109 地方特考三等 電力工程 電力系統 考古題詳解

109 年・地方特考・三等・電力工程
試題代碼 電力系統

第 一 題12 分

某 25 MVA25\ \mathrm{MVA}、69/13.8 kV69/13.8\ \mathrm{kV} Δ\Delta-YY 結線變壓器，其電抗為 5%5\%。YY 接中性點直接接地，69 kV69\ \mathrm{kV} 系統電源之正序、負序與零序等效阻抗值分別為 0.1 pu0.1\ \mathrm{pu}、0.1 pu0.1\ \mathrm{pu}、0 pu0\ \mathrm{pu}。計算 13.8 kV13.8\ \mathrm{kV} 側發生單相接地故障時：

(一) 變壓器 13.8 kV13.8\ \mathrm{kV} 側之各相電流與電壓實際值。（12 分）

(二) 變壓器 69 kV69\ \mathrm{kV} 側之各相電流與電壓實際值。（12 分）

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核心觀念

本題考單相接地故障的對稱分量法，以及 Δ\Delta-YY 接線對零序電流的影響。單相接地故障時，正序、負序、零序網路串聯；故障相的三種序電流相等。變壓器高壓側為 Δ\Delta 接，會阻斷零序線電流；低壓側中性點接地，則可讓零序電流流通。

以下以故障前電壓為 1 pu1\ \mathrm{pu}、低壓側 aa 相直接接地故障計算。題目沒有提供變壓器鐘點數及故障相別，因此各相相角須以所採相位基準與接線相位移為準；以下列出故障側相電壓及高壓側電壓的序量結果，並說明可確定的實際值。

解題方法

以 25 MVA25\ \mathrm{MVA} 為共同容量基準，高、低壓側分別採 69 kV69\ \mathrm{kV} 與 13.8 kV13.8\ \mathrm{kV} 為線電壓基準。變壓器電抗為 0.05 pu0.05\ \mathrm{pu}。正序、負序源阻抗各為 0.1 pu0.1\ \mathrm{pu}，故：

Z1=Z2=0.1+0.05=0.15 puZ_1=Z_2=0.1+0.05=0.15\ \mathrm{pu}

低壓側中性點直接接地，因此零序電流可經低壓側繞組流通；高壓側電源零序阻抗為零，但高壓側 Δ\Delta 繞組不提供零序線電流通路。故零序故障電流路徑只包含變壓器電抗：

Z0=0.05 puZ_0=0.05\ \mathrm{pu}

單相接地故障的序網路串聯，故：

I1=I2=I0=1Z1+Z2+Z0=10.15+0.15+0.05=2.857 puI_1=I_2=I_0 =\frac{1}{Z_1+Z_2+Z_0} =\frac{1}{0.15+0.15+0.05} =2.857\ \mathrm{pu}

低壓側故障相電流為：

Ia=I0+I1+I2=8.571 pu,Ib=Ic=0I_a=I_0+I_1+I_2=8.571\ \mathrm{pu}, \qquad I_b=I_c=0

低壓側電流基準為：

Ibase,LV=25 MVA3(13.8 kV)=1.0469 kAI_{\mathrm{base,LV}} =\frac{25\ \mathrm{MVA}}{\sqrt{3}(13.8\ \mathrm{kV})} =1.0469\ \mathrm{kA}

所以：

Ia=8.571(1.0469)=8.97 kA,Ib=Ic=0I_a=8.571(1.0469)=8.97\ \mathrm{kA}, \qquad I_b=I_c=0

(一) 低壓側各相電壓

以故障前 aa 相電壓為相位基準，故障點序電壓為：

V1=1−I1Z1=1−(2.857)(0.15)=0.5714 puV_1=1-I_1Z_1=1-(2.857)(0.15)=0.5714\ \mathrm{pu} V2=−I2Z2=−(2.857)(0.15)=−0.4286 puV_2=-I_2Z_2=-(2.857)(0.15)=-0.4286\ \mathrm{pu} V0=−I0Z0=−(2.857)(0.05)=−0.1429 puV_0=-I_0Z_0=-(2.857)(0.05)=-0.1429\ \mathrm{pu}

令 a=1∠120∘a=1\angle120^\circ，則：

Va=V0+V1+V2=0V_a=V_0+V_1+V_2=0 Vb=V0+a2V1+aV2=−0.2143−j0.8660=0.8921∠−103.9∘ puV_b=V_0+a^2V_1+aV_2 =-0.2143-j0.8660 =0.8921\angle-103.9^\circ\ \mathrm{pu} Vc=V0+aV1+a2V2=−0.2143+j0.8660=0.8921∠103.9∘ puV_c=V_0+aV_1+a^2V_2 =-0.2143+j0.8660 =0.8921\angle103.9^\circ\ \mathrm{pu}

低壓側相電壓基準為 13.8/3=7.967 kV13.8/\sqrt{3}=7.967\ \mathrm{kV}，因此：

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第 二 題9 分

圖一為雙電源之電力系統單線圖，計劃於圖中「□」符號標記位置處裝設方向電驛與延時過電流電驛。

圖一之元件與位置標示如下：系統包含匯流排 1、匯流排 2、匯流排 3，以及負載 L1L1、負載 L2L2、負載 L3L3；各保護位置之電驛依序標示為 B1B1、B12B12、B21B21、B23B23、B32B32、B3B3，並標示故障點 P2P2。

(一) 如果各電驛間要完成保護協調運作，方向電驛與延時過電流電驛要裝設於哪些位置？（9 分）

(二) 當故障發生於 P2P2 時，電驛 B12B12、B21B21、B23B23 是否要動作？若這些電驛有動作，請說明其動作時間要如何安排？（9 分）

(三) 若故障發生於匯流排 2 時，請說明各電驛要如何動作，確保匯流排 2 可受保護。（8 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考雙電源線路的方向過電流保護與時間協調。雙電源會使故障電流由兩端流入故障點，因此線路兩端的電驛須用方向元件判別故障方向，避免非故障線路因反向電流而誤跳。

以下依圖示將各電驛方向設定為面向其所保護的線路區段；並假設未另設匯流排差動保護。

解題方法

先依電驛所在位置辨認它保護的線路區段，再追蹤故障電流方向：

  • B12、B21 分別保護匯流排 1 與匯流排 2 之間的線路。
  • B23、B32 分別保護匯流排 2 與匯流排 3 之間的線路。
  • B1、B3 位於兩端電源出口；依圖示供電方向，以延時過電流電驛作後衛保護。
  • 線路區段故障時，故障區段兩端的電驛優先跳脫；其他電驛依方向判別閉鎖，並按時間級差保留後衛保護。

（一）電驛裝設位置

  • 方向過電流電驛：B12、B21、B23、B32。 方向設定分別為 B12 朝匯流排 2、B21 朝匯流排 1、B23 朝匯流排 3、B32 朝匯流排 2，使各電驛只對其線路區段內、方向正確的故障動作。
  • 延時過電流電驛：B1、B3。 作為兩端電源出口的後衛保護，動作時間須慢於其下游線路保護電驛，避免下游故障時先切除整端電源。

（二）故障發生於 P2

P2 位於 B12 與 B21 之間，屬於匯流排 1 至匯流排 2 的線路區段故障。

  • **B12、B21 應動作。**兩側電源的故障電流都流向 P2，且分別符合 B12、B21 的正向設定；兩者作為故障線路兩端的主保護，應以最短設定時間跳脫，切除故障區段。
  • **B23不應動作。
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第 三 題13 分

某一 200 mile200\ \mathrm{mile} 三相輸電線路，工作頻率為 60 Hz60\ \mathrm{Hz}，其每相分布線路參數為電阻 r=0.21 Ω/miler=0.21\ \Omega/\mathrm{mile}、串聯電抗 x=0.78 Ω/milex=0.78\ \Omega/\mathrm{mile}、併聯電納 b=5.42×10−6 S/mileb=5.42\times10^{-6}\ \mathrm{S}/\mathrm{mile}。

(一) 試求出該三相輸電線路於工作頻率 60 Hz60\ \mathrm{Hz} 時之衰減常數與傳播速度。（13 分）

(二) 如該線路於受電端為開路，而受電端之線對線電壓為 100 kV100\ \mathrm{kV} 時，試決定送電端之電壓與電流大小。（12 分）

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核心觀念

本題考查長距離輸電線路的分布參數模型，以及開路受電端時的長線方程。每相單位長度串聯阻抗與並聯導納分別為

z=r+jx,y=jbz=r+jx,\qquad y=jb

其中 r,x,br,x,b 均為每英里的參數。長度為 ℓ\ell 的線路，其傳播常數、衰減常數及相速度定義為

γ=α+jβ=zy,vp=ωβ,ω=2πf\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{zy},\qquad v_p=\frac{\omega}{\beta},\qquad \omega=2\pi f

長線的送、受端相量關係為

[VSIS]=[cosh⁡(γℓ)Zcsinh⁡(γℓ)1Zcsinh⁡(γℓ)cosh⁡(γℓ)][VRIR],Zc=zy\begin{bmatrix}V_S\\I_S\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cosh(\gamma\ell)&Z_c\sinh(\gamma\ell)\\ \dfrac{1}{Z_c}\sinh(\gamma\ell)&\cosh(\gamma\ell) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_R\\I_R\end{bmatrix}, \qquad Z_c=\sqrt{\frac{z}{y}}

以上電壓、電流皆採每相值；三相線對線電壓換算為相電壓時，使用 Vϕ=VLL/3V_{\phi}=V_{LL}/\sqrt{3}。

解題方法

先由每英里參數求 γ\gamma，取其實部為衰減常數 α\alpha、虛部為相位常數 β\beta，再用 vp=ω/βv_p=\omega/\beta 求傳播速度。開路受電端代表 IR=0I_R=0，因此送端方程簡化為 VS=VRcosh⁡(γℓ)V_S=V_R\cosh(\gamma\ell)、IS=(VR/Zc)sinh⁡(γℓ)I_S=(V_R/Z_c)\sinh(\gamma\ell)。

（一）衰減常數與傳播速度

每相每英里串聯阻抗及並聯導納為

z=0.21+j0.78 Ω/mile,y=j5.42×10−6 S/milez=0.21+j0.78\ \Omega/\mathrm{mile}, \qquad y=j5.42\times10^{-6}\ \mathrm{S}/\mathrm{mile}

因此

zy=(0.21+j0.78)(j5.42×10−6)=−4.2276×10−6+j1.1382×10−6zy=(0.21+j0.78)(j5.42\times10^{-6}) =-4.2276\times10^{-6}+j1.1382\times10^{-6}

取平方根：

γ=zy≈2.75×10−4+j2.07×10−3 mile−1\gamma=\sqrt{zy} \approx 2.75\times10^{-4}+j2.07\times10^{-3}\ \mathrm{mile}^{-1}

所以

α=2.75×10−4 Np/mile,β=2.07×10−3 rad/mile\alpha=2.75\times10^{-4}\ \mathrm{Np/mile}, \qquad \beta=2.07\times10^{-3}\ \mathrm{rad/mile}

工作角頻率為

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第 四 題10 分

兩部發電機 G1G1 與 G2G2 之燃料成本如下：

C1(PG1)=900+45PG1+0.01PG12C_1(P_{G1})=900+45P_{G1}+0.01P_{G1}^{2} C2(PG2)=2500+45PG2+0.003PG22C_2(P_{G2})=2500+45P_{G2}+0.003P_{G2}^{2}

PG1P_{G1} 與 PG2P_{G2} 分別為兩部發電機之有效功率出力，而 C1C_1 與 C2C_2 為其燃料成本。

(一) 若總負載為 600 MW600\ \mathrm{MW}，且不考慮發電機出力上下限與輸電線路損失，求出於最佳經濟調度時各機組之出力與總燃料成本。（10 分）

(二) 若總負載為 600 MW600\ \mathrm{MW}，考慮發電機出力上下限：

50 MW≤PG1≤200 MW50\ \mathrm{MW}\leq P_{G1}\leq200\ \mathrm{MW} 50 MW≤PG2≤600 MW50\ \mathrm{MW}\leq P_{G2}\leq600\ \mathrm{MW}

於忽略輸電線路損失下，求出於最佳經濟調度時各機組之出力與總燃料成本。（10 分）

(三) 請說明不考慮發電機出力上下限，但考慮輸電線路損失 LL 時，要如何求解最佳調度？（5 分）

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核心觀念

本題考「經濟調度」（Economic Dispatch）：在滿足負載需求的條件下，選擇各機組出力，使總燃料成本最小。

忽略線路損失時，功率平衡式為

PG1+PG2=PD=600 MWP_{G1}+P_{G2}=P_D=600\ \mathrm{MW}

各機組的增量燃料成本（成本函數對出力的一階導數）為

dC1dPG1=45+0.02PG1\frac{dC_1}{dP_{G1}}=45+0.02P_{G1} dC2dPG2=45+0.006PG2\frac{dC_2}{dP_{G2}}=45+0.006P_{G2}

沒有出力上下限時，最佳調度的必要條件是各機組增量成本相等：

dC1dPG1=dC2dPG2=λ\frac{dC_1}{dP_{G1}} = \frac{dC_2}{dP_{G2}} =\lambda

其中 λ\lambda 為系統的增量成本，也可視為功率平衡限制式的拉格朗日乘數。

(一) 不考慮出力限制與線路損失

令兩機組增量成本相等，並聯立功率平衡式：

45+0.02PG1=45+0.006PG245+0.02P_{G1}=45+0.006P_{G2} PG1+PG2=600P_{G1}+P_{G2}=600

第一式化簡為 PG1=0.3PG2P_{G1}=0.3P_{G2}。代入功率平衡式：

1.3PG2=6001.3P_{G2}=600 PG2=461.538 MW,PG1=138.462 MWP_{G2}=461.538\ \mathrm{MW},\qquad P_{G1}=138.462\ \mathrm{MW}

總燃料成本為

Ctotal=C1(138.462)+C2(461.538)≈900+45(138.462)+0.01(138.462)2+2500+45(461.538)+0.003(461.538)2≈30,476.92\begin{aligned} C_{\text{total}} &=C_1(138.462)+C_2(461.538)\\ &\approx 900+45(138.462)+0.01(138.462)^2\\ &\quad+2500+45(461.538)+0.003(461.538)^2\\ &\approx 30{,}476.92 \end{aligned}

此時兩機組的增量成本皆為

λ=45+0.02(138.462)≈47.769\lambda=45+0.02(138.462) \approx 47.769

(二) 考慮發電機出力上下限，忽略線路損失

先計算不受限調度的出力，再檢查是否落在各機組限制範圍內。第（一）小題得到的 PG1=138.462 MWP_{G1}=138.462\ \mathrm{MW}，符合 50≤PG1≤20050\leq P_{G1}\leq200；PG2=461.538 MWP_{G2}=461.538\ \mathrm{MW}，符合 50≤PG2≤60050\leq P_{G2}\leq600。

因此不需將任何機組固定在上下限，受限最佳調度與第（一）小題相同：

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