部分的一、二次側感應電壓比值嚴格滿足 $E_1 / E_2 = a$。

3. 交流電路輸入實功率： 一次側輸入實功率公式為： $P_{in} = V_1 I_1 \cos\theta$

4. 變壓器銅損（繞組電阻損失）： 全機銅損即為一次側與二次側繞組電阻損耗之總和，由等效串聯電阻計算： $P_{cu} = I_1^2 R_{eq1}$

解題方法

(一) 計算一次側感應電壓 $E_1$

1. 建立相量參考座標： 以一次側端電壓為參考相量： $\mathbf{V}_1 = 2200\angle 0^\circ\text{ V}$

2. 表示一次側輸入電流相量： 輸入電流大小 $I_1 = 100\text{ A}$，功率因數 $\cos\theta = 0.8$ 滯後（lagging，電流相位落後電壓）： $\theta = -\cos^{-1}(0.8) \approx -36.87^\circ$ 轉換為直角座標形式： $\mathbf{I}_1 = 100\angle -36.87^\circ = 100(0.8 - j0.6) = 80 - j60\text{ A}$

3. 計算串聯阻抗之內部電壓降： $\Delta\mathbf{V} = \mathbf{I}_1 \mathbf{Z}_{eq1} = (80 - j60)(0.75 + j1.5)$ 展開計算實部與虛部： $\Delta\mathbf{V} = [80(0.75) - (-60)(1.5)] + j[80(1.5) + (-60)(0.75)]$ $\Delta\mathbf{V} = (60 + 90) + j(120 - 45) = 150 + j75\text{ V}$

4. 計算一次側感應電壓 $\mathbf{E}_1$： $\mathbf{E}_1 = \mathbf{V}_1 - \Delta\mathbf{V} = 2200 - (150 + j75) = 2050 - j75\text{ V}$ 求其有效值大小（大小即為題意所求之伏特數）： $E_1 = |\mathbf{E}_1| = \sqrt{2050^2 + (-75)^2} = \sqrt{4202500 + 5625} = \sqrt{4208125} \approx 2051.37\text{ V}$

(二) 計算一次側輸入功率 $P_{in}$

利用單相交流實功率公式直接計算： $P_{in} = V_1 I_1 \cos\theta = 2200\text{ V} \times 100\text{ A} \times 0.8 = 176,000\text{ W} = 176\text{ kW}$

(三) 計算變壓器銅損 $P_{cu}$

核心觀念

本題評量直流電動機（DC Motor）的基本運轉特性、額定值換算、功率流向（Power Flow）與能量轉換效率，以及各類型直流電動機的結構與性能特性比較：

1. 功率與轉矩關係：機械輸出功率 $P_{out}$、機械角速度 $\omega_m$ 與輸出轉矩 $T$ 之間的關係為： $P_{out} = T \cdot \omega_m$ 其中轉速 $n$（$\text{rpm}$）與角速度 $\omega_m$（$\text{rad/s}$）之換算為： $\omega_m = \frac{2\pi n}{60}$ 英制馬力與瓦特之換算為 $1\text{ HP} = 746\text{ W}$。
2. 效率與功率流向：電動機效率定義為輸出功率與輸入功率之比值： $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100\%$ 直流外激電動機之總輸入功率包含電樞輸入功率與激磁場輸入功率（$P_{in} = P_{in,a} + P_{in,f} = V_t I_a + V_f I_f$）。題目明訂「忽略激磁場的損失」，故輸入功率全由電樞端輸入承擔： $P_{in} = V_t \cdot I_a$
3. 永磁直流電動機（PMDC）之特點：利用永久磁鐵取代傳統外激或並激式的激磁繞組（Field Windings），在激磁損耗、體積重量、特性線性度等方面皆有顯著差異。

解題方法

(一) 計算額定轉矩 $T_{rated}$

1. 輸出功率單位換算： $P_{out} = 100\text{ HP} = 100 \times 746\text{ W} = 74,600\text{ W} = 74.6\text{ kW}$
2. 額定角速度計算： $\omega_m = \frac{2\pi \times 2000}{60} = \frac{200\pi}{3} \approx 209.44\text{ rad/s}$
3. 額定轉矩推導： $T_{rated} = \frac{P_{out}}{\omega_m} = \frac{74,600}{\frac{200\pi}{3}} = \frac{1,119}{\pi} \approx 356.19\text{ N}\cdot\text{m}$

(二) 計算電樞電流 $I_a$

1. 輸入功率計算： 在額定功率輸出且效率 $\eta = 90\% = 0.9$ 時： $P_{in} = \frac{P_{out}}{\eta} = \frac{74,600}{0.9} = \frac{746,000}{9} \approx 82,888.89\text{ W}$
2. 電樞電流計算： 題目設定忽略激磁場損失，故電樞輸入功率即為電動機總輸入功率（$P_{in} = V_t I_a$）： $I_a = \frac{P_{in}}{V_t} = \frac{\frac{746,000}{9}}{440} = \frac{746,000}{3,960} = \frac{1,865}{9.9} = \frac{1,865}{99} \times 10 \approx 188.38\text{ A}$

核心觀念

1. 三相實功率公式： 三相對稱負載之總輸入電功率為： $P_{\text{in}} = \sqrt{3} V_L I_L \cos\theta$ 其中 $V_L$ 為線電壓有效值、$I_L$ 為線電流有效值、$\cos\theta$ 為功率因數。

2. 感應電動機功率流（Power-Flow Diagram）： 感應電動機運轉時，電能由定子端傳遞至軸端的能量轉換關係如下：

• 氣隙功率（Air-Gap Power, $P_{\text{ag}}$）：跨越氣隙傳遞至轉子的總電磁功率。感應機正常運轉時轉差率 $s$ 極小，轉子磁場交變頻率極低，轉子鐵損可忽略不計，故鐵損主要發生於定子側。氣隙功率為輸入功率扣除定子銅損與鐵損： $P_{\text{ag}} = P_{\text{in}} - P_{\text{cu1}} - P_{\text{core}}$
• 電磁功率（Electromagnetic Power / Converted Power, $P_{\text{em}}$ 或 $P_{\text{conv}}$）：轉子接收到氣隙功率後，扣除自身繞組產生的轉子銅損，藉由電磁感應轉換所建立的總機械功率（亦稱機電轉換功率或發展功率 $P_{\text{dev}}$）： $P_{\text{em}} = P_{\text{ag}} - P_{\text{cu2}} = (1 - s)P_{\text{ag}}$
• 輸出功率（Output / Shaft Power, $P_{\text{out}}$）：電磁功率扣除旋轉時所受的機械阻力損耗（摩擦損與風損）後，由轉軸對外輸出的淨機械功率： $P_{\text{out}} = P_{\text{em}} - P_{\text{fw}}$

3. 功率單位換算與效率定義：

• 英制馬力換算：$1\text{ HP} = 746\text{ W}$。
• 運轉效率：$\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\%$。

解題方法

本題依循三相感應電動機標準功率流，由電源輸入端循序推算至負載轉軸輸出端。

步驟一：計算電源總輸入功率 $P_{\text{in}}$

已知 $V_L = 460\text{ V}$、$I_L = 25\text{ A}$、$\cos\theta = 0.9$： $P_{\text{in}} = \sqrt{3} V_L I_L \cos\theta = \sqrt{3} \times 460 \times 25 \times 0.9 \approx 17926.73\text{ W} = 17.927\text{ kW}$

步驟二：計算氣隙功率 $P_{\text{ag}}$（第 (一) 小題）

定子側損耗包括定子銅損 $P_{\text{cu1}} = 1100\text{ W}$ 及鐵損 $P_{\text{core}} = 900\text{ W}$： $P_{\text{ag}} = P_{\text{in}} - P_{\text{cu1}} - P_{\text{core}}$ $P_{\text{ag}} = 17926.73 - 1100 - 900 = 15926.73\text{ W} \approx 15.93\text{ kW}$

核心觀念

本題考查三相同步發電機（Synchronous Generator）之等效電路、相量分析與電壓調整特性，核心觀念包含：

1. 三相 Y 接系統之電壓與電流關係：

• 每相端電壓有效值 $V_\phi$ 與線電壓有效值 $V_L$ 滿足： $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}}$
• 三相額定容量 $S_{3\phi}$ 與線電流 $I_L$、相電流 $I_a$ 之關係為： $I_a = I_L = \frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3} V_L}$

2. 同步發電機之等效電路與電壓方程式：

• 發電機每相之同步阻抗為 $\mathbf{Z}_s = R_a + jX_s$。
• 發電機於帶載運轉時，內部激磁感應電動勢（題目稱每相反電動勢）$\mathbf{E}_f$ 必須克服內部阻抗降後輸出至端點，其相量方程式為： $\mathbf{E}_f = \mathbf{V}_\phi + \mathbf{I}_a \mathbf{Z}_s = \mathbf{V}_\phi + \mathbf{I}_a (R_a + jX_s)$

3. 功率因數（Power Factor, PF）對相角之影響：

• 若令端電壓為參考相量 $\mathbf{V}_\phi = V_\phi \angle 0^\circ$：
• 滯後功因（Lagging PF，電感性負載）：電流落後端電壓 $\theta$ 角，$\mathbf{I}_a = I_a \angle (-\theta) = I_a (\cos\theta - j\sin\theta)$。
• 純電阻功因（Unity PF，$\text{PF} = 1.0$）：電流與端電壓同相，$\mathbf{I}_a = I_a \angle 0^\circ = I_a$。
• 每相反電動勢大小亦可由投影幾何公式直接求解： $E_f = \sqrt{(V_\phi \cos\theta + I_a R_a)^2 + (V_\phi \sin\theta + I_a X_s)^2}$ （式中 $\sin\theta$ 於滯後取正值，純電阻時為 $0$）。

解題方法

一、前置計算：額定相電壓與滿載相電流

1. 每相端電壓有效值 $V_\phi$： 發電機為 Y 接，線電壓有效值 $V_L = 220\text{ V}$： $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}} = \frac{220}{\sqrt{3}} \approx 127.02\text{ V}$

2. 滿載額定電樞相電流 $I_a$： 額定容量 $S_{3\phi} = 10\text{ kVA} = 10,000\text{ VA}$，因 Y 接故線電流等於相電流： $I_a = \frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3} V_L} = \frac{10,000}{\sqrt{3} \times 220} = \frac{500}{11\sqrt{3}} \approx 26.24\text{ A}$

3. 內部阻抗壓降參數：

• 電樞電阻 $R_a = 0.25\ \Omega$
• 同步電抗 $X_s = 5\ \Omega$
• 電阻壓降：$I_a R_a = 26.2432 \times 0.25 \approx 6.56\text{ V}$
• 電抗壓降：$I_a X_s = 26.2432 \times 5 \approx 131.22\text{ V}$

二、子題 (一) 計算：功因為 $0.85$ 滯後時之每相反電動勢 $E_f$

1. 相角與三角函數值：

• $\cos\theta = 0.85$
• $\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - 0.85^2} = \sqrt{0.2775} \approx 0.5268$
• 功率因數角 $\theta = \cos^{-1}(0.85) \approx 31.79^\circ$

2. 相量法詳細推導： 令端電壓為參考相量 $\mathbf{V}_\phi = 127.02 \angle 0^\circ\text{ V}$，滯後電流相量為： $\mathbf{I}_a = 26.24 \angle (-31.79^\circ) = 26.2432 \times (0.85 - j0.5268) \approx 22.31 - j13.82\text{ A}$ 內部阻抗為 $\mathbf{Z}_s = 0.25 + j5\ \Omega$，內部阻抗降為： $\mathbf{I}_a \mathbf{Z}_s = (22.31 - j13.82)(0.25 + j5) = [22.31 \times 0.25 - (-13.82 \times 5)] + j[22.31 \times 5 + (-13.82 \times 0.25)]$

核心觀念

本題考查單相感應電動機在穩態運轉下的雙旋轉磁場理論（Double-Revolving Field Theory）及其等效電路分析。當啟動繞組被離心開關切離後，電動機僅由主繞組供電，固定脈動磁場可分解為大小相等、轉速相同但旋轉方向相反的正向旋轉磁場（Forward Field）與反向旋轉磁場（Backward Field）。

1. 滑差定義：

• 同步轉速：$n_s = \frac{120f}{P}$
• 正向磁場之轉子滑差：$s_f = s$
• 反向磁場之轉子滑差：$s_b = 2 - s$

2. 等效電路阻抗：

• 定子（一次側）阻抗：$Z_1 = R_1 + jX_1$
• 正向旋轉磁場等效阻抗 $Z_f = R_f + jX_f$： $Z_f = \frac{1}{2} \left[ jX_m \parallel \left(\frac{R_2'}{s} + jX_2'\right) \right] = \frac{1}{2} \frac{jX_m \left(\frac{R_2'}{s} + jX_2'\right)}{\frac{R_2'}{s} + j(X_m + X_2')}$
• 反向旋轉磁場等效阻抗 $Z_b = R_b + jX_b$： $Z_b = \frac{1}{2} \left[ jX_m \parallel \left(\frac{R_2'}{2-s} + jX_2'\right) \right] = \frac{1}{2} \frac{jX_m \left(\frac{R_2'}{2-s} + jX_2'\right)}{\frac{R_2'}{2-s} + j(X_m + X_2')}$
• 輸入總等效阻抗： $Z_\text{in} = Z_1 + Z_f + Z_b = (R_1 + R_f + R_b) + j(X_1 + X_f + X_b)$

3. 功率與電磁轉矩：

• 輸入端電流：$I_\text{in} = \frac{V_1}{|Z_\text{in}|}$
• 輸入功率因數：$\text{PF} = \cos\theta = \frac{R_\text{in}}{|Z_\text{in}|}$
• 輸入功率：$P_\text{in} = V_1 I_\text{in} \cos\theta = I_\text{in}^2 R_\text{in}$
• 正向氣隙功率：$P_\text{ag,f} = I_\text{in}^2 R_f$
• 反向氣隙功率：$P_\text{ag,b} = I_\text{in}^2 R_b$
• 淨氣隙功率（淨電磁功率）：$P_\text{ag,net} = P_\text{ag,f} - P_\text{ag,b} = I_\text{in}^2 (R_f - R_b)$
• 電磁轉矩（內生轉矩）： $T_e = \frac{P_\text{ag,net}}{\omega_s} = \frac{I_\text{in}^2 (R_f - R_b)}{\omega_s}$ 其中 $\omega_s = \frac{2\pi n_s}{60}$ 為同步機械角速度（$\text{rad/s}$）。

解題方法

步驟 1：計算基本運轉參數

• 同步轉速： $n_s = \frac{120 \times 60}{4} = 1800\text{ rpm}$
• 同步角速度： $\omega_s = \frac{2\pi \times 1800}{60} = 60\pi \approx 188.50\text{ rad/s}$
• 正向滑差 $s = 0.04$
• 反向滑差 $s_b = 2 - s = 2 - 0.04 = 1.96$

步驟 2：計算正向場阻抗 $Z_f$

• 正向轉子電阻： $\frac{R_2'}{s} = \frac{3.5}{0.04} = 87.5\ \Omega$
• 轉子正向支路阻抗：$Z_{2f} = 87.5 + j2.5\ \Omega$
• 並聯激磁抗 $jX_m = j60\ \Omega$： $Z_{f0} = \frac{j60 \times (87.5 + j2.5)}{87.5 + j(60 + 2.5)} = \frac{-150 + j5250}{87.5 + j62.5}$ 分子分母同乘以 $(87.5 - j62.5)$： $|87.5 + j62.5|^2 = 87.5^2 + 62.5^2 = 7656.25 + 3906.25 = 11562.5$ $\text{Re}(Z_{f0}) = \frac{-150 \times 87.5 + 5250 \times 62.5}{11562.5} = \frac{315000}{11562.5} \approx 27.243\ \Omega$ $\text{Im}(Z_{f0}) = \frac{5250 \times 87.5 + 150 \times 62.5}{11562.5} = \frac{468750}{11562.5} \approx 40.541\ \Omega$
• 取一半值得到 $Z_f$： $Z_f = \frac{1}{2} Z_{f0} = 13.622 + j20.270\ \Omega$ （即 $R_f = 13.622\ \Omega,\ X_f = 20.270\ \Omega$）

步驟 3：計算反向場阻抗 $Z_b$

• 反向轉子電阻： $\frac{R_2'}{2-s} = \frac{3.5}{1.96} \approx 1.786\ \Omega$
• 轉子反向支路阻抗：$Z_{2b} = 1.786 + j2.5\ \Omega$
• 並聯激磁抗 $jX_m = j60\ \Omega$： $Z_{b0} = \frac{j60 \times (1.786 + j2.5)}{1.786 + j62.5} = \frac{-150 + j107.16}{1.786 + j62.5}$ 分母大小平方： $|1.786 + j62.5|^2 = 1.786^2 + 62.5^2 = 3.19 + 3906.25 = 3909.44$ $\text{Re}(Z_{b0}) = \frac{-150 \times 1.786 + 107.16 \times 62.5}{3909.44} = \frac{6429.6}{3909.44} \approx 1.645\ \Omega$ $\text{Im}(Z_{b0}) = \frac{107.16 \times 1.786 + 150 \times 62.5}{3909.44} = \frac{9566.38}{3909.44} \approx 2.447\ \Omega$
• 取一半值得到 $Z_b$：