114 地方特考三等 機械工程類科 流體力學與工程力學 考古題詳解

114 年・地方特考・三等・機械工程類科
試題代碼 流體力學與工程力學

第 一 題20 分

如下圖所示，一截面積 A=2 m2A=2\,\mathrm{m^2} 之水桶側壁上，水深 h1=6.5 mh_1=6.5\,\mathrm{m} 處有一直徑 d=0.025 md=0.025\,\mathrm{m}、垂直部分長度 h2=1.8 mh_2=1.8\,\mathrm{m} 之噴嘴，使水從其出口（圖中 OO 處）流出。

假設黏性及暫態效應可以忽略，並令水之密度 ρ=1000 kg/m3\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}、重力加速度 g=9.8 m/s2g=9.8\,\mathrm{m/s^2}，試求：

（一）噴嘴中水流之質量流率（mass flow rate）。

（二）從噴嘴流出水柱之頂點與桶內水面之高度差。

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核心觀念

本題使用連續方程式與伯努力方程式。水桶自由液面與噴嘴出口皆受大氣壓；噴嘴出口比桶內水面低 h1−h2=4.7 mh_1-h_2=4.7\,\mathrm{m}。桶面積 AA 有限，因此自由液面下降速度雖然很小，仍可由連續方程式求得。

解題方法

令噴嘴出口速度為 VoV_o、桶內水面下降速度為 VsV_s，噴嘴截面積為

a=πd24=π(0.025)24=4.90874×10−4 m2.a=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(0.025)^2}{4} =4.90874\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}.

由連續方程式，

aVo=AVs,Vs=aAVo.aV_o=AV_s, \qquad V_s=\frac{a}{A}V_o.

在桶內自由液面與噴嘴出口間套用伯努力方程式。兩處壓力相同，且出口高程比液面低 h1−h2h_1-h_2，因此

Vs22g=Vo22g−(h1−h2).\frac{V_s^2}{2g} = \frac{V_o^2}{2g}-(h_1-h_2).

代入 Vs=(a/A)VoV_s=(a/A)V_o，可得

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第 二 題15 分

在一直徑 d=0.4 md=0.4\,\mathrm{m} 之水平圓管中，水以截面平均速度 V=10 cm/sV=10\,\mathrm{cm/s} 流動。

假設此管之內壁光滑，故粗糙度（equivalent roughness）ε=0\varepsilon=0，試求每單位管長之壓力降（pressure drop per unit pipe length）。

設水之密度 ρ=1000 kg/m3\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}、運動黏滯係數 ν=1.12×10−6 m2/s\nu=1.12\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}。

提示：管流摩擦因子（friction factor）ff 可利用下式計算：

1f=−1.8log⁡[(ε/d3.7)1.11+6.9Re]\frac{1}{\sqrt{f}}=-1.8\log\left[\left(\frac{\varepsilon/d}{3.7}\right)^{1.11}+\frac{6.9}{\mathrm{Re}}\right]

式中 Re\mathrm{Re} 為雷諾數（Reynolds number）。

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核心觀念

本題考查圓管內流的雷諾數、管流摩擦因子，以及達西–魏斯巴赫公式。壓力降來自管壁摩擦；計算時須先判定流況，再依題目指定的公式求摩擦因子，最後代入壓力降關係式。

題目給的摩擦因子公式屬於 Darcy 摩擦因子，因此壓力降使用：

ΔpL=fρV22d\frac{\Delta p}{L}=f\frac{\rho V^2}{2d}

解題方法

先將平均流速換成 SI 制單位：

V=10 cm/s=0.10 m/sV=10\,\mathrm{cm/s}=0.10\,\mathrm{m/s}

以管徑為特徵長度，雷諾數為：

Re=Vdν=(0.10)(0.40)1.12×10−6=3.57×104\mathrm{Re}=\frac{Vd}{\nu} =\frac{(0.10)(0.40)}{1.12\times10^{-6}} =3.57\times10^4

此雷諾數大於一般圓管層流範圍，屬於紊流，故依題目指定的公式計算摩擦因子。管壁光滑，ε=0\varepsilon=0，因此：

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第 三 題15 分

如圖所示一慣輪之截面，其中材質橡膠密度 1250 kg/m31250\,\mathrm{kg/m^3}、鋁密度 2770 kg/m32770\,\mathrm{kg/m^3}、青銅密度 8580 kg/m38580\,\mathrm{kg/m^3}，求此慣輪對轉動軸之質量慣性矩及迴轉半徑（radius of gyration）。

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核心觀念

將慣輪拆成橡膠、鋁、青銅三個同軸圓環，分別計算質量與對中心轉軸的質量慣性矩，再加總。圓環的質量與轉動慣量為

m=ρπL(Ro2−Ri2),I=12m(Ro2+Ri2)m=\rho\pi L(R_o^2-R_i^2),\qquad I=\frac12m(R_o^2+R_i^2)

其中 LL 為軸向長度，Ro、RiR_o、R_i 分別為外、內半徑。迴轉半徑定義為

k=I總m總k=\sqrt{\frac{I_{\text{總}}}{m_{\text{總}}}}

解題方法

依圖中尺寸，三部分的幾何尺寸如下；直徑換算為半徑後，以公尺代入公式：

材料軸向長度 LL外半徑 RoR_o內半徑 RiR_i
橡膠16 mm16\,\mathrm{mm}14 mm14\,\mathrm{mm}6 mm6\,\mathrm{mm}
鋁20 mm20\,\mathrm{mm}6 mm6\,\mathrm{mm}4 mm4\,\mathrm{mm}
青銅20 mm20\,\mathrm{mm}4 mm4\,\mathrm{mm}3 mm3\,\mathrm{mm}

先求各部分質量：

m橡膠=1250π(0.016)(0.0142−0.0062)=0.0100531 kg,m鋁=2770π(0.020)(0.0062−0.0042)=0.00348088 kg,m青銅=8580π(0.020)(0.0042−0.0032)=0.00377368 kg.\begin{aligned} m_{\text{橡膠}} &=1250\pi(0.016)(0.014^2-0.006^2) =0.0100531\ \mathrm{kg},\\ m_{\text{鋁}} &=2770\pi(0.020)(0.006^2-0.004^2) =0.00348088\ \mathrm{kg},\\ m_{\text{青銅}} &=8580\pi(0.020)(0.004^2-0.003^2) =0.00377368\ \mathrm{kg}. \end{aligned}

因此總質量為

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第 四 題30 分

如圖所示之小朋友體重 40 kg40\,\mathrm{kg}、重心位於 GG 點。若其來回擺盪之最大角度 θ=60∘\theta=60^\circ，過程中無能量損失，試求其擺盪至 θ=0∘\theta=0^\circ 之最低點時，其速度大小及桿件 ABAB 所受之反力（假設 ABAB、ACAC 兩側都各僅有一支桿件）。

另外，若桿件為兩端銷接、外徑 50 mm50\,\mathrm{mm}、壁厚為 3 mm3\,\mathrm{mm} 之鋼材（楊氏係數 =210 GPa=210\,\mathrm{GPa}），試檢查桿件是否會產生挫曲（buckling）。

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核心觀念

本題結合擺動的能量守恆、最低點向心運動，以及桿件的軸向力與歐拉挫曲。圖中 AG=2 mAG=2\,\mathrm{m}，AB=3 mAB=3\,\mathrm{m}；ABAB、ACAC 各只有一支桿件，且都與鉛直線夾角 30∘30^\circ。

解題方法

1. 求擺至最低點的速度

小朋友由最大角度 θ=60∘\theta=60^\circ 靜止釋放，擺至 θ=0∘\theta=0^\circ 時，重心下降高度為

h=AG(1−cos⁡60∘)=2(1−0.5)=1 m.h=AG(1-\cos 60^\circ) =2(1-0.5)=1\,\mathrm{m}.

依機械能守恆，

mgh=12mv2,v=2gh=2(9.81)(1)=4.43 m/s.mgh=\frac12 mv^2, \qquad v=\sqrt{2gh} =\sqrt{2(9.81)(1)} =4.43\,\mathrm{m/s}.

2. 求桿件 ABAB 的反力

最低點時，小朋友的向心加速度朝上指向 AA。令擺繩張力為 TT，沿鉛直方向套用運動方程：

T−mg=mv2AG.T-mg=m\frac{v^2}{AG}.

代入 m=40 kgm=40\,\mathrm{kg}、v2=19.62 m2/s2v^2=19.62\,\mathrm{m^2/s^2}、AG=2 mAG=2\,\mathrm{m}：

T=40(9.81+19.622)=1177.2 N.T=40\left(9.81+\frac{19.62}{2}\right) =1177.2\,\mathrm{N}.

小朋友對 AA 點施加向下的力 TT。在 AA 點，兩支桿件的水平分力互相抵消，鉛直分力共同平衡此力。由於兩桿角度相同且各只有一支，兩桿軸力大小相等，記為 PP：

2Pcos⁡30∘=T,P=1177.22cos⁡30∘=680 N.2P\cos 30^\circ=T, \qquad P=\frac{1177.2}{2\cos30^\circ} =680\,\mathrm{N}.
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第 五 題20 分

如圖所示之油壓缸（cylinder）受活塞（piston）之推動而產生壓力 pp，假設其可被視為薄壁壓力容器且壁面摩擦係數可不計，而活塞之直徑為 48 mm48\,\mathrm{mm}、施加之外力 FF 為 16 kN16\,\mathrm{kN}。

當使用之缸壁材料之容許剪應力 τallow\tau_{\mathrm{allow}} 為 42 MPa42\,\mathrm{MPa}，且缸壁在軸向可自由變形，試求缸壁材料所需之最薄厚度 tmin⁡t_{\min}。

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核心觀念

薄壁圓筒承受內壓時，環向正應力為

σθ=pD2t\sigma_\theta=\frac{pD}{2t}

題目指出缸壁在軸向可自由變形，因此軸向正應力可視為零；薄壁假設下，徑向應力則可忽略。此時最大剪應力為

τmax⁡=σθ−02=σθ2\tau_{\max}=\frac{\sigma_\theta-0}{2} =\frac{\sigma_\theta}{2}

解題方法

活塞與缸壁間的摩擦可忽略，故活塞施力所產生的壓力為

p=FA=FπD2/4=4FπD2p=\frac{F}{A} =\frac{F}{\pi D^2/4} =\frac{4F}{\pi D^2}

代入 F=16,000 NF=16{,}000\,\mathrm{N}、D=48 mmD=48\,\mathrm{mm}：

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