112 地方特考三等 電子工程類科 電子學 考古題詳解

112 年・地方特考・三等・電子工程類科
試題代碼 電子學

第 一 題20 分

有一個雙載子接面電晶體（BJT）差動放大器電路如圖一所示。假設電路在作直流分析時，所有電晶體的基極電流等於 00（IB=0I_B=0），且所有的 VBE=0.7 VV_{BE}=0.7\ \mathrm{V}。電晶體 Q1Q_1 與 Q2Q_2 完全匹配，電晶體 Q3Q_3 的射極－基極接面（E-B junction）面積是電晶體 Q4Q_4 的 22 倍。電路中：熱電壓 VT=25 mVV_T=25\ \mathrm{mV}、VCC=VEE=5 VV_{CC}=V_{EE}=5\ \mathrm{V}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）當 v1=v2=0v_1=v_2=0，如果 Q1Q_1 與 Q2Q_2 的直流偏壓電流 IC1=IC2=0.15 mAI_{C1}=I_{C2}=0.15\ \mathrm{mA}，且 VC1=VC2=2 VV_{C1}=V_{C2}=2\ \mathrm{V}，此時 R1R_1、R2R_2 與 RbR_b 的值分別為何？

（二）當 v1=vid/2v_1=v_{id}/2、v2=−vid/2v_2=-v_{id}/2，若 VA=∞V_A=\infty，根據（一）所計算出的 R1R_1 與 R2R_2 與直流偏壓，請計算出差動小信號電壓增益

vodvid=vC2−vC1v1−v2.\frac{v_{od}}{v_{id}}=\frac{v_{C2}-v_{C1}}{v_1-v_2}.

如果 β1=β2=β3=β4=120\beta_1=\beta_2=\beta_3=\beta_4=120，請計算出差動放大器 Q1Q_1－Q2Q_2 的輸入阻抗。

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核心觀念

本題考查：

  1. BJT 電流鏡與接面面積比例

IC∝AEeVBE/VTI_C\propto A_E e^{V_{BE}/V_T}

當 VBEV_{BE} 相同時，集極電流與射極－基極接面面積成正比。

  1. BJT 小信號跨導

gm=ICVTg_m=\frac{I_C}{V_T}

  1. BJT 小信號輸入電阻

rπ=βgmr_{\pi}=\frac{\beta}{g_m}

（一）計算 R1R_1、R2R_2 與 RbR_b

1. 求電流鏡的基準電流

已知

IC1=IC2=0.15 mAI_{C1}=I_{C2}=0.15\ \text{mA}

因此差動對的尾電流為

IC3=IC1+IC2=0.15+0.15=0.30 mAI_{C3}=I_{C1}+I_{C2} =0.15+0.15 =0.30\ \text{mA}

又因為 Q3Q_3 的 E-B 接面面積是 Q4Q_4 的 2 倍，且兩者 VBEV_{BE} 相同，所以

IC3=2IC4I_{C3}=2I_{C4}

故

IC4=IC32=0.302=0.15 mAI_{C4}=\frac{I_{C3}}{2} =\frac{0.30}{2} =0.15\ \text{mA}

由於題目假設 IB=0I_B=0，RbR_b 中的電流即為 IC4I_{C4}。

2. 計算 R1R_1 與 R2R_2

兩側電阻上端接至 VCC=5 VV_{CC}=5\ \text{V}，集極電壓為 2 V2\ \text{V}，因此

R1=R2=VCC−VCICR_1=R_2 =\frac{V_{CC}-V_C}{I_C} R1=R2=5−20.15 mA=20 kΩR_1=R_2 =\frac{5-2}{0.15\ \text{mA}} =20\ \text{k}\Omega

3. 計算 RbR_b

Q4Q_4 的射極接至 −VEE=−5 V-V_{EE}=-5\ \text{V}，因此其基極電壓為

VB=−5+0.7=−4.3 VV_B=-5+0.7=-4.3\ \text{V}

所以 RbR_b 兩端電壓為

VRb=VCC−VB=5−(−4.3)=9.3 VV_{R_b}=V_{CC}-V_B =5-(-4.3) =9.3\ \text{V}

故

Rb=9.3 V0.15 mA=62 kΩR_b=\frac{9.3\ \text{V}}{0.15\ \text{mA}} =62\ \text{k}\Omega

（二）差動小信號電壓增益

1. 求 BJT 跨導

在靜態工作點，

IC=0.15 mAI_C=0.15\ \text{mA}

因此

gm=ICVT=0.15 mA25 mV=6 mSg_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{0.15\ \text{mA}}{25\ \text{mV}} =6\ \text{mS}

由於 VA=∞V_A=\infty，所以

ro=∞r_o=\infty

不需考慮 Early effect。

2. 差動模式下的輸出電壓

輸入為

v1=vid2,v2=−vid2v_1=\frac{v_{id}}{2}, \qquad v_2=-\frac{v_{id}}{2}
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第 二 題20 分

圖二為一個使用 2 個運算放大器（operational amplifier, op amp）的權重加法器（weighted summer）電路。在此電路中，R1=100 kΩR_1=100\ \mathrm{k\Omega}、R2=100 kΩR_2=100\ \mathrm{k\Omega}、Ra=400 kΩR_a=400\ \mathrm{k\Omega}、Rb=150 kΩR_b=150\ \mathrm{k\Omega}、Rc=300 kΩR_c=300\ \mathrm{k\Omega}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）如果這 2 個運算放大器均為理想放大器，請計算 vov_o。

（二）如果這 2 個運算放大器的增益 AA 均為 500500，且輸入阻抗均為無限大，請計算 vov_o。

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核心觀念

本題考查兩級反相運算放大器電路：

  1. 理想運算放大器具有虛短路，且輸入端電流為零： v+=v−=0,i+=i−=0v_+=v_-=0,\qquad i_+=i_-=0
  2. 有限開迴路增益 AA 時： vo=A(v+−v−)v_o=A(v_+-v_-) 因此當 v+=0v_+=0 時，反相端電壓為 v−=−voAv_-=-\frac{v_o}{A} 此時反相端不再是完全的虛地。
  3. 反相加法器利用反相端節點套用 KCL 求解輸出電壓。

（一）兩個運算放大器均為理想放大器

第一級電路

第一級為反相放大器，輸入為 v2v_2，輸入電阻為 R2R_2，回授電阻為 RaR_a。

因此第一級輸出為

v2′=−RaR2v2v_2'=-\frac{R_a}{R_2}v_2

代入 Ra=400 kΩR_a=400\ \mathrm{k\Omega}、R2=100 kΩR_2=100\ \mathrm{k\Omega}：

v2′=−4v2v_2'=-4v_2

第二級電路

第二級為反相加法器，反相端接收 v1v_1 與 v2′v_2'，回授電阻為 RcR_c。

由虛地及 KCL：

v1R1+v2′Rb+voRc=0\frac{v_1}{R_1}+\frac{v_2'}{R_b} +\frac{v_o}{R_c}=0

所以

vo=−Rc(v1R1+v2′Rb)v_o=-R_c\left(\frac{v_1}{R_1}+\frac{v_2'}{R_b}\right)

代入 v2′=−4v2v_2'=-4v_2：

vo=−RcR1v1+4RcRbv2v_o =-\frac{R_c}{R_1}v_1 +\frac{4R_c}{R_b}v_2

再代入電阻值：

vo=−300100v1+4(300)150v2v_o =-\frac{300}{100}v_1 +\frac{4(300)}{150}v_2

因此

vo=−3v1+8v2\boxed{v_o=-3v_1+8v_2}

（二）兩個運算放大器增益均為 A=500A=500

此小題的關鍵是不能直接使用虛地，必須使用

v−=−voAv_-= -\frac{v_o}{A}

且題目已知輸入阻抗無限大，因此兩個運算放大器的輸入端均不取電流。

第一級：有限增益反相放大器

設第一級反相端電壓為 vn1v_{n1}，則

vn1=−v2′Av_{n1}=-\frac{v_2'}{A}

在第一級反相端套用 KCL：

vn1−v2R2+vn1−v2′Ra=0\frac{v_{n1}-v_2}{R_2} +\frac{v_{n1}-v_2'}{R_a}=0

代入 vn1=−v2′/Av_{n1}=-v_2'/A：

−v2′/A−v2R2+−v2′/A−v2′Ra=0\frac{-v_2'/A-v_2}{R_2} +\frac{-v_2'/A-v_2'}{R_a}=0

整理得

v2′=−ARaAR2+Ra+R2v2v_2' =-\frac{A R_a}{A R_2+R_a+R_2}v_2

代入 A=500A=500 及電阻值：

v2′=−500(400)500(100)+400+100v2v_2' =-\frac{500(400)} {500(100)+400+100}v_2
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第 三 題20 分

有一個邏輯真值表如圖三所示，AA、BB、CC 為輸入變數，XX 與 YY 為輸出函數，請將之化簡。

真值表如下：

AABBCCXXYY
00001
00110
01011
01111
10010
10101
11001
11100

（一）XX 邏輯函數為何？請繪出此邏輯函數的 static CMOS 電路圖。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（二）YY 邏輯函數為何？請繪出此邏輯函數的 pseudo NMOS 電路圖。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念

本題考查：

  1. 由真值表寫出 Sum of Products（SOP）或 Product of Sums（POS）。
  2. 利用布林代數或卡諾圖化簡邏輯函數。
  3. Static CMOS 的設計原則：
  • Pull-Down Network（PDN）由 NMOS 組成，實現反函數。
  • Pull-Up Network（PUN）由 PMOS 組成，為 PDN 的對偶電路。
  1. Pseudo-NMOS 電路以一個閘極接地、永遠導通的 PMOS 作為上拉元件，再以 NMOS 網路實現輸出為 00 的條件。

（一）XX 邏輯函數與 static CMOS 電路

1. 由真值表寫出 XX

X=1X=1 的輸入組合為：

(A,B,C)=(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0)(A,B,C)=(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0)

因此：

X=A‾ B‾C+A‾BC‾+A‾BC+AB‾ C‾X=\overline{A}\,\overline{B}C+\overline{A}B\overline{C} +\overline{A}BC+A\overline{B}\,\overline{C}

合併相鄰項：

A‾ B‾C+A‾BC=A‾C\overline{A}\,\overline{B}C+\overline{A}BC =\overline{A}C A‾BC‾+A‾BC=A‾B\overline{A}B\overline{C}+\overline{A}BC =\overline{A}B

所以：

X=A‾B+A‾C+AB‾ C‾\boxed{X=\overline{A}B+\overline{A}C+A\overline{B}\,\overline{C}}

亦可寫成：

X=Σm(1,2,3,4)\boxed{X=\Sigma m(1,2,3,4)}

2. 求 static CMOS 所需的反函數

Static CMOS 的 NMOS 下拉網路必須在 X=0X=0 時導通，因此先求：

X‾=Πm(0,5,6,7)\overline{X}=\Pi m(0,5,6,7)

由真值表或卡諾圖化簡：

X‾=A‾ B‾ C‾+AC+AB\overline{X} =\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} +AC+AB

因此：

X‾=AB+AC+A‾ B‾ C‾\boxed{\overline{X}=AB+AC+\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}}

3. NMOS Pull-Down Network

因為：

X‾=AB+AC+A‾ B‾ C‾\overline{X}=AB+AC+\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}

所以 PDN 為三個支路並聯：

  • AA 與 BB 串聯，表示 ABAB
  • AA 與 CC 串聯，表示 ACAC
  • A‾\overline{A}、B‾\overline{B}、C‾\overline{C} 三個 NMOS 串聯，表示 A‾ B‾ C‾\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}

示意如下：

 X
 |
 ┌─────────┼─────────┐
 │ │ │
 NMOS NMOS NMOS
 gate A gate A gate A'
 | | |
 NMOS NMOS NMOS
 gate B gate C gate B'
 | | |
 └─────────┴────────NMOS gate C'
 |
 GND

其中左、中的兩支路及右側三顆串聯支路彼此並聯，連接於輸出 XX 與接地之間。

4. PMOS Pull-Up Network

PUN 為 PDN 的對偶網路：

  • PDN 中的串聯改為 PUN 中的並聯。
  • PDN 中的並聯改為 PUN 中的串聯。
  • PMOS 的閘極分別接至 A,B,CA,B,C 或其反相訊號。

因此 PUN 結構為三個區塊串聯：

(pA∥pC)  −  (pA∥pB)  −  (pA‾∥pB‾∥pC‾)(p_A\parallel p_C) \;-\; (p_A\parallel p_B) \;-\; (p_{\overline A}\parallel p_{\overline B}\parallel p_{\overline C})

示意如下：

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第 四 題20 分

有一個共源極（common-source）的 MOSFET 放大器如圖四所示，已知此 MOSFET 的 gm=5 mA/Vg_m=5\ \mathrm{mA/V}、ro=80 kΩr_o=80\ \mathrm{k\Omega}、Cgs=5 pFC_{gs}=5\ \mathrm{pF}、Cgd=0.4 pFC_{gd}=0.4\ \mathrm{pF}、輸出端總電容 CL=20 pFC_L=20\ \mathrm{pF}。電路中的元件：Rsig=100 kΩR_{sig}=100\ \mathrm{k\Omega}、RG1=3 MΩR_{G1}=3\ \mathrm{M\Omega}、RG2=1 MΩR_{G2}=1\ \mathrm{M\Omega}、RD=20 kΩR_D=20\ \mathrm{k\Omega}、RS=5 kΩR_S=5\ \mathrm{k\Omega}、RL=80 kΩR_L=80\ \mathrm{k\Omega}、CC1=0.1 μFC_{C1}=0.1\ \mathrm{\mu F}、CC2=1 μFC_{C2}=1\ \mathrm{\mu F}、CS=5 μFC_S=5\ \mathrm{\mu F}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請使用短路時間常數法（short-circuit time constant），計算出低 3 dB3\ \mathrm{dB} 頻率（lower-3db frequency）fLf_L。

（二）請使用開路時間常數法（open-circuit time constant），計算出上 3 dB3\ \mathrm{dB} 頻率（upper 3db frequency）fHf_H。

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核心觀念

本題分別使用：

  • 低頻：短路時間常數法 將其他低頻電容視為短路，逐一求各電容所見電阻 RiR_i，再利用 ωL≈∑i1RiCi,fL=ωL2π\omega_L\approx \sum_i\frac{1}{R_iC_i},\qquad f_L=\frac{\omega_L}{2\pi}

  • 高頻：開路時間常數法 將耦合電容與旁路電容視為短路，考慮 CgsC_{gs}、CgdC_{gd} 及 CLC_L，再利用 ωH≈1∑iRiCi,fH=12π∑iRiCi\omega_H\approx\frac{1}{\sum_i R_iC_i},\qquad f_H=\frac{1}{2\pi\sum_iR_iC_i}

（一）低 3 dB3\ \mathrm{dB} 頻率 fLf_L

1. 輸入耦合電容 CC1C_{C1}

偏壓電阻為

RG=RG1∥RG2=3 MΩ∥1 MΩ=0.75 MΩR_G=R_{G1}\parallel R_{G2} =3\,\mathrm{M\Omega}\parallel1\,\mathrm{M\Omega} =0.75\,\mathrm{M\Omega}

因此，CC1C_{C1} 所見電阻為

RC1=Rsig+RG=100 kΩ+750 kΩ=850 kΩR_{C1}=R_{sig}+R_G =100\,\mathrm{k\Omega}+750\,\mathrm{k\Omega} =850\,\mathrm{k\Omega}

其時間常數：

τC1=RC1CC1=(850×103)(0.1×10−6)=0.085 s\tau_{C1}=R_{C1}C_{C1} =(850\times10^3)(0.1\times10^{-6}) =0.085\ \mathrm{s}

2. 輸出耦合電容 CC2C_{C2}

其他低頻電容短路，因此源極為交流接地。汲極左側電阻為

RD∥ro=20 kΩ∥80 kΩ=16 kΩR_D\parallel r_o =20\,\mathrm{k\Omega}\parallel80\,\mathrm{k\Omega} =16\,\mathrm{k\Omega}

CC2C_{C2} 兩端所見電阻為

RC2=(RD∥ro)+RL=16 kΩ+80 kΩ=96 kΩR_{C2}=(R_D\parallel r_o)+R_L =16\,\mathrm{k\Omega}+80\,\mathrm{k\Omega} =96\,\mathrm{k\Omega}

其時間常數：

τC2=RC2CC2=(96×103)(1×10−6)=0.096 s\tau_{C2}=R_{C2}C_{C2} =(96\times10^3)(1\times10^{-6}) =0.096\ \mathrm{s}

3. 源極旁路電容 CSC_S

若考慮 ror_o，源極看入 MOSFET 的等效電阻約為

Rx≃239.4 ΩR_x\simeq239.4\ \Omega

所以

RCS=RS∥Rx=5 kΩ∥239.4 Ω≃228.5 ΩR_{CS}=R_S\parallel R_x =5\,\mathrm{k\Omega}\parallel239.4\,\Omega \simeq228.5\ \Omega

其時間常數：

τCS=RCSCS=(228.5)(5×10−6)≃1.142×10−3 s\tau_{CS}=R_{CS}C_S =(228.5)(5\times10^{-6}) \simeq1.142\times10^{-3}\ \mathrm{s}

4. 套用短路時間常數法

ωL=10.085+10.096+11.142×10−3\omega_L =\frac{1}{0.085} +\frac{1}{0.096} +\frac{1}{1.142\times10^{-3}} ωL≃897.6 rad/s\omega_L\simeq897.6\ \mathrm{rad/s}

因此

fL=897.62π≃142.9 Hzf_L=\frac{897.6}{2\pi} \simeq142.9\ \mathrm{Hz}

故

fL≃143 Hz\boxed{f_L\simeq143\ \mathrm{Hz}}

（二）上 3 dB3\ \mathrm{dB} 頻率 fHf_H

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第 五 題20 分

有一個串並（series-shunt）回授放大器如圖五所示。在此我們使用一個差動放大器，此差動放大器的增益 μ=103\mu=10^3，輸入電阻 Rid=200 kΩR_{id}=200\ \mathrm{k\Omega}，輸出電阻 ro=2 kΩr_o=2\ \mathrm{k\Omega}。在此電路中，RS=20 kΩR_S=20\ \mathrm{k\Omega}、RL=2 kΩR_L=2\ \mathrm{k\Omega}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請說明為何此電路為一個負回授電路？

（二）假設理想的回授放大器增益 Af=vo/vs=20 V/VA_f=v_o/v_s=20\ \mathrm{V/V}，其所需的回授因數（feedback factor）β\beta 為何？如果 R1=2 kΩR_1=2\ \mathrm{k\Omega}，R2R_2 應該為何？

（三）請畫出完整的 AA 電路，其中 R1R_1 與 R2R_2 為（二）中所計算出之結果帶入，使用此電路計算 AA、RiR_i 與 RoR_o，並計算出此回授放大器之實際 AfA_f、RinR_{in} 與 RoutR_{out}。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查電壓串聯（series-shunt）負回授放大器：

  • 輸入端採「串聯混合」：回授電壓與輸入電壓相減。
  • 輸出端採「並聯取樣」：由 R1、R2R_1、R_2 分壓取得輸出電壓。
  • 負回授基本公式：
Af=A1+AβA_f=\frac{A}{1+A\beta}

其中：

  • AA：基本放大器增益
  • β\beta：回授因數
  • AβA\beta：迴路增益
  • AfA_f：閉迴路回授增益

電壓串聯負回授會使輸入電阻增加、輸出電阻降低：

Rin=Ri(1+Aβ)R_{in}=R_i(1+A\beta) Rout=Ro1+AβR_{out}=\frac{R_o}{1+A\beta}

（一）為何為負回授電路

輸出電壓 vov_o 經由 R2、R1R_2、R_1 分壓後，回送至差動放大器的反相端。

回授電壓為

vf=βvov_f=\beta v_o

其中

β=R1R1+R2\beta=\frac{R_1}{R_1+R_2}

差動放大器的輸入電壓為

vi=vs−vfv_i=v_s-v_f

當 vov_o 增加時，vfv_f 也增加；由於 vfv_f 加到反相端，會使差動輸入 viv_i 減小，進而使輸出電壓降低。因此回授訊號抵消原輸入訊號的作用，故為負回授。

（二）求 β\beta 與 R2R_2

理想放大器的開迴路增益極大，因此

Af≃1βA_f\simeq \frac{1}{\beta}

題目給定

Af=vovs=20A_f=\frac{v_o}{v_s}=20

所以

β=1Af=120=0.05\beta=\frac{1}{A_f} =\frac{1}{20} =0.05

分壓回授因數為

β=R1R1+R2\beta=\frac{R_1}{R_1+R_2}

代入 R1=2 kΩR_1=2\ \text{k}\Omega：

0.05=22+R20.05=\frac{2}{2+R_2}

因此

R1+R2=R1β=20.05=40 kΩR_1+R_2=\frac{R_1}{\beta} =\frac{2}{0.05} =40\ \text{k}\Omega R2=40−2=38 kΩ\boxed{R_2=40-2=38\ \text{k}\Omega}

（三）AA 電路及各項參數

1. AA 電路

將回授訊號視為輸入端的負電壓，基本放大器輸入為

vi=vs−vfv_i=v_s-v_f

其中 R1=2 kΩR_1=2\ \text{k}\Omega、R2=38 kΩR_2=38\ \text{k}\Omega。

在計算基本放大器增益時，輸出端的負載為

RL∥(R1+R2)R_L\parallel(R_1+R_2)

故可用下列等效模型：

  • 差動輸入電阻：Rid=200 kΩR_{id}=200\ \text{k}\Omega
  • 受控電壓源：μvi\mu v_i
  • 輸出電阻：ro=2 kΩr_o=2\ \text{k}\Omega
  • 輸出負載：RL∥R1∥R2R_L\parallel R_1\parallel R_2 的等效取樣負載

由於 R1、R2R_1、R_2 串聯跨接於輸出端，因此

R1+R2=2+38=40 kΩR_1+R_2=2+38=40\ \text{k}\Omega

2. 計算基本放大器增益 AA

輸出端等效電阻為

Ro=ro∥RL∥(R1+R2)R_o=r_o\parallel R_L\parallel(R_1+R_2) Ro=2∥2∥40 kΩR_o=2\parallel2\parallel40\ \text{k}\Omega

先算

2∥2=1 kΩ2\parallel2=1\ \text{k}\Omega

因此

Ro=1∥40=0.9756 kΩR_o=1\parallel40 =0.9756\ \text{k}\Omega

基本放大器增益為

A=μRoroA=\mu\frac{R_o}{r_o} A=1030.97562=487.8 V/VA=10^3\frac{0.9756}{2} =487.8\ \text{V/V}

所以

A≈487.8 V/V\boxed{A\approx487.8\ \text{V/V}}

3. 計算 RiR_i

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