110 地方特考三等 電力工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

本題考查長輸電線路的精確模型，以及其 $ABCD$ 常數與突波阻抗負載（Surge Impedance Loading, SIL）。

由於線路長度為 $100\text{ km}$，應採用長線模型：

$$A=D=\cosh(\gamma l)$$ $$B=Z_c\sinh(\gamma l)$$ $$C=\frac{1}{Z_c}\sinh(\gamma l)$$

其中：

• $\gamma=\sqrt{\mathbf{z}\mathbf{y}}$：傳播常數
• $Z_c=\sqrt{\dfrac{\mathbf{z}}{\mathbf{y}}}$：特性阻抗（突波阻抗）
• $l$：線路長度

題面所列 $\mathbf{y}=j3.5\text{ S/km}$，以輸電線路物理量而言應為 $\mathbf{y}=j3.5\times10^{-6}\text{ S/km}$，即 $j3.5\,\mu\text{S/km}$；以下依電力系統考題的標準原意計算。

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解題方法

已知：

$$l=100\text{ km}$$ $$\mathbf{z}=0.09+j0.47\ \Omega/\text{km}$$ $$\mathbf{y}=j3.5\times10^{-6}\ \text{S/km}$$

一、計算傳播常數 $\gamma$

$$\gamma=\sqrt{\mathbf{z}\mathbf{y}}$$

先求 $\mathbf{z}\mathbf{y}$：

$$\mathbf{z}\mathbf{y} =(0.09+j0.47)(j3.5\times10^{-6})$$ $$=-1.645\times10^{-6}+j0.315\times10^{-6}$$

因此：

$$\gamma =\sqrt{-1.645\times10^{-6}+j0.315\times10^{-6}}$$ $$\gamma\approx 0.0001225+j0.0012884\ \text{km}^{-1}$$

故：

$$\gamma l =(0.0001225+j0.0012884)(100)$$ $$\gamma l\approx 0.01225+j0.12884$$

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二、計算特性阻抗 $Z_c$

$$Z_c=\sqrt{\frac{\mathbf{z}}{\mathbf{y}}}$$ $$\frac{\mathbf{z}}{\mathbf{y}} = \frac{0.09+j0.47}{j3.5\times10^{-6}}$$

利用 $\dfrac{1}{j}=-j$：

$$\frac{\mathbf{z}}{\mathbf{y}} \approx 134285.7-j25714.3$$

因此：

$$Z_c\approx 368.11-j34.93\ \Omega$$

其大小為：

$$|Z_c| =\sqrt{368.11^2+34.93^2} \approx369.76\ \Omega$$

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（一）$ABCD$ 常數

由：

$$A=D=\cosh(\gamma l)$$ $$B=Z_c\sinh(\gamma l)$$ $$C=\frac{1}{Z_c}\sinh(\gamma l)$$

先計算：

$$\cosh(0.01225+j0.12884) \approx0.99179+j0.00157$$

核心觀念

本題考查電力系統潮流控制的基本原理。交流輸電線路的潮流主要受下列三個電氣量影響：

• 電壓相角差 $\delta$
• 線路串聯電抗 $X$
• 母線電壓大小 $V$

在忽略電阻、線路損失及電壓相角差不大的條件下，輸電線路的實功潮流可近似表示為

$$P_{ij}\approx \frac{V_iV_j}{X_{ij}}\sin\delta_{ij}$$

當 $\delta_{ij}$ 不大時，

$$P_{ij}\approx \frac{V_iV_j}{X_{ij}}\delta_{ij}$$

因此，實功潮流主要由電壓相角差及線路電抗決定；虛功潮流則與電壓大小及線路電抗關係較密切。常用潮流控制設備即是針對這些控制變數加以調整。

本題非選擇題，無個別選項分析問題。

解題方法

可依照「控制電壓大小、控制相角差、改變線路電抗」三個方向列舉潮流控制方法，並分別說明其對實功、虛功及電壓的主要影響。

一、變壓器分接頭控制電壓大小

方法與原理

利用有載分接頭變壓器（On-Load Tap Changer, OLTC）改變變壓器匝數比，調整受電端母線的電壓大小。

若變壓器變比以 $t$ 表示，則從輸電系統觀點看，變壓器會改變兩端的等效電壓比及等效阻抗，使受電端電壓獲得調整。

在電壓相角差固定的情況下，實功潮流近似為

$$P_{ij}\approx \frac{V_iV_j}{X_{ij}}\sin\delta_{ij}$$

因此改變 $V_i$ 或 $V_j$ 會使實功潮流產生一定程度的變化，但其主要控制目的並非直接調整實功。

對各項電氣量的影響

• 對電壓： 主要用來調整受電端母線電壓，使電壓維持在允許範圍內。
• 對虛功潮流： 電壓大小改變會改變線路的充、供虛功關係，因此對虛功潮流及無功功率分配有明顯影響。
• 對實功潮流： 因為 $P$ 與兩端電壓乘積有關，故會造成實功潮流的次要變化；在實際系統中還會引起其他線路潮流重新分配。

重點

分接頭控制屬於「電壓大小控制」，主要改善電壓及虛功分布，不是直接控制輸電線路實功潮流的最佳方法。

二、移相變壓器控制電壓相角

方法與原理

移相變壓器（Phase-Shifting Transformer, PST）在電壓幅值大致不變的情況下，於線路兩端電壓間加入相位移角 $\alpha$，使有效相角差改變為

$$\delta_{ij}'=\delta_{ij}+\alpha$$

故線路實功潮流可表示為

$$P_{ij}\approx \frac{V_iV_j}{X_{ij}}\sin(\delta_{ij}+\alpha)$$

調整 $\alpha$ 即可控制通過該線路的實功潮流。

對各項電氣量的影響

• 對實功潮流： 影響最直接。增加有效相角差時，通常增加該線路的實功輸送量；減少相角差時，則降低實功潮流。
• 對虛功潮流： 相角改變會使交流潮流方程重新平衡，因而對虛功潮流產生間接影響，但主要控制對象仍是實功。
• 對電壓： 理想移相變壓器主要改變相角，對電壓幅值的直接影響較小；實際系統因負載及無功耦合，仍會造成電壓幅值變化。

重點

核心觀念

本題考查三相短路故障之次暫態分析。由於故障前負載電流忽略，故障前各匯流排電壓均為

$$\mathbf{V}^{0}= \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix} \text{ pu}$$

匯流排 2 發生金屬性三相短路，故故障阻抗為 $Z_f=0$。利用匯流排阻抗矩陣，可得：

1. 故障電流由故障點自電力系統流入故障點： $I_f=\frac{V_2^0}{Z_{22}+Z_f}$

2. 故障期間各匯流排電壓： $V_i=V_i^0-Z_{i2}I_f$

題目已說明 $\mathbf{Z}_{bus}$ 由次暫態電抗求得，因此計算所得故障電流為次暫態故障電流。

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解題方法

故障匯流排為 $k=2$，其阻抗矩陣為

$$\mathbf{Z}_{bus} =j \begin{bmatrix} 0.12&0.08&0.04\\ 0.08&0.12&0.06\\ 0.04&0.06&0.08 \end{bmatrix}$$

因此

$$Z_{22}=j0.12$$

且故障前匯流排 2 電壓為

$$V_2^0=1.0\text{ pu}$$

（一）故障點之次暫態故障電流

因為是三相短路且為金屬性短路，$Z_f=0$，故

$$I_f=\frac{V_2^0}{Z_{22}} =\frac{1}{j0.12}$$

利用

$$\frac{1}{j}=-j$$

可得

$$\boxed{I_f=-j8.333\text{ pu}}$$

因此故障電流大小為

$$\boxed{|I_f|=8.333\text{ pu}}$$

其相角為 $-90^\circ$。

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（二）各匯流排之故障電壓

故障期間匯流排 $i$ 的電壓為

$$V_i=V_i^0-Z_{i2}I_f$$

由於故障前各匯流排電壓皆為 $1.0$ pu，因此分別計算如下。

匯流排 1 電壓

$$Z_{12}=j0.08$$ $$V_1 =1-(j0.08)(-j8.333)$$

因為

$$(j)(-j)=1$$

所以

$$V_1=1-0.08(8.333)$$ $$V_1=1-0.6667=0.3333\text{ pu}$$

故

$$\boxed{V_1=0.333\text{ pu}}$$

匯流排 2 電壓

核心觀念

本題考查互聯電力系統的「區域頻率響應特性」與負載頻率控制（Load Frequency Control, LFC）。

區域頻率響應特性 $\beta_i$ 表示區域 $i$ 的頻率偏移每變化 $1\text{ Hz}$ 時，該區域因調速器、渦輪機及負載阻尼所產生的功率平衡變化量：

$$\beta_i \;(\text{MW/Hz})$$

兩區域互聯時，若未執行二次負載頻率控制，系統會形成共同的穩態頻率偏移，其總頻率響應特性為：

$$\beta_{\text{系統}}=\beta_1+\beta_2$$

題目給定區域 1 增加 $80\text{ MW}$ 負載，屬於負載擾動：

$$\Delta P_{L1}=80\text{ MW}$$

初始聯絡線功率偏移為零：

$$\Delta P_{\text{tie}1}=\Delta P_{\text{tie}2}=0$$

以下以命題當年（民國 110 年）電力系統負載頻率控制的標準模型與定義為準。

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解題方法

由於兩區域互聯且穩態時頻率必須相同，負載增加所造成的功率不足，會由兩區域的頻率響應共同分擔。

區域 1 與區域 2 的頻率響應功率分別為：

$$\Delta P_{G1,\text{等效}}=-\beta_1\Delta f$$ $$\Delta P_{G2,\text{等效}}=-\beta_2\Delta f$$

其中負號表示頻率下降時，發電機輸出增加。

系統總功率平衡式為：

$$-\beta_1\Delta f-\beta_2\Delta f-\Delta P_{L1}=0$$

因此：

$$-(\beta_1+\beta_2)\Delta f=\Delta P_{L1}$$ $$\Delta f=-\frac{\Delta P_{L1}}{\beta_1+\beta_2}$$

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（一）沒有執行負載頻率控制（LFC）時

1. 計算系統總頻率響應特性

$$\beta_{\text{系統}}=\beta_1+\beta_2 =300+200 =500\text{ MW/Hz}$$

2. 計算頻率變化量

$$\Delta f =-\frac{80}{500} =-0.16\text{ Hz}$$

因此系統穩態頻率為：

$$f_{\text{new}}=60-0.16=59.84\text{ Hz}$$

故：

$$\boxed{\Delta f=-0.16\text{ Hz}}$$

表示系統頻率下降 $0.16\text{ Hz}$。

3. 聯絡線功率變化量

若定義 $\Delta P_{\text{tie}1}$ 為區域 1 流向區域 2 的聯絡線功率變化，則區域 2 因頻率下降而增加發電，供應部分區域 1 的負載，因此區域 1 由區域 2 受電：

$$\Delta P_{\text{tie}1}=-\beta_2\Delta f$$

代入 $\Delta f=-0.16\text{ Hz}$：

$$\Delta P_{\text{tie}1} =-200(-0.16) =32\text{ MW}$$

核心觀念

本題考查變壓器差動保護中：

1. 變壓器兩側額定線電流的計算。
2. 變壓器接線組別造成的 $30^\circ$ 相位差補償。
3. 差動保護用 CT 的接線方式。
4. CT 二次電流與差動電驛分接頭的配合。
5. 百分差動值的計算。

變壓器一側為 Y 接，另一側為 $\Delta$ 接時，為補償變壓器本身的 $30^\circ$ 相位移，CT 接法須採取相反方式：

• 變壓器 Y 側：CT 二次側接成 $\Delta$。
• 變壓器 $\Delta$ 側：CT 二次側接成 Y。

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（一）CT 連接方式及二次側電流值

1. 計算兩側額定線電流

三相變壓器額定線電流為

$$I=\frac{S}{\sqrt{3}V_L}$$

69 kV 側

$$I_{69} = \frac{60\times 10^6}{\sqrt{3}\times 69\times 10^3} \approx 502.0\text{ A}$$

161 kV 側

$$I_{161} = \frac{60\times 10^6}{\sqrt{3}\times 161\times 10^3} \approx 215.2\text{ A}$$

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2. 計算各 CT 的二次側電流

69 kV 側 CT：$250:5$

CT 比為

$$\frac{250}{5}=50$$

因此 CT 二次側電流為

$$I_{69,\mathrm{CT}} = \frac{502.0}{50} \approx 10.04\text{ A}$$

161 kV 側 CT：$500:5$

CT 比為

$$\frac{500}{5}=100$$

因此 CT 二次側電流為

$$I_{161,\mathrm{CT}} = \frac{215.2}{100} \approx 2.15\text{ A}$$

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3. CT 二次側接線方式

69 kV 側為變壓器 Y 接，因此其 CT 二次側接成 $\Delta$。

161 kV 側為變壓器 $\Delta$ 接，因此其 CT 二次側接成 Y。

故接線方式為：

$$\boxed{ 69\text{ kV側 CT二次側接}\Delta }$$ $$\boxed{ 161\text{ kV側 CT二次側接Y } }$$

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4. 計算送入差動電驛的電流

69 kV 側 CT 為 $\Delta$ 接

CT 二次側接成 $\Delta$ 時，流入電驛線圈的電流為單一 CT 二次電流的

$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$

因此

$$I_{69,\mathrm{relay}} = \frac{10.04}{\sqrt{3}} \approx 5.80\text{ A}$$

161 kV 側 CT 為 Y 接

CT 二次側接成 Y 時，電驛所承受的電流即為 CT 二次側相電流：

$$I_{161,\mathrm{relay}} = 2.15\text{ A}$$

因此，差動電驛兩側的有效電流為

$$\boxed{ I_{69,\mathrm{relay}}\approx 5.80\text{ A} }$$ $$\boxed{ I_{161,\mathrm{relay}}\approx 2.15\text{ A} }$$

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（二）電驛分接頭設定及百分差值

1. 求所需補償比例

兩側送入電驛的電流比為