114 地方特考三等 電力工程類科 電機機械 考古題詳解

114 年・地方特考・三等・電力工程類科
試題代碼 電機機械

第 一 題20 分

一個均勻鐵芯磁路如圖一所示。鐵芯磁路長度 lC=50 cml_C=50\ \mathrm{cm}，氣隙長度 lg=0.1 cml_g=0.1\ \mathrm{cm}，磁路截面積為 0.01 m20.01\ \mathrm{m^2}。磁路上繞有 N=200N=200 匝繞組，鐵芯的相對導磁係數 μr=∞\mu_r=\infty。氣隙的磁通密度為 1.0 T1.0\ \mathrm{T}，且忽略氣隙的邊緣效應。已知 μ0=4π×10−7\mu_0=4\pi\times10^{-7}。

【圖一】均勻鐵芯磁路，繞組電流為 II，繞組匝數為 N=200N=200，氣隙長度為 lgl_g，鐵芯磁路長度為 lCl_C。

(一) 計算此磁路的磁阻與繞組所需輸入電流。

(二) 計算此繞組的電感量與儲能。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

磁路的磁阻、磁動勢與磁通量關係為

R=lμA,NI=RΦ\mathcal{R}=\frac{l}{\mu A},\qquad NI=\mathcal{R}\Phi

其中 R\mathcal{R} 為磁阻，Φ\Phi 為磁通量，NIN I 為繞組產生的磁動勢。鐵芯的相對導磁係數 μr=∞\mu_r=\infty，表示鐵芯磁阻為零，因此總磁阻只由氣隙決定。題目忽略氣隙邊緣效應，氣隙與鐵芯採用相同截面積。

解題方法

先由氣隙磁通密度求磁通量，再計算氣隙磁阻與所需磁動勢，進而求出電流。電感由 L=N2/RL=N^2/\mathcal{R} 求得；儲能則由 W=12LI2W=\frac12 LI^2 計算。

（一）磁阻與繞組所需輸入電流

將氣隙長度換算為公尺：

lg=0.1 cm=0.001 ml_g=0.1\ \mathrm{cm}=0.001\ \mathrm{m}

鐵芯磁阻為零，故磁路總磁阻為

R=lgμ0A=0.001(4π×10−7)(0.01)=7.958×104 A⋅turn/Wb\mathcal{R} =\frac{l_g}{\mu_0 A} =\frac{0.001}{(4\pi\times10^{-7})(0.01)} =7.958\times10^4\ \mathrm{A\cdot turn/Wb}

氣隙磁通量為

Φ=BA=(1.0)(0.01)=0.01 Wb\Phi=BA=(1.0)(0.01)=0.01\ \mathrm{Wb}

所需磁動勢為

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第 二 題20 分

圖二(a)為一個單相變壓器，交付到一次側的等效電路示於圖二(b)。此變壓器滿載額定容量為 500 kVA500\ \mathrm{kVA}，電壓比為 3300 V/220 V3300\ \mathrm{V}/220\ \mathrm{V}。變壓器設計的等效電路參數如下：

Req=0.2 Ω,Xeq=2 Ω,XM=2.2 kΩ,RC=10 kΩ。R_{\mathrm{eq}}=0.2\ \Omega,\qquad X_{\mathrm{eq}}=2\ \Omega,\qquad X_M=2.2\ \mathrm{k}\Omega,\qquad R_C=10\ \mathrm{k}\Omega。

變壓器製造完成後，計劃在此變壓器高壓側分別進行短路實驗與開路實驗。

【圖二(a)】單相變壓器接線圖，標示一次側電壓 V1V_1 與二次側電壓 V2V_2。

【圖二(b)】折算至一次側的變壓器等效電路，包含串聯參數 ReqR_{\mathrm{eq}}、jXeqjX_{\mathrm{eq}}，以及並聯磁化支路 RCR_C、jXMjX_M；電壓比為 3300 V/220 V3300\ \mathrm{V}/220\ \mathrm{V}。

(一) 使用圖二(a)分別繪出短路實驗與開路實驗的接線圖，並說明各實驗的步驟與所需記錄的數據。

(二) 計算與列出短路實驗與開路實驗應有的量測結果。

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核心觀念

短路實驗用來求變壓器的等效串聯阻抗與滿載銅損；開路實驗用來求磁化支路的鐵損與激磁電流。本題參數已折算至高壓一次側，因此兩項實驗都從高壓側施測，計算時直接使用 ReqR_{\mathrm{eq}}、XeqX_{\mathrm{eq}}、RCR_C、XMX_M。

額定容量為 SN=500 kVAS_N=500\ \mathrm{kVA}，高壓側額定電壓為 V1N=3300 VV_{1N}=3300\ \mathrm{V}，故高壓側額定電流為

I1N=SNV1N=500 0003300=151.52 AI_{1N}=\frac{S_N}{V_{1N}} =\frac{500\,000}{3300} =151.52\ \mathrm{A}

（一）接線方式、步驟與記錄數據

圖示中，電流表與瓦特計電流線圈串接於高壓側；電壓表與瓦特計電壓線圈並接於高壓側。

短路實驗

可調交流電源 ─ A ─ W（電流線圈）─ 高壓側
 │ │
 └── V、W（電壓線圈）並接於高壓側

低壓側兩端 ───── 短路

將低壓側端子短接，高壓側接可調交流電源。由零開始逐漸升高高壓側電壓，直到高壓側電流達額定值 151.52 A151.52\ \mathrm{A}。記錄短路電壓 VscV_{\mathrm{sc}}、短路電流 IscI_{\mathrm{sc}} 及瓦特計讀值 PscP_{\mathrm{sc}}。

開路實驗

可調交流電源 ─ A ─ W（電流線圈）─ 高壓側
 │ │
 └── V、W（電壓線圈）並接於高壓側

低壓側兩端 ───── 開路

低壓側保持開路，高壓側接可調交流電源，將電壓升至額定值 3300 V3300\ \mathrm{V}。記錄開路電壓 V0V_0、開路電流 I0I_0 及瓦特計讀值 P0P_0。

（二）量測結果計算

短路實驗

短路時加在高壓側的電壓遠低於額定電壓，激磁支路電流相對很小；依標準短路實驗計算，以等效串聯阻抗求測值：

∣Zeq∣=Req2+Xeq2=0.22+22=2.010 Ω|Z_{\mathrm{eq}}| =\sqrt{R_{\mathrm{eq}}^2+X_{\mathrm{eq}}^2} =\sqrt{0.2^2+2^2} =2.010\ \Omega

將高壓側電流調至額定值，預期短路電壓為

Vsc=I1N∣Zeq∣=151.52(2.010)≈304.5 VV_{\mathrm{sc}} =I_{1N}|Z_{\mathrm{eq}}| =151.52(2.010) \approx304.5\ \mathrm{V}

瓦特計讀值為額定電流下的等效銅損：

Psc=I1N2Req=(151.52)2(0.2)≈4591 WP_{\mathrm{sc}} =I_{1N}^2R_{\mathrm{eq}} =(151.52)^2(0.2) \approx4591\ \mathrm{W}

因此短路實驗預期讀值為

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第 三 題20 分

一部 60 Hz60\ \mathrm{Hz}、22 極三相感應電動機，額定線電壓為 220 V220\ \mathrm{V}、額定線電流為 54 A54\ \mathrm{A}、額定功率因數為 0.850.85 落後、額定輸出功率為 2020 匹馬力（hp）、額定轉差率為 3%3\%。

(一) 計算額定運轉時的輸出轉速（rpm）與輸出轉矩（N-m）。

(二) 計算額定運轉時的轉子感應電壓頻率，以及此感應機的運轉效率。

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核心觀念

本題考感應電動機的同步轉速、轉差率、轉子感應電壓頻率，以及由額定輸出功率求轉矩和效率。

  • 同步轉速：ns=120fPn_s=\dfrac{120f}{P}，其中 ff 為電源頻率，PP 為極數。
  • 轉差率：s=ns−nrnss=\dfrac{n_s-n_r}{n_s}，因此轉子轉速為 nr=(1−s)nsn_r=(1-s)n_s。
  • 轉子感應電壓頻率：fr=sff_r=sf。
  • 軸輸出功率與轉矩關係：Pout=TωrP_{\text{out}}=T\omega_r，其中 ωr=2πnr60\omega_r=\dfrac{2\pi n_r}{60}。
  • 三相輸入實功率：Pin=3VLILcos⁡ϕP_{\text{in}}=\sqrt{3}V_LI_L\cos\phi。
  • 運轉效率：η=PoutPin\eta=\dfrac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}。

本題採用 1 hp=746 W1\ \mathrm{hp}=746\ \mathrm{W} 換算馬力。

解題方法

（一）額定輸出轉速與轉矩

已知 f=60 Hzf=60\ \mathrm{Hz}、P=2P=2 極，先求同步轉速：

ns=120fP=120×602=3600 rpmn_s=\frac{120f}{P} =\frac{120\times60}{2} =3600\ \mathrm{rpm}

額定轉差率 s=3%=0.03s=3\%=0.03，故轉子轉速為：

nr=(1−s)ns=(1−0.03)×3600=3492 rpmn_r=(1-s)n_s =(1-0.03)\times3600 =3492\ \mathrm{rpm}

額定輸出功率為 20 hp20\ \mathrm{hp}，換算成瓦特：

Pout=20×746=14920 WP_{\text{out}}=20\times746=14920\ \mathrm{W}

轉子角速度：

ωr=2πnr60=2π×349260≈365.68 rad/s\omega_r=\frac{2\pi n_r}{60} =\frac{2\pi\times3492}{60} \approx365.68\ \mathrm{rad/s}
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第 四 題20 分

一部 Y 接線、圓柱式轉子（round rotor）的三相同步發電機，額定電壓為 3.3 kV3.3\ \mathrm{kV}、額定容量為 2 MVA2\ \mathrm{MVA}、22 極、60 Hz60\ \mathrm{Hz}，電樞每相同步電抗為 1 Ω1\ \Omega，且忽略電樞電阻。此發電機以額定電壓、額定容量、功率因數為 0.950.95 落後（lagging）的條件運轉，所有損失均不計。

(一) 計算此同步發電機的電樞感應電壓與功率角。

(二) 計算此同步發電機的輸入轉矩，單位為公斤-米（kg-m）。

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核心觀念

本題考同步發電機的每相等效電路、功率因數角與功率角，以及忽略損失時由輸出功率求輸入轉矩。

額定容量為三相視在功率 SS，Y 接線的每相電壓與線電流分別為

Vϕ=VL3,Iϕ=IL=S3VL.V_\phi=\frac{V_L}{\sqrt{3}},\qquad I_\phi=I_L=\frac{S}{\sqrt{3}V_L}.

功率因數為 0.950.95 落後，表示電流落後端電壓，故功率因數角為 ϕ=cos⁡−1(0.95)\phi=\cos^{-1}(0.95)。忽略電樞電阻時，同步發電機每相相量關係為

EA=Vϕ+jXsIϕ.\mathbf E_A=\mathbf V_\phi+jX_s\mathbf I_\phi.

兩極、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 機器的同步轉速為 3600 rpm3600\ \mathrm{rpm}。題目忽略所有損失，因此機械輸入功率等於電氣輸出實功率。

解題方法

(一) 電樞感應電壓與功率角

先求每相端電壓及額定線電流：

Vϕ=33003=1905.3 V,V_\phi=\frac{3300}{\sqrt{3}}=1905.3\ \mathrm{V}, Iϕ=IL=2×1063×3300=349.9 A.I_\phi=I_L=\frac{2\times10^6}{\sqrt{3}\times3300} =349.9\ \mathrm{A}.

電流落後端電壓，因此以端電壓為相位基準：

Vϕ=1905.3∠0∘ V,Iϕ=349.9∠(−ϕ) A,\mathbf V_\phi=1905.3\angle 0^\circ\ \mathrm{V}, \qquad \mathbf I_\phi=349.9\angle(-\phi)\ \mathrm{A},

其中

ϕ=cos⁡−1(0.95)=18.19∘.\phi=\cos^{-1}(0.95)=18.19^\circ.

由發電機相量方程式，且 Xs=1 ΩX_s=1\ \Omega：

EA=1905.3+j(1)(349.9∠−18.19∘).\mathbf E_A =1905.3+j(1)(349.9\angle-18.19^\circ).

將 jXsIϕjX_s\mathbf I_\phi 分解為直角座標：

jXsIϕ=349.9∠(90∘−18.19∘)=349.9∠71.81∘=109.2+j332.4 V.jX_s\mathbf I_\phi =349.9\angle(90^\circ-18.19^\circ) =349.9\angle71.81^\circ =109.2+j332.4\ \mathrm{V}.

所以

EA=(1905.3+109.2)+j332.4=2014.5+j332.4 V.\mathbf E_A=(1905.3+109.2)+j332.4 =2014.5+j332.4\ \mathrm{V}.

其大小與相角為

∣EA∣=2014.52+332.42≈2041.8 V,|E_A|=\sqrt{2014.5^2+332.4^2} \approx 2041.8\ \mathrm{V},
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第 五 題20 分

一部直流並激電動機，額定 8080 匹馬力（hp）、380 V380\ \mathrm{V}、1800 rpm1800\ \mathrm{rpm}，電樞電阻為 0.05 Ω0.05\ \Omega。目前此直流並激電動機運轉於輸入電流 150 A150\ \mathrm{A}、轉速 1800 rpm1800\ \mathrm{rpm}、電動機端電壓 380 V380\ \mathrm{V} 的條件下；磁場繞組的總電阻設定為 38 Ω38\ \Omega，且機械損失不計。

(一) 繪出此直流並激電動機的等效電路。

(二) 計算此電動機目前的輸出轉矩（N-m）與輸出馬力（hp）數。

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核心觀念

直流並激電動機的電樞與磁場繞組並聯在電源上。電源輸入電流分成電樞電流與磁場電流：

IL=Ia+If,If=VRfI_L=I_a+I_f,\qquad I_f=\frac{V}{R_f}

電樞反電勢為：

Eb=V−IaRaE_b=V-I_aR_a

忽略機械損失時，電動機輸出功率等於電樞電磁轉換功率：

Pout=EbIaP_{\text{out}}=E_bI_a

轉速為 nn rpm 時，角速度為 ω=2πn/60\omega=2\pi n/60，輸出轉矩則為：

Tout=PoutωT_{\text{out}}=\frac{P_{\text{out}}}{\omega}

解題方法

(一) 等效電路

電源電壓 V=380 VV=380\ \mathrm{V} 同時加在磁場支路與電樞支路。磁場支路為 Rf=38 ΩR_f=38\ \Omega；電樞支路包含電樞電阻 Ra=0.05 ΩR_a=0.05\ \Omega 與反電勢 EbE_b。

 I_L
 ┌─────────→─────────┐
 │ │
 + │ I_f → │ I_a →
 380 V R_f = 38 Ω R_a = 0.05 Ω
 − │ │ E_b（反電勢）
 └───────────────────┘

兩個支路並聯於 380 V380\ \mathrm{V} 電源。電流關係為 IL=If+IaI_L=I_f+I_a，而電樞端電壓滿足 V=Eb+IaRaV=E_b+I_aR_a。

(二) 輸出轉矩與輸出馬力

先由磁場支路求磁場電流：

If=VRf=38038=10 AI_f=\frac{V}{R_f}=\frac{380}{38}=10\ \mathrm{A}

因此電樞電流為：

Ia=IL−If=150−10=140 AI_a=I_L-I_f=150-10=140\ \mathrm{A}

電樞反電勢：

Eb=V−IaRa=380−(140)(0.05)=373 VE_b=V-I_aR_a =380-(140)(0.05) =373\ \mathrm{V}

忽略機械損失，輸出功率等於電樞電磁轉換功率：

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