112 地方特考三等 電子工程類科 半導體工程 考古題詳解

核心觀念

外質半導體是摻入施體或受體雜質的半導體。雜質原子提供能階，電子或電洞獲得足夠熱能後，便能脫離雜質束縛而成為可移動的載子；同時，施體或受體原子轉為帶電的離化雜質離子。

解題方法與定義

• 完全解離（complete ionization）：施體或受體雜質幾乎全部離化。施體原子將電子提供到導帶，成為帶正電的施體離子；受體原子接受價帶電子，留下電洞並成為帶負電的受體離子。在非簡併、單一施體或受體且無其他補償雜質的常見近似下，完全解離時有 $n \simeq N_D \quad（n\text{ 型）}$ $p \simeq N_A \quad（p\text{ 型）}$ 其中 $N_D$、$N_A$ 分別為施體與受體濃度，$n$、$p$ 分別為電子與電洞濃度。若同時有施體與受體，載子濃度則須依電中性條件與補償情形判定，不能直接等同於單一雜質濃度。

• 凍結（freeze-out）：溫度很低時，熱能不足以使雜質能階中的電子或電洞大量進入能帶，雜質僅部分離化，許多載子仍束縛在雜質原子上。此時可移動載子濃度低於雜質濃度，例如 n 型半導體的 $n \ll N_D$。降溫使離化程度降低，因此稱為凍結區。

解題技巧

判斷兩者的關鍵是「雜質離化比例」：幾乎全部離化即完全解離；只有部分離化、載子仍受雜質束縛即凍結。完全解離不代表電子與電洞濃度相等，而是指施體或受體雜質的離化程度接近百分之百。

（二）質量作用定律

核心觀念

核心觀念

本題考查半導體中的漂移電流，以及散射機制如何限制載子移動。載子在電場作用下產生平均漂移速度，形成漂移電流；載子的遷移率則受晶格振動與游離雜質散射影響。

漂移電流密度可寫成電子與電洞兩部分：

$$J_{\mathrm{drift}}=J_n+J_p =q n\mu_n E+q p\mu_p E =q(n\mu_n+p\mu_p)E$$

其中 $q$ 為基本電荷量，$n$、$p$ 分別為電子與電洞濃度，$\mu_n$、$\mu_p$ 為遷移率，$E$ 為電場強度。此式採用電流密度的傳統方向；電子漂移方向與電場相反，但電子所形成的傳統電流方向與電場相同。

解題方法

（一）漂移電流密度的影響因素

由 $J_{\mathrm{drift}}=q(n\mu_n+p\mu_p)E$ 可知，漂移電流密度受下列因素影響：

1. 載子濃度：電子濃度 $n$ 或電洞濃度 $p$ 愈高，可參與導電的載子愈多。
2. 載子遷移率：$\mu_n$ 或 $\mu_p$ 愈大，載子在相同電場下的漂移速度愈大。
3. 電場強度：在低電場、遷移率近似不隨電場變化時，電流密度與 $E$ 成正比。
4. 基本電荷量：$q$ 是比例因子，對特定半導體而言為常數。

低電場下，漂移速度與電場的關係為

$$v_{n,\mathrm{drift}}=-\mu_n E,\qquad v_{p,\mathrm{drift}}=+\mu_p E$$

電子帶負電，因此電子速度與電場反向；電洞帶正電，速度與電場同向。兩種載子所形成的傳統電流皆沿電場方向。

以電子為例，$J_n=(-q)n v_{n,\mathrm{drift}}=qn\mu_n E$；電洞則為 $J_p=qp\mu_p E$，合併即得前述總漂移電流密度。

（二）晶格散射與游離雜質散射

晶格散射（lattice scattering） 半導體晶格中的原子會因熱能而振動，形成聲子。載子與這些振動的晶格原子交互作用，造成動量方向改變，平均漂移速度下降，因而降低遷移率。溫度升高時，晶格振動加劇，散射變強，遷移率通常下降。常用近似關係表示為

核心觀念

這題考查 $p$-$n$ 接面的內建電位，以及外加偏壓如何改變接面能障與載子注入。熱平衡時，電子與電洞因濃度梯度互相擴散，留下帶電的離化雜質，形成空乏區與內建電場；內建電場造成的漂移作用最終抵銷擴散作用。

令 $V_T=kT/q$ 為熱電壓，$N_A$、$N_D$ 分別為受體與施體濃度，$n_i$ 為本質載子濃度，則突變接面在熱平衡下的內建電位為

$$V_{bi}=V_T\ln\!\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right) =\frac{kT}{q}\ln\!\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right).$$

此式假設接面處於熱平衡、半導體非簡併，且摻雜均勻並可用完全游離近似。$V_{bi}$ 是接面空乏區的電位差，不是外加電源電壓。

解題方法：偏壓與能帶圖

能帶圖以位置為橫軸、能量為縱軸。以下均以 $p$ 區在左、$n$ 區在右表示；縱向能量差以電子能量表示，因此電位障高為 $qV$。

**熱平衡基準：**空乏區內的能帶彎曲對應內建電位 $V_{bi}$；熱平衡時費米能階 $E_F$ 為水平直線。加上偏壓後，能障大小改變，兩側的準費米能階則不再相同。

逆向偏壓：$p$ 端接電源負極、$n$ 端接正極，外加電場與內建電場同向，使空乏區能障升高至 $q(V_{bi}+V_R)$，空乏區加寬。

能量 E ↑
 p 區 空乏區 n 區
Ec ────────────╲
 ╲________________
 ↑ 能障 q(Vbi+VR)
Ev ────────────╲
 ╲________________
位置 x → p | 接面 | n

逆偏時，多數載子較難越過能障，電流主要為少數載子形成的微小逆向飽和電流；在未達崩潰前，逆向電流相對較小。

核心觀念

本題考查 BJT 的兩種非理想效應：

1. 基極寬度調變效應：集極—基極接面反向偏壓增加時，集極空乏區向基極側擴展，使有效基極寬度變窄，進而提高集極電流，造成輸出特性曲線具有斜率，輸出電導 $g_o$ 不再為零。
2. 高注入效應：基極—射極接面正向偏壓很大時，射極注入基極的少數載子濃度上升至與基極多數載子濃度相當，低注入假設失效，使基極電流增加得比集極電流快，因而使共射極電流增益 $\beta$ 下降。

以下以 NPN 電晶體說明；PNP 電晶體的原理相同，僅電壓與電流方向相反。

（一）基極寬度調變效應與輸出電導

作用機制

在主動區中，集極—基極接面為反向偏壓。當 $V_{CB}$ 增加時，該接面的空乏區會向基極側擴展，使中性基極的有效寬度 $W_B$ 減小。這就是基極寬度調變效應，又稱 Early 效應。

電子由射極注入基極後，必須穿越中性基極才能到達集極。有效基極變窄時，電子在基極內復合的機率降低，抵達集極的比例提高，因此集極電流 $I_C$ 隨集極—射極電壓 $V_{CE}$ 增加而上升。理想上，主動區的 $I_C$ 不應受 $V_{CE}$ 影響；基極寬度調變使實際輸出特性曲線向上傾斜。

常用的 Early 效應模型為

$$I_C \approx I_{C0}\left(1+\frac{V_{CE}}{V_A}\right)$$

其中 $I_{C0}$ 表示忽略基極寬度調變時的集極電流，$V_A$ 為 Early 電壓。在輸出特性曲線的延長線上，各條曲線約交於 $V_{CE}=-V_A$。

對輸出電導 $g_o$ 的影響

輸出電導定義為固定基極電流下，集極電流對集極—射極電壓的微分：

$$g_o=\left.\frac{\partial I_C}{\partial V_{CE}}\right|_{I_B}$$

由 Early 效應模型可得

$$g_o \approx \frac{I_{C0}}{V_A}$$

若以實際工作點的 $I_C$ 表示，常近似寫成

$$g_o \approx \frac{I_C}{V_A}$$

因此，基極寬度調變會使 $g_o$ 由理想的零增加為有限正值；Early 電壓越大，曲線越平坦，$g_o$ 越小。對應的輸出電阻為

$$r_o=\frac{1}{g_o}\approx\frac{V_A}{I_C}$$

所以 Early 電壓越大，輸出電阻越大。

（二）高注入效應與共射極電流增益 $\beta$

核心觀念

平行板電容的電容量為

$$C=\varepsilon_0\varepsilon_s\frac{A}{d}$$

其中 $\varepsilon_0$ 為真空介電常數、$\varepsilon_s$ 為相對介電常數、$A$ 為電極面積，$d$ 為介電層厚度。因此，電容量與介電常數及面積成正比，與厚度成反比。

多層介電材料沿電場方向疊合時，各層相當於串聯電容，故

$$\frac{1}{C_{\mathrm{eq}}}=\sum_i\frac{1}{C_i}$$

若各層面積相同，代入平行板電容公式後可寫成

$$C_{\mathrm{eq}}=\frac{\varepsilon_0 A}{\displaystyle\sum_i\frac{d_i}{\varepsilon_{s,i}}}$$

解題方法

（一）比較兩個單層電容

設 $C_{\mathrm{Ta}}$ 為 $\mathrm{Ta_2O_5}$ 電容，$C_{\mathrm{Si}}$ 為 $\mathrm{SiO_2}$ 電容。題目給定

$$\frac{d_{\mathrm{Ta}}}{d_{\mathrm{Si}}}=2,\qquad \frac{A_{\mathrm{Ta}}}{A_{\mathrm{Si}}}=3$$

兩電容相除，共同的 $\varepsilon_0$ 消去：

核心觀念

本題考查突變矽 $p$-$n$ 接面的熱平衡空乏區。未施加外加電壓時，空乏區內的固定離子形成內建電位；由電中性條件求出兩側空乏區延伸長度，再計算總空乏區寬度與接面處最大電場。

內建電位為

$$V_{bi}=\frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right).$$

在空乏近似下，總空乏區寬度 $W=x_n+x_p$ 為

$$W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right)V_{bi}},$$

其中 $\varepsilon_s=11.7\varepsilon_0$。最大電場出現在冶金接面處，大小為

$$E_{\max}=\frac{qN_Dx_n}{\varepsilon_s} =\frac{qN_Ax_p}{\varepsilon_s} =\frac{2V_{bi}}{W}.$$

解題方法

先由摻雜濃度與本質載子濃度求內建電位，再代入空乏區寬度公式。兩側空乏區長度則由電中性條件 $N_Dx_n=N_Ax_p$ 求得，最後計算最大電場。

介電常數為

$$\varepsilon_s=11.7(8.85\times10^{-14}) =1.03545\times10^{-12}\ \mathrm{F/cm}.$$

在 $300\ \mathrm{K}$ 時，$\frac{kT}{q}=0.0259\ \mathrm{V}$。因此

$$\begin{aligned} V_{bi} &=0.0259\ln\left( \frac{(10^{16})(10^{15})}{(1.5\times10^{10})^2} \right)\\ &=0.0259\ln(4.4444\times10^{10})\\ &\approx 0.634\ \mathrm{V}. \end{aligned}$$

代入總空乏區寬度公式：