111 地方特考三等 電力工程 電力系統 考古題詳解

111 年・地方特考・三等・電力工程
試題代碼 電力系統

第 一 題25 分

五個匯流排系統網路架構如圖一所示，系統上各元件之資料列於表一。表中各相序阻抗標么值之原基準值為該元件之額定電壓與額定容量值。

設定匯流排 2 以 100 MVA100\ \mathrm{MVA}、230 kV230\ \mathrm{kV} 為系統的基準值，各發電機的中性線接地電抗標么值係以各發電機的額定容量作為基準值。試將系統上各元件轉換到同一基準值下，並繪出系統正相序、負相序與零相序等效標么值網路圖，須標示各元件之標么值。

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圖一、五個匯流排系統網路架構。

表一、系統元件參數：

系統元件額定容量（MVA）額定電壓（kV）正相序阻抗 X1X_1（p.u.）負相序阻抗 X2X_2（p.u.）零相序阻抗 X0X_0（p.u.）
G1100250.20.20.05
G210013.80.20.20.05
T115025/2300.050.050.05
T212013.8/2300.050.050.05
TL121002300.10.10.3
TL13802300.10.10.3
TL23802300.10.10.3

註：各相序阻抗之基準值為該設備之額定電壓與額定容量。

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核心觀念

本題考查將各元件的標麼阻抗換算到共同基準值，以及依變壓器接線方式繪製正、負、零相序網路。

阻抗換算公式為：

X新=X舊(S新S舊)(V舊V新)2X_{\text{新}}=X_{\text{舊}} \left(\frac{S_{\text{新}}}{S_{\text{舊}}}\right) \left(\frac{V_{\text{舊}}}{V_{\text{新}}}\right)^2

系統基準取匯流排 2 的 SB=100 MVAS_B=100\ \mathrm{MVA}、VB=230 kVV_B=230\ \mathrm{kV}。依變壓器額定變比，匯流排 1、2、3 的電壓基準均為 230 kV230\ \mathrm{kV}，匯流排 4 為 25 kV25\ \mathrm{kV}，匯流排 5 為 13.8 kV13.8\ \mathrm{kV}。各元件的額定電壓與換算後的電壓基準相符，因此電壓比項皆為 1。

解題方法與基準換算

各元件換算如下：

元件相序換算系統基準標麼值
G1、G2正、負相序0.2(100/100)0.2(100/100)0.20000.2000
G1、G2零相序0.05(100/100)0.05(100/100)0.05000.0500
T1正、負、零相序0.05(100/150)0.05(100/150)0.03330.0333
T2正、負、零相序0.05(100/120)0.05(100/120)0.04170.0417
TL12正、負相序0.1(100/100)0.1(100/100)0.10000.1000
TL12零相序0.3(100/100)0.3(100/100)0.30000.3000
TL13、TL23正、負相序0.1(100/80)0.1(100/80)0.12500.1250
TL13、TL23零相序0.3(100/80)0.3(100/80)0.37500.3750

發電機中性線接地電抗原值為 Xn=0.03X_n=0.03，基準容量就是各發電機的額定容量；兩部發電機容量均為 100 MVA100\ \mathrm{MVA}，故換至系統基準後仍為 0.030.03。零相序網路中，發電機的接地支路須加上 3Xn3X_n：

X0G+3Xn=0.05+3(0.03)=0.14 p.u.X_{0G}+3X_n=0.05+3(0.03)=0.14\ \text{p.u.}

依圖示接線，T1 為兩側接地 Y 接，零相序可通過；T2 為匯流排 2 側接地 Y、發電機側 Δ，零相序可由匯流排 2 側經變壓器形成接地支路，但不能傳至 G2。

正相序等效網路

正相序網路包含發電機內電勢，發電機電抗與變壓器電抗串接後接至系統匯流排：

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第 二 題25 分

三相平衡電力以不等間距形式排列之輸電線路傳輸，如圖二（a）所示。若相電壓分別為 VanV_{an}、VbnV_{bn}、VcnV_{cn}，線電壓分別為 VabV_{ab}、VbcV_{bc}、VcaV_{ca}，輸電線之導體半徑為 rr（單位公尺），各位置間距分別為 D12D_{12}、D23D_{23}、D13D_{13}（單位公尺）。

（一）輸電線路經過如圖二（b）之導體換位（Transposition）後，試推求出線電壓與各相導體電荷之關係式後，再推導出各相之線對地電容，並寫出線路之 GMD（Geometric mean distance）。

註：假設任一時刻各位置導體上電荷之總和為零。

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圖二（a）、不等間距形式排列之輸電線路。

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圖二（b）、導體換位示意圖。

（二）若各導體位置為等間距排列時，相電壓與單相電容之表示式又為何？

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核心觀念

本題考查三相輸電線的導體換位、電位係數與線對地電容。導體換位使每一相在三個位置各占一次，因此計算平均電位時，互相距離取幾何平均距離（GMD）。導體電容使用實際半徑 rr；0.7788r0.7788r 是電感計算常用的等效半徑，不適用於本題的電容公式。

令空氣介電常數為 ε0\varepsilon_0，每相線電荷為 qa,qb,qcq_a,q_b,q_c。題目給定任一時刻三相電荷總和為零：

qa+qb+qc=0q_a+q_b+q_c=0

解題方法與推導

以 RR 表示相對於導體群的遠距參考尺度。某一排列下，導體 aa 的電位可寫成：

Va=12πε0[qaln⁡Rr+qbln⁡RDab+qcln⁡RDac]V_a=\frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \left[ q_a\ln\frac{R}{r} +q_b\ln\frac{R}{D_{ab}} +q_c\ln\frac{R}{D_{ac}} \right]

換位後，任一相對另外一相的距離，會依序取到 D12,D23,D13D_{12},D_{23},D_{13}。因此各相互距的平均對數為：

13(ln⁡D12+ln⁡D23+ln⁡D13)=ln⁡DGMD\frac{1}{3}\left(\ln D_{12}+\ln D_{23}+\ln D_{13}\right) =\ln D_{\mathrm{GMD}}

所以線路的 GMD 為：

DGMD=(D12D23D13)1/3\boxed{D_{\mathrm{GMD}}=(D_{12}D_{23}D_{13})^{1/3}}

換位後的平均相電位為：

Van=12πε0[qaln⁡Rr+(qb+qc)ln⁡RDGMD]V_{an}=\frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \left[ q_a\ln\frac{R}{r} +(q_b+q_c)\ln\frac{R}{D_{\mathrm{GMD}}} \right]

由 qb+qc=−qaq_b+q_c=-q_a，得：

Van=qa2πε0ln⁡DGMDr\boxed{V_{an}=\frac{q_a}{2\pi\varepsilon_0} \ln\frac{D_{\mathrm{GMD}}}{r}}

同理：

Vbn=qb2πε0ln⁡DGMDr,Vcn=qc2πε0ln⁡DGMDrV_{bn}=\frac{q_b}{2\pi\varepsilon_0} \ln\frac{D_{\mathrm{GMD}}}{r}, \qquad V_{cn}=\frac{q_c}{2\pi\varepsilon_0} \ln\frac{D_{\mathrm{GMD}}}{r}

因此線電壓與相電荷的關係為：

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第 三 題25 分

圖三所示為四個匯流排電力系統，並考慮以 100 MVA100\ \mathrm{MVA} 為系統基準值。試回答下列問題：

（一）請求出系統導納矩陣（YY Matrix），以及 Bus 2 與 Bus 3 的實功率方程式。

變壓器的模型如下（aa 為變壓器匝數比）：

[I2I3]=[ytr−ytr/a−ytr/aytr/a2][V2V3]\begin{bmatrix} I_2\\ I_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{tr} & -y_{tr}/a\\ -y_{tr}/a & y_{tr}/a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_2\\ V_3 \end{bmatrix}

（功率方程式請展開並將已知電壓與導納值代入，但匯流排角度以 δ2\delta_2、δ3\delta_3、δ4\delta_4 等表示即可。）

（二）若以牛頓拉夫森（Newton-Raphson）法求解電力潮流問題，系統匯流排預設資料如表二所示，請寫出執行疊代時所需之亞可比矩陣（Jacobian matrix）（以偏微分項表示即可，無須計算實際數值）、電壓與角度誤差向量以及實功率與虛功率誤差向量。

提示：

[ΔPΔQ]=[J1J2J3J4][ΔδΔV]\begin{bmatrix} \Delta P\\ \Delta Q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} J_1 & J_2\\ J_3 & J_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta \delta\\ \Delta V \end{bmatrix}

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圖三、四個匯流排電力系統。

表二、系統匯流排預設資料：

Bus 編號Bus 屬性預設電壓（p.u.）預設相角（度）
1Slack1.00
2PV1.00
3PQ1.00
4PQ1.00
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核心觀念

本題考查兩部分：依各支路導納建立 YbusY_{\text{bus}}，以及依匯流排類型組成牛頓拉夫森潮流法的狀態變數、功率誤差向量與 Jacobian。

支路串聯電抗為 jXjX 時，導納為 y=1/(jX)=−j/Xy=1/(jX)=-j/X。功率方程採用匯流排注入為正的慣例：

Pi=Vi∑k=1nVk(Gikcos⁡(δi−δk)+Biksin⁡(δi−δk))P_i=V_i\sum_{k=1}^{n}V_k\left(G_{ik}\cos(\delta_i-\delta_k)+B_{ik}\sin(\delta_i-\delta_k)\right)

其中 Yik=Gik+jBikY_{ik}=G_{ik}+jB_{ik}。

解題方法與推導

（一）建立 YbusY_{\text{bus}} 與實功率方程式

由圖可得三條線路導納：

y13=1j0.05=−j20,y14=1j0.025=−j40,y34=1j0.025=−j40y_{13}=\frac{1}{j0.05}=-j20,\qquad y_{14}=\frac{1}{j0.025}=-j40,\qquad y_{34}=\frac{1}{j0.025}=-j40

變壓器串聯導納為：

ytr=1j0.16=−j6.25,a=1.25y_{tr}=\frac{1}{j0.16}=-j6.25,\qquad a=1.25

代入題目所給變壓器模型，Bus 2、Bus 3 間的導納矩陣為：

[−j6.25j5j5−j4]\begin{bmatrix} -j6.25 & j5\\ j5 & -j4 \end{bmatrix}

依照支路自導納加在對角線、互導納加在非對角線，可得：

Ybus=[−j600j20j400−j6.25j50j20j5−j64j40j400j40−j80](p.u.)Y_{\text{bus}}= \begin{bmatrix} -j60 & 0 & j20 & j40\\ 0 & -j6.25 & j5 & 0\\ j20 & j5 & -j64 & j40\\ j40 & 0 & j40 & -j80 \end{bmatrix} \quad\text{(p.u.)}

令 Slack Bus 角度 δ1=0\delta_1=0。依 YbusY_{\text{bus}} 的非零互導納，並使用表列初始電壓 V2=V3=1.0V_2=V_3=1.0 p.u.：

P2=V2V3(5)sin⁡(δ2−δ3)=5sin⁡(δ2−δ3)P_2 =V_2V_3(5)\sin(\delta_2-\delta_3) =5\sin(\delta_2-\delta_3) P3=V3V1(20)sin⁡(δ3−δ1)+V3V2(5)sin⁡(δ3−δ2)+V3V4(40)sin⁡(δ3−δ4)=20sin⁡δ3+5sin⁡(δ3−δ2)+40V4sin⁡(δ3−δ4)\begin{aligned} P_3 &=V_3V_1(20)\sin(\delta_3-\delta_1) +V_3V_2(5)\sin(\delta_3-\delta_2) +V_3V_4(40)\sin(\delta_3-\delta_4)\\ &=20\sin\delta_3 +5\sin(\delta_3-\delta_2) +40V_4\sin(\delta_3-\delta_4) \end{aligned}

Bus 3 的電壓幅值 V3=1.0V_3=1.0 已代入；V4V_4 保留為未知電壓幅值。若代入初始值 V4=1.0V_4=1.0 p.u.，則最後一項為 40sin⁡(δ3−δ4)40\sin(\delta_3-\delta_4)。

（二）Newton–Raphson 法的向量與 Jacobian

Bus 1 為 Slack，Bus 2 為 PV，Bus 3、4 為 PQ。因此未知狀態變數為三個非 Slack 匯流排的相角，以及兩個 PQ 匯流排的電壓幅值：

Δδ=[Δδ2Δδ3Δδ4],ΔV=[ΔV3ΔV4]\Delta\delta= \begin{bmatrix} \Delta\delta_2\\ \Delta\delta_3\\ \Delta\delta_4 \end{bmatrix}, \qquad \Delta V= \begin{bmatrix} \Delta V_3\\ \Delta V_4 \end{bmatrix}

Bus 2 為 PV，電壓幅值固定，故不列入 ΔV\Delta V；Bus 2 的無功功率也不列入誤差方程。依題目提示，Jacobian 為 5×55\times5：

[ΔPΔQ]=[J1J2J3J4][ΔδΔV]\begin{bmatrix} \Delta P\\ \Delta Q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} J_1&J_2\\ J_3&J_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta\delta\\ \Delta V \end{bmatrix}

其中各區塊以偏微分表示如下：

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第 四 題25 分

圖四為發電機經由變壓器、輸電線路與台電系統併聯發電之系統單線圖。當一個暫時性的三相故障發生在輸電線 T2 接近 Bus 3 處，假設故障被清除後，輸電線路結構未變動。

（一）試參考圖五並利用搖擺方程式（swing equation）、功率角方程式（power angle equation）與等面積法則（equal-area criterion）推導出使系統穩定之臨界清除角（critical clearing angle）與臨界清除時間（critical clearing time）。

圖五中，δ0\delta_0 為系統初始穩定運轉點角度，δc\delta_c 為臨界清除角度，δmax⁡\delta_{\max} 為系統最大運轉點角度，PeP_e 為電磁功率，PmP_m 為渦輪機的機械功率，且：

Pe=Pmax⁡sin⁡δP_e=P_{\max}\sin\delta

（二）系統頻率為 60 Hz60\ \mathrm{Hz}，發電機 G1 之慣量常數 HH 為 5 MJ/MVA5\ \mathrm{MJ/MVA}。若發電機供給實功率 0.8 p.u.0.8\ \mathrm{p.u.} 與虛功率 0.074 p.u.0.074\ \mathrm{p.u.} 至台電系統無限匯流排（Bus 1，電壓 1.0 p.u.1.0\ \mathrm{p.u.}，角度 0∘0^\circ）上，試求臨界清除角和臨界故障清除時間。

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圖四、四個匯流排系統網路架構。

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圖五、功率角方程式曲線與等面積法則示意圖。

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核心觀念

本題考同步發電機暫態穩定度。故障期間，機械輸入功率 PmP_m 與電磁輸出功率 PeP_e 不平衡，轉子加速；故障清除後，轉子進入減速區。臨界穩定時，故障期間累積的加速能量恰等於清除後可吸收的減速能量，亦即等面積法則。

搖擺方程式以電氣弧度表示為

2Hωsd2δdt2=Pm−Pe,ωs=2πf.\frac{2H}{\omega_s}\frac{d^2\delta}{dt^2}=P_m-P_e, \qquad \omega_s=2\pi f.

功率角方程式為

Pe=Pmax⁡sin⁡δ.P_e=P_{\max}\sin\delta.

解題方法

故障發生於 T2 靠近 Bus 3 處，按 Bus 3 端三相短路近似，故障期間發電機的電磁功率視為 Pe,fault=0P_{e,\mathrm{fault}}=0。題目又指定故障清除後線路結構不變，因此故障後的功率角曲線與故障前相同。

令初始穩定角為 δ0\delta_0，故障清除角為 δc\delta_c。故障後的不穩定平衡角為

δmax⁡=π−δ0.\delta_{\max}=\pi-\delta_0.

臨界穩定時，加速面積等於減速面積：

∫δ0δcPm dδ⏟A1=∫δcδmax⁡(Pmax⁡sin⁡δ−Pm)dδ⏟A2.\underbrace{\int_{\delta_0}^{\delta_c}P_m\,d\delta}_{A_1} = \underbrace{\int_{\delta_c}^{\delta_{\max}} \left(P_{\max}\sin\delta-P_m\right)d\delta}_{A_2}.

積分後可得

Pm(δc−δ0)=Pmax⁡(cos⁡δc−cos⁡δmax⁡)−Pm(δmax⁡−δc).P_m(\delta_c-\delta_0) = P_{\max}(\cos\delta_c-\cos\delta_{\max}) -P_m(\delta_{\max}-\delta_c).

利用 Pm=Pmax⁡sin⁡δ0P_m=P_{\max}\sin\delta_0 與 cos⁡δmax⁡=−cos⁡δ0\cos\delta_{\max}=-\cos\delta_0，得到臨界清除角：

δc=cos⁡−1 ⁣[−cos⁡δ0+sin⁡δ0(π−2δ0)].\boxed{ \delta_c= \cos^{-1}\!\left[ -\cos\delta_0+\sin\delta_0(\pi-2\delta_0) \right] }.

本題故障期間 Pe=0P_e=0，搖擺方程式成為定加速度運動：

d2δdt2=ωsPm2H.\frac{d^2\delta}{dt^2}=\frac{\omega_sP_m}{2H}.

故障前轉速偏差為零，從 δ0\delta_0 加速至 δc\delta_c 的時間為

δc−δ0=12ωsPm2Htc2,\delta_c-\delta_0 =\frac{1}{2}\frac{\omega_sP_m}{2H}t_c^2,

因此臨界清除時間為

tc=4H(δc−δ0)ωsPm.\boxed{ t_c=\sqrt{\frac{4H(\delta_c-\delta_0)}{\omega_sP_m}} }.

數值計算

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